第1章 第3节 构造辅助圆-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分心 第3节 构造辅助圆 “单线段最值”是几何最值中常见的问法之一，对于只有一个端点是动点的线段，分析出动点轨 迹，是解题关键，常见轨迹有“圆”和“直线”.所谓“辅助圆”，也称“隐圆”问题，即根据已知条件分析出 轨迹圆，在什么条件下如何构造圆，是在学习过程中需要积累和归纳的，本节内容将介绍构造辅助圆 的八种模型. 》知识导航 满足OP=r(O是定点，r是定值)，则点P的 轨迹是以点O为圆心、为半径的圆. ≥1.定点连定长 思考：条件里会如何给出OP=r? ®例1(2023·徐州)如图，在Rt△ABC中， 谚2.定边对直角 ∠C=90°，CA=CB=3,点D在边BC上.将 ®例2(2021·成海)如图，在正方形ABCD △ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连接 中，AB=2,E为边AB上一点，F为边BC上 BC',则BC的最小值为 一点.连接DE和AF交于点G,连接BG.若 AE=BF,则BG的最小值为 B ○解析AC=AC=3,∴.点C'的轨迹是以点 ○解析如图1，：AE=BF,∠DAE= A为圆心、AC为半径的圆弧.AC'+BC'≥AB, .当A、C'、B三点共线时，BC取到最小值，此 ∠ABF=90°，AD=BA,∴△DAE≌△ABF, ∴.∠ADE=∠BAF..'∠BAF+∠DAG=90°， 时BC'=AB一AC'=3√2一3，即BC'的最小值 ∴.∠ADE+∠DAG=90°，∴.∠AGD=90°， 为32-3. 点G的轨迹是以AD为直径的圆弧.如图2， 取AD的中点M,当B、G、M三点共线时，BG 取到最小值，此时BG=BM一MG=√5一1， .BG的最小值为√5一1. D 《模型一：定点连定长 圆的定义：平面内到定点的距离等于定 M 长的所有点组成的集合.可知若平面内动点P 图1 图2 4 第1章 几何最值 模型二：定边对直角 ®例3(2021·铜仁)如图，E、F分别是正方 圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直 形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE= 角.即以线段AB为直径作圆，在圆上任取一点 BF,连接CE、DF,相交于点G,连接AG,若正方 P(不与，点A、B重合)，可得∠APB=90°. 形的边长为2，则线段AG的最小值为 D 反之，若平面内一点Q且∠AQB=90° 则点Q一定在⊙O上吗？(O是AB的中点) C解析，AE=BF,AB=BC,.AB-AE= BC-BF,即BE=CF.又BC=CD,∠B= ∠DCF=90°，∴.△CBE≌△DCF,∴.∠BCE= B ∠CDF.,∠BCE+∠DCG=90°，∴.∠CDF+ ∠DCG=90°，∴.∠CGD=90°，∴.点G的轨迹 是以CD为直径的圆弧如图，当点E与点A重 从反证角度考虑，若点Q不在⊙O上，则 合，点F与点B重合时，点G是正方形的中心， 点Q在圆外或圆内、 此时AG最小，.AG的最小值为√2. 引入两个概念：圆外角、圆内角， ①圆外角：顶点在圆外，两边和圆相交的 E B(F) 角，如下图中的∠AMB; ②圆内角：顶点在圆内的角，如下图中 的∠ANB. 可得：同弧所对的圆外角<圆周角<圆内 角.（∠AMB<∠ADB=∠ACB=∠AEB< ∠ANB) ≥3.定边对定角 ®例4(2021·达州)如图，在边长为6的等 边三角形ABC中，E、F分别是边AC、BC上的 动点，且AE=CF,连接BE、AF交于点P,连 接CP,则CP的最小值为 反证：若点Q在⊙O外，则∠AQB<90°， 与题意矛盾，故不成立；若点Q在⊙O内，同 理，也不成立.综上，点Q在⊙O上 即：已知线段AB,若平面内一点Q满足 ∠AQB=90°，则点Q一定在以AB为直径的 ○解析：AE=CF,AB=CA,∠BAE= 圆上.简称为“定边对直角”. ∠ACF=60°，.△BEA≌△AFC,∴.∠ABE= 15 壹学知道中考数学压轴题得高分 ∠CAF.∠BAF+∠CAF=60°，.∠ABE+ ∠BAF=60°，∴.∠APB=120°.如图，在AB下 方构造∠AOB=120°且OA=OB,则点P的轨 迹是以点O为圆心、OA为半径的圆弧.当C、 P、O三点共线时，CP取到最小值，此时CO= 4√3，OP=OA=2√3，.CP=C0-OP= 43一23=23，∴.CP的最小值为23， 特别地，若a>90°，则∠AOB=2a≥ 180°，圆心与动点将位于定边两侧。 ®例5(2021·广东)在△ABC中，∠ABC= ○变式当点E从点A运动到点C时，点P运 90°，AB=2,BC=3.D为平面上一个动点， 动路径的长度是 ∠ADB=45°，则线段CD长的最小值为 C解析43π C解析如图，以AB为斜边，在AB右侧构造 3 等腰直角三角形AOB,以点O为圆心、OA为 模型三：定边对定角 半径作圆，优弧AB(不包括端，点)上的点均是 概述：“定边对定角”是“定边对直角”的 满足条件的点D,当O、D、C三点共线时，CD 推广，由圆周角定理可知：圆周角等于它所对 取到最小值，CDmn=OC-OD=√5一√2. 弧上的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆 周角相等。 如图，在⊙O中，若∠AOB=2a,则对于优 弧AB上任意-点P,∠APB=7∠AOB=a 始终成立 ●变式线段CD长的最大值为 C解析如图，CDmx=OC十OD=√I7十√2. 反之，若平面内一点Q满足∠AQB=a, 点Q一定在优弧AB上吗？ 对于“定边对定角”的条件，注意动点轨迹 不一定！将优弧AB关于AB作对称，点 是不共圆的两条圆弧，涉及最值问题应充分考 Q轨迹为两段相等长度的弧. 虑分别在两条圆弧上的情况. 16 第1章) 几何最值 ≥4.定角定高 号模型四：定角定高 概述：在△ABC中，若边BC的高AH= ®例6(2024·宜宾)如图，正方形ABCD的 h,∠BAC=a,可分析得BC的最小值. 边长为1，M、N是边BC、CD上的动点.若 ∠MAN=45°，则MN的最小值为 D M HC ○解析如图，构造△ABC的外接圆，记 OA=r,则OM=rcos a,∴.AO+OM=(1+ C解析法1：过点A作AH⊥MN交MN于 h cosa)r≥h,.r≥1+cosa ∴.BC=2BM= 点H,可得AH=AD=1(可参考半角模型).在 2h sin a △AMN中，边MN上的高AH是定值，边 2 rsin a≥ 1+cos a MN所对的角∠MAN是定角，即“定角定高” 模型.利用∠MAN=45°构造△MAN的外接 5.定角定积 圆，可知圆心O与M、N相连得等腰直角三角 ®例7(2024·济南)如图，△ABC是直角三 形.设半径OA=r,则OP= 20M=2 √ r. 角形，∠ACB=90°，AC=2,BC=2√6，平面内 有一点D,满足AD=AC,连接CD并延长至 0M10P≥AI,1)≥1，≥2 点E,且∠CEB=∠CBD,当线段BE的长度取 得最小值时，求线段CE的长， √2，∴.MN=√2r≥22-2. 法2：由∠MAN=45°可知MN=BM+DN(可 C解析如图，AD=AC=2,∴.点D在以点A 参考半角模型)，设BM=a,DN=b,则CM= 为圆心、2为半径的圆上.∠CEB=∠CBD, 1-a,CN=1-6,MN=a +6..MN2= △cDB△cBE,器-2cD.E= CM2+CN2,∴.(1-a)2+(1-b)2=(a+b)2, CB2=24.延长CA交⊙A于点M,则CM=4, 化简得ab+a十b-1=0.令a十b=t,则b=t一 ∠CDM=90°.延长CM至点N使得CN=6,有 a,代入得-a2+ta+t-1=0,.t2-4X CD·CE=24=CM·CN,&CR=Cg, (-1)×(t-1)=(t+2)2-8≥0，獬得t≥ ∴.△CDM∽△CNE,∴.∠CNE=∠CDM= 2√2-2或t≤-22-2（舍去），当a=b=√2-1 90°，可知点E的轨迹是一条过点N且垂直于 时，等号成立，∴.MN的最小值为2√2一2. NC的直线.当BE⊥NE时，BE取到最小值， 17 壹学知道中考数学压轴题得高分 此时CE=√CN2+NE?=√W62+(2√6)2= 2/15. K: D (2)线生圆：如图，点C是直线1上一动点，平 E 面内有一点A,若AB·AC=k(k是定值)， ○变式若将线段CE绕点C逆时针旋转α得 可作AE⊥直线1于点E,在直线AE上取点 点E',即满足：①CD·CE'=k;②∠DCE'=a D使得AD·AE=AB·AC,得△ABDp (k、α是定值).能否由点D的轨迹分析得点E △AEC,∴.∠ABD=∠AEC=90°，以AD为 的轨迹？ 直径作圆即为点B的轨迹 E ○解析法1：由瓜豆原理可得将点E的轨迹绕 点C逆时针旋转α即为点E'的轨迹， ≥6.最大张角 法2：如图，延长CA交⊙A于点M,连接DM, 作∠MCV-a且CD·CE'-CM·CN,则C 例8(2022·柱林)如图，某雕塑MN位于 Cn 河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿 CE,又：∠MCD-∠E'CN,△CDMo C OB方向行走.