第6章 第3节 二倍角、半角的构造-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

y=行x-1,联立得方程-x2+2z+3=子x-1,解得 1 x-3(会去)，：--专“点P的坐标为(-手 13 9 y. 法2：由题意，得∠DFB=∠DEO十∠ECF,∠PBF= ∠PBO+∠OBC,又∠ECF=∠OCB=∠OBC, ∴∠PBO=∠DEO,∴tan∠PBO=tan∠DEO=3, 设点P的坐标为(m,-n2+2m十3)，可得”2n-3- 3-n 解得n=3(舍去)或n=一手，点P的坐标为 1 3解析：1y=-2+2x十2.(2)(6，-70. 4.解析：(1)将y=0代入二次函数表达式，得一x2+ 2mx+2m+1=0,因式分解得-(x+1)(x-2m- 1)=0,解得x1=-1,x2=2m+1,∴.点A的坐标为 (-1,0),点B的坐标为(2m+1,0),令x=0,得y= 2m+1,∴.点C的坐标为(0,2m+1).OB=OC, ∠BOC=90°，∴.∠OBC=∠OCB=45°.(2)若 ∠ACO=∠CBD,则∠ACO+∠OCB=∠CBD+ ∠OBC,即∠ACB=∠ABD.如图1，连接AE,则 AE=BE,∴.∠EAB=∠EBA=45°，.∠AEC=90°， tan ZACE=A(-1.),B (2m+1.0 .F(m,0),∴.AE=√2AF=√2(m+1),CE=√2m, :tan∠ACE=2(m+1)_+1将工=m代人二次 √2mm 函数表达式，得y=m2+2m十1，.点D的坐标为(m, m2+2m+1),,∴，DF=m2+2m+1,.∴.tan∠DBF= 中考数学压 D5_m+2m+1=m十1，…m+1=m+1,解得m= B m+1 m 1或m=一1（舍去），.m的值为1. 图1 图2 (3)如图2，，点P在第四象限，.∠ACB>∠ACP= 75°，.∠OCB=45°，.∠AC0>30°，.tan∠AC0= 0C2m+1>3,解得m<5-1, A01、√3 2,m的取值范围 是0<m<3-1 2 第3节二倍角、半角的构造 1.√2一1解析：记AE=AB=a,则DE=BE=√2a, tan∠BDE=AB_a ADa十2a =√2-1. 2.号解析：如图，过点C作CH⊥y轴交y轴于点 14 H,则CH∥AO,.∠ACH=∠CAO.又.∠BCA= 2∠CAO,∴.∠ACH=∠BCH.记AC与y轴的交点为 M,则△BCM是等腰三角形，∴.BH=MH.由题意得 △A0M△CHM,9-合0-音设OM=4a,则 BH=HM=3a,“OB=10a=4,解得a=2 5 0H-7a-9×号-4，即a-号 _14 B H>C M 3.解析：(1)(-2,0)(3,0)(0,4)(2)存在.如图， 过点C作CN⊥y轴，则∠OCN=∠OCB+∠PCB+ ∠PCN=90°.又∠BCO+2∠PCB=90°，∴.∠PCN= ∠PCB,即CP平分∠BCN.延长CP与x轴交于点 M,则∠OMC=∠PCN=∠PCB,∴.BM=BC=5, 轴题得高分 38· .点M的坐标为(8,0).设直线CM的函数表达式为 8k十b=0, y=x十b,将M(8,0)、C(0,4)代入，得 解 b=4, 1 k=- 得 2':直线CM的函数表达式为y=-号c 2x+ b=4, 4联立得方程一x十4=一号+号十4，解得 x1=0(舍去)，x2= m的值为 7 --N B M 4.解析：(1)由题意，得y=a(x十4)(x-1),C(0,4), .-4a=4,.a=-1,.二次函数的表达式为y= -x2一3x十4.(2)如图，记BP与y轴的交点为E, 设∠BCO=a,则∠DPB=2a.'PD∥CO, ∴.∠BEO=∠DPB=2a.又，'∠BEO=∠BCO+ ∠EBC,∴∠EBC=a=∠ECB,∴.EB=EC.设OE= m,则EC=EB=4一m.在Rt△BOE中，OB2+OE2= B,即1+m=1一m,解得m=号点E的坐 标为0，骨)设直线P的函致表法式为y=r+点， 将B1,0代人，得k+日-0，k=-只直线BD 的函数表达式为y=-15z+15 82十 81 A■ 5.