第5章 第4节 矩形存在性问题-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

)第5章 特殊图形存在性问题 第4节 矩形存在性问题 作为特殊的平行四边形，矩形还满足4个角都是直角或对角线相等，对于坐标系中的矩形，顶 点坐标还满足什么关系？本节介绍矩形存在性问题的一般设计与思路 P1,过点A作EF⊥x轴，分别过点C、P1作 》知识导航 EF的垂线，垂足分别记为E、F,由题意得 PF AF ≥例题分析 △P,FA△ABC,AE=C,由题意得 ®例(2022·黔西南改编)如图，在平面直角 P F=4-m,AF=m2-4m,AE=3,CE=3, 坐标系xOy中，经过点A(4,0)的直线AB与 :m=”m34解得m1=-1,m2=4(舍 3 y轴交于点B(0,4).经过原点O的抛物线y= 去)，.点P1的坐标为(-1，一5)，.PQ1∥ 一x2+bx十c交直线AB于点A、C,抛物线的 AC且P1Q1=AC,∴.可得点Q1的坐标为 顶点为D (一4，-2)；②若∠ACP=90°，如图1，过点C (1)求抛物线y=一x2+bx十c的表达式. 作AC的垂线，与抛物线交点即为满足条件的 (2)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系 点P,记为P2,过点C作GH⊥x轴，分别过点 内一点.是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边 P2、A作GH的垂线，垂足分别记为G、H,由题 形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标； P2G GC 若不存在，请说明理由， 意得△P,GC∽△CHA,CH=HA,由题意 得P2G=m-1,GC=-m2+4m-3,CH=3, HA=3,.m-1=-m2+4m-3 3 ，解得m1= 3 2,m2=1(舍去)，.点P2的坐标为(2,4)， .CP2∥AQ2且CP2=AQ2,.点Q2的坐标为 (5,1);③若∠APC=90°，当点P在AC上方 C解析(1)将(0,0)、(4,0)代入抛物线的表达 时，记为P3,如图2，构造△AMP3p△P3NC, 1C=0, 4 式，得-16+46+c=0 解得 ∴.抛物线 &AM-C,由题意得AM=-m+m =0 P3M=4-m,P3N=m-1,NC=-m2+ 的表达式为y=一x2十4x. 3,.二m2+4m 4-m (2)由题意得，直线AB的函数表达式为y= 4m- m-1 一m2+4m-3'解得 -x+4,联立方程一x2+4x=一x+4,解得 x1=1,x2=4(舍去)，∴.点C的坐标为(1,3).连 2°m,=36】 m,=3+5 2(舍去)，点P的坐 接AP、CP,则△ACP是直角三角形.设点P的 坐标为(m,-m2+4m). 标为5，计)P.cAQ且PC= ①若∠CAP=90°，如图1，过点A作AC的垂 7-√51-5 线，与抛物线交点即为满足条件的点P,记为 AQ…点Q的坐标为(2,2 );当点 169 以壹学知道中考数学压轴题得高分心 P在AC的下方时，记为P4,如图3，构造 △AMO△，NC-C,由影意得 DP: AM=4-m,MP=-m2+4m,P.N=m2- 4m+3,CN=1-m, 4-m ·m2-4m+3 二m+4,解得m=3二5 之，223（舍 2 图2 图3 去点P,的坐标为(22,5) 思路归纳 .P,C∥AQ4且P4C=AQ4,∴.点Q4的坐标 对于构成矩形的4个顶点A、B、C、D, 为45,1 任意连接其中3个顶点，可得直角三角形， 常见题型的设计为“已知两个定点，有一动 综上所述，点Q的坐标为（一4，一2）或(5,1)或 点在抛物线或直线上，还有一点在坐标系 25,14,1 中”，可先考虑抛物线上或直线上的动点，与 已知两个定点构成直角三角形，再确定坐标 系中的点。 GD(P2) B 思路概括：先直角，后矩形 此外，还有一些其他类型的问题，依据矩 形的性质，转化为坐标系中的点坐标关系，进 3 行求解. OH A P 图1 170M C)第5章 特殊图形存在性问题 》真题演练 1.(2022·资阳改编)如图，已知二次函数图像的顶点坐标为A(1,4),且与x轴交于点B(一1,0). (1)求二次函数的表达式， (2)如图，将二次函数图像绕x轴的正半轴上一点P(,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别 为点C、D,连接AB、BC、CD、DA,当四边形ABCD为矩形时，求m的值 2.(2021·达州改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=一x2+bx十c交x轴于点A和 点C(1,0),交y轴于点B(0,3),抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点F. (1)求抛物线的函数表达式. (2)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、B、M、N为顶点的四 边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由 V A 171a<317 2 M M 第3节平行四边形存在性问题 1.解析：(1)y=-x2十2x十3.(2)设点P的坐标为 (m,-m2+2m十3)，点Q的坐标为(1，n),而D(0, 2),M(1,4).分情况讨论：①若DM为对角线，则 0+1=m+1, 解得/m0, .