解析：(1)y=一 2x2+2x+ aP学) 5 或() 6.解析：(1)y=- 2x2+x+4.(2)由题意得E(-1, 2)、F(3,0).①当点Q在EF下方时，由题意可知 中考数学压 ∠EFA=∠OCA,,∠QFE=2∠OCA=∠QFA+ ∠EFA,∠QFA=∠EFA,lQ:y=2(x-3), 1 1-3√5 令- 2x2+x+4=2(x-3),解得x1= 2 ,x2= 5(合去点Q的坐标为(95 2 -5-3√5 4 ;②当点Q在EF上方时，由题意得 an∠0CA=号，可知an∠QFE=子，如图，构造 1 △FNE△EMP,H-x-E-则FP与 抛物线交点即为所求点Q,E(-1,2)、F(3,0), 1 4= 2x+ ,解得x, 11、,33 13-6丽，，13+/6（会 -2= 2 2 去)，点Q的坐标为 13-√69-77+11√69 .综 2 4 上所运，点Q的坐标为(5,535)或 4 13-√69-77+11√69 2 4 -----P 第4节相似三角形存在性问题 1.解析：(1)一次函数的表达式为y=一x十5，反比例 函数的表达式为y=兰.(2)P(-5,0)或（号0） 2.解析：(1)由题意，得B(3,0),C(0,3).代入y 9a+6+c=0 ax2+2x十c,得 c=3, 0解得二次 c=3, 函数的表达式为y=-x2+2x十3.(2)将y=0代入 y=-x2+2x十3，得-x2+2x十3=0，解得x1=-1, x2=3,.点A的坐标为(-1,0)，.AB=4,BC= 3W2,OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB=45°..EF∥OC, 轴题得高分 39D 第6章) 坐标系中的角 第3节 二倍角、半角的构造 了解了相等角的构造后，将问题变式，在坐标系中构造已知角的半角或二倍角，角通常在于某 个几何图形中，因此可以考虑从位置关系着手，或直接求出其三角函数值，转化为定角的构造. 》知识导航 或- 彦1.几何构造 ®例1口(2023·赤峰)如图，抛物线y=x2 6x+5与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点 D(2,m)在抛物线上，点E在直线BC上，若 ∠DEB=2∠DCB,则点E的坐标是 ®例2(2023·黄冈改编)已知抛物线y= 2x2+bx十c与x轴交于A、B(4,0)两点，与 y轴交于点C(0,2).P为第一象限抛物线上的 点，连接CA、CB、PB、PC (1)直接写出结果：b= ,c= ,点 A的坐标为 ,tan∠ABC= C解析将x=2代入抛物线的函数表达式，得 (2)如图，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的 y=一3，∴.点D的坐标为(2，一3).如图，连接 坐标. CD,作CD的垂直平分线，与BC的交点即为 满足条件的点E,记为点E1,由题意得CD的 中点坐标为(1,1)，CD的垂直平分线的函数表 达式为y-十，又直线5C的函数表达式 为y=红十5，联立得方程行+=-z十5， 17 解得x= 点E,的坐标为（侣，）连接 C解析(1)号 2(-1,0) BD,则tan∠OBD=1,∴.∠OBD=45°，又 (2)由题意，得16m∠0CA=82= 2, OB=5=OC,.∠OBC=45°，∴.∠DBC=90°. ∴.∠OCA=∠OBC.若∠PCB=2∠OCA,则 作点E1关于BD的对称点E2,此时点E2也满 ∠PCB=2∠OBC.过点C作CM∥AB,则 足条件，且B是E1E2的中点，点E2的坐标 ∠MCB=∠OBC,.∠PCM=∠OBC, 为，》综上所述，点E的坐标为吕，) ∴an∠PCM=lan∠OBC=多直线CP的 189 以壹学知道中考数学压轴题得高分 函数表达式为y=2x十2，联立得方程 C解析(1)抛物线的函数表达式为y=x2+ 2x-3. 2x+2-1 x十2，解得x1=2,x2=0 (2)思路：利用特殊角的三角函数值 (舍去)，点P的坐标为(2,3) 点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(0， -3),tan∠AC0=3 若∠PAB=2∠AC0,可证得tan∠PAB=(证 3 明略)， 转化角的正切值为直线的，即k以=士是。 《方法归纳 3 当kA=二时，直线PA的函数表达式为y= 4 结合角所在的位置及图形构造二倍角、 33 半角，常见有如下方法： 4x-4 (1)等腰构造 联立得方程x2+2x-3=3z-3」 4x-4 解得x1=1,x2=一4 a 2a 点P的坐标为？， 39 (2)平行构造 当kPA=一 时，直线PA的两数表达式为 a 3 y +4 联立得方程x2+2x一3=一 3 4 彦2.三角函数计算 15 解得x1=1,x2= 4 ®例3(2019·宿迁改编)如图，抛物线y= 故点P的坐标为（一，） 1557 x2+bx十c交x轴于A、B两点，其中点A的坐 标为(1,0)，与y轴交于点C(0,一3). 综上所述，点P的坐标为(-}-)或 39 (1)求抛物线的函数表达式， (2)如图，连接AC,点P在抛物线上，且满足 1557 ∠PAB=2∠ACO,求点P的坐标. (-416 B 190M )第6章 坐标系中的角 方法归纳 例：求tan15°. 若有倍角关系的两个角无明显位置关 解：如图，tan15°= =2-√3. 2+√3 系，可通过其中定角的三角函数值，算出其二 倍角或半角的三角函数值，将问题转化为定 角的构造.二倍角或半角的三角函数值计算方 法如下： 30°--- 15r 3 2 (1)二倍角 求出角的三角函数值后，若角有一边与 10 坐标轴平行，可由三角函数值求得另一边的及 值；若角的两边均不与坐标轴平行，问题转化 为定角的构造： (2)半角 2 191 以壹学知道中考数学压轴题得高分心 》真题演练 1.(2022·通辽)如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE=AB,BE=DE,则tan∠BDE= E B O (第1题) (第2题) 2.(2020·苏州)如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（一4,0）、(0,4)，点C(3,n)在第 一象限内，连接AC、BC.已知∠BCA=2∠CAO,则n= 3.(2022·黄石玫编)如图，抛物线y=一3x2+2 3x十4与坐标轴分别交于A、B、C三点，P是第一象 限内抛物线上的一点且横坐标为m. (1)A、B、C三点的坐标为 (2)连接CP,是否存在点P,使得∠BCO+2∠PCB=90°？若存在，求m的值；若不存在，请说明 理由. B入 192M 第6章) 坐标系中的角 4.(2021·泰安改编)二次函数y=ax2+bx十4(a≠0)的图像经过点A(一4,0)、B(1,0),与y轴交 于点C,P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D. (1)求二次函数的表达式. (2)连接BC,当∠DPB=2∠BCO时，求直线BP的函数表达式. B x 5.(2025·凋捧戏编)如图，一条抛物线y=ax2+bx+号与x轴相交于A(-一1,0)、B(5,0)两点，与 y轴相交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)间：在抛物线上是香存在点P,使得∠ABC=∠PAB?若存在，求出点P的坐标：若不存 在，说明理由 B 193 么壹学知道中考数学压轴题得高分一 6(2024,贵阳)已知平面直角坐标系巾，0为坐标原点，抛物线y=-2x2十b:+c与x轴交于A、 B两点，与y轴的正半轴交于点C,且B(4,0),BC=4√2. (1)求抛物线的函数表达式. (2)如图，连接AC,E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F.抛物线上是否存在点 Q,使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 1941