点Q的坐 2+4=-m2+2m+3+n,n=3, 标为(1,3)；②若DP为对角线，则 0+m=1+1, m=2, 解得 点Q的坐标 2-m2+2m+3=4+n, n=1, 为(1,1)；③若DQ为对角线，则 0+1=1十m, m=0, 解得 .点Q的坐标为 2+n=4-m2+2m+3,n=5, (1,5).综上所述，点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5). 2.解析：(1)将x=0代入y=-x十4，得y=4,∴点C 的坐标为(0,4)；将y=0代入y=一x十4，得x=4, ∴点B的坐标为(4,0).，抛物线的对称轴为直线x= 多点A的坐标为水（一1,0.设镜物线的函数表达式 为y=a(x+1)(x-4),将C(0,4)代入，得-4a=4, 解得a=一1，∴.抛物线的函数表达式为y=-(x十 1)(x-4)=-x2+3x十4.(2)由题意得，点P的坐 标为(m,一m2+3m十4)，点N的坐标为(m,0),点M 的坐标为(3-m,-m2+3m+4).,PN∥CD,∴.当 PC∥ND时，四边形CDNP是平行四边形，过点C作 CH⊥PN于点H,即∠CPH=∠PNM.,'tan ∠CPH-S=网+nam∠PNM- PM PN 中考数学压 3-2m m 3-2m -m2+3m+4,六 -m2+3m 一m2+3m+4,解得 -6-2,m,=6+,8I(含去，当m=6-四 m1= 3 ,m2= 3 3 时，四边形CDNP是平行四边形 第4节矩形存在性问题 1.解析：(1)设二次函数的表达式为y=a(x一1)2+4， 将(-1,0)代入得4a十4=0，解得a=-1,∴.二次函数 的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)由题意得AB∥CD,且AB=CD,∴.四边形ABCD 是平行四边形，当∠BAD=90°时，可得平行四边形 ABCD是矩形.如图，过点A作AH⊥x轴交x轴于点 H,则∠BHA=∠BAD=90°.又'∠HBA=∠ABD, △BHA△BAD,B盟-80A1,,B(-1, 0BH=2,BA=25,2-25解得BD= 10,点D的坐标为(9,0).，BP=DP,.点P的坐 标为(4,0)，∴.m=4. H -1+b+c=0, 2.解析：(1)将(1,0)和(0,3)代入得 解 c=3, 1b=一2， 得 ∴抛物线的函数表达式为y=一x2一2x十 c=3, 3.(2)在抛物线上确定一点N使得△ABN是直角 三角形，则在平面中必存在点M,使得以A、B、M、N 为顶点的四边形为矩形.分情况讨论：①若∠BAN= 90°，如图1，过点A作AN⊥AB交抛物线于点N,则 直线AN的函数表达式为y=一x一3，联立方程 -x2-2x+3=一x-3,解得x1=2,x2=-3(舍去)， 轴题得高分 4· .点N的横坐标为2；②若∠ABN=90°，如图2，过点 B作BN⊥AB交抛物线于点N,则直线BN的函数表 达式为y=-x十3，联立方程-x2-2x十3=-x十3， 解得x3=-1,x4=0(舍去)，.点N的横坐标为一1； ③若∠ANB=90°，设点N的坐标为(n,-n2-2n+ 3),当点N在AB上方时，如图3，构造△APN △NQB,则G-8器aP=:2+3,PN n-(-3)=n+3,NQ=-n,BQ=-n2-2n+3- 3=-n2-20,-n2-2m+3-m+3 -n -n2-2n,解得n1= -1-√5 ,,2=一1十5（舍去），“点N的横坐标为 2 。5,当点N在AB下方时，如图，的范 △APN△NQ,则GAp-a3. PN=-n2-2n+3,NQ=3-(-n2-2n+3)=n2+ 2m,BQ=n,n十3=二n-2n+3,解得m, n2+2n -1+√5 4=-15(舍去)，“点N的横坐标为 2,n4= 2 -1十5综上所述，点N的横坐标为2或-1或 2 =15或1+5 2 2 VA (FN B 图1 图2 B O E O PC 图3 图4 中考数学压 第5节菱形存在性问题 4 1.解析：(1)将x=0代人直线y=3x十4得y=4, “点C的坐标为0，，将y=0代入直线y=号x十4 得x=一3，∴.点A的坐标为（一3,0）.抛物线对称轴 为直线x=一1，则A、B关于直线x=一1对称，.点 B的坐标为(1,0)，设抛物线的函数表达式为y= a(x+3)(x-1),将(0,4)代人得-3a=4,解得a= 一3，心抛物线的函数表达式为y=一2-8 4 4 3x+4. (2)存在..AC是对角线，∴AP=CP,设点P的坐 标为(-1，t),则AP2=(一1+3)2+(t一0)2=t2+4, CP2=(-1-0)2+(t-4)2=t2-8t+17,.t2+4= -8十17，解得4-号点P的坐标为(-1，号)： 3 取AC的中点M,则点M的坐标为（一2,2），而M是 PQ的中点，∴点Q的坐标为（一2，器）。 2.解析：（1)对称轴是直线x=-1,且B(1,0), ∴.A(一3,0)，∴.二次函数的表达式为y=(x-1)(x十 3)=x2+2x-3.(2).点Q在y轴上，.MN∥CQ, 即MN与CQ是一组对边，连接CN,则△CMN是等 腰三角形.将x=0代入抛物线的函数表达式得y= -3,.点C的坐标为(0，-3)，由(1)得，点A的坐标 为(-3,0)，.直线AC的函数表达式为y=-x一3， 设点P的坐标为(m,0),则点M的坐标为(m,一m 3),点N的坐标为(m,m2+2m-3),.MN= |m2+3ml,MC=W2m.①若MN=MC,则|m2+3m= W2m,解得m=-3十√2或m=-3-√2或m=0(舍 去).当m=一3十√2时，点M的坐标为（一3十√2， 一√2)，点N的坐标为(-3+√2,2-4W2),.CQ= MN=-2十3W2,.点Q的坐标为(0，-1-3W2);当 m=一3一2时，点M的坐标为（一3一√2，W2),点N 轴题得高分 5·