已知∠AOB=30°，MN=2OM= 40m.当观景视角∠MPN最大时，游客P行走 △CNE',.∠CNE'=∠CDM=90°，由NE'1 的距离OP是 m. CN可得点E的轨迹， N一A M B C解析以MN为直径作圆，与OB相切于点 P时，∠MPN最大，此时△OMP△OPN, E 号模型五：定角定积 ON,即OP2=OM·ON,Op= .OMOP (1)圆生线：如图，点A在⊙O上，对于圆上任 √OM·ON=√20X60=20√3(m). 意一点B,若AB·AC=k(k是定值)，可作 直径AD,在直线AD上取一点E使得 模型六：最大张角 AD·AE=AB·AC,得△AEC∽△ABD, 概述：如图，点A、B在直线1的同一侧， .EC⊥AE,直线EC即为点C的轨迹. 在直线I上取一点P,使得∠APB最大，求点 18 第1章) 几何最值 P的位置. B B EFM ○解析如图，由题意得AB'=AB=8,∴点B C解析作△APB的外接圆⊙O,当⊙O与 的轨迹是以点A为圆心、AB为半径的圆弧.当 直线l相切时，∠APB最大，此时P为切点. DF与该圆弧相切时，BF取到最大值，此时 AB'⊥DF,△ABE≌△AB'E,∴.点E与点F重 合，B'D=√AD2-AB7=6,.cos∠B'AD= B cos∠CDE,即AB'_CD AD=DE,DE=10.过点B作 B'H⊥BC于点H,则cos∠EBH=cos∠EDC= 证明：在直线L上任取一个与点P不重 合的点，记为点Q,则点Q一定在圆外， o∠D-g-台BH-BE- 由本节“模型二”中补充的“圆外角”概念 点B到BC的距离是9 16 可知，∠APB>∠AQB,∴.∠APB最大 思考：如何用尺规作图作出点P? C解析延长BA与直线I交于点M,由切割 线定理得MP2=MA·MB,可由MA、MB B EFMH 的长确定MP的长，即可确定点P ®例10(2024·杨州)如图，已知两条平行线 l1、l2,A是L1上的定点，AB⊥L2于点B,C、D 分别是11、l2上的动点，且满足AC=BD,连接 CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当 ∠BAH最大时，sin∠BAH的值为 总结：当∠APB最大时，有MP2=MA·MB, 需在涉及最大张角问题的计算中灵活运用. ≥7.相切最值 B D ®例9(2023·辽宁)如图，在矩形ABCD C解析U1∥l2,.∠CAE=∠DBE.又 中，AB=8,AD=10,M为BC的中点，E是 .AC=BD,∠AEC=∠BED,∴.△AEC≌ BM上的一点，连接AE,作点B关于直线AE △BED,.AE=BE,即E是AB的中点.又 的对称点B',连接DB'并延长交BC于点F.当 .∠BHE=90°，∴.点H在以BE的中点O为 BF最大时，点B'到BC的距离是 圆心、OB为半径的圆上，当AH与⊙O相切 19 壹学知道中考数学压轴题得高分 时，∠BAH最大，此时sin∠BAH= OH (2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2， OA 3 ∠3=45°，则∠4的度数为 拓展探究： (3)如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB= AC,点D在BC上（不与BC的中点重合），连 接AD.作点C关于AD的对称点E,连接EB 模型七：相切最值 并延长交AD的延长线于F,连接AE、DE. ①求证：A、D、B、E四点共圆 概述：若动点在圆上，则与动点相关的线 段或者角度的最值问题，可能在直线与圆相 ②若AB=2√2，AD·AF的值是否会发生变 切时取到. 化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由. ≥8.四点共圆 ®例1T(2022·遵义)综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动， 图1 图2 得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该 小组继续利用上述结论进行探究 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B、D,连接AD、 3 AB、BC、CD,如果∠B=∠D,那么A、B、C、D 2 4 B 四点在同一个圆上. 图3 图4 探究展示： 如图2，作经过点A、C、D的⊙O,在劣弧AC ○解析(1)依据1：圆内接四边形对角互补； 上取一点E(不与A、C重合)，连接AE、CE,则 依据2：不在同一直线上的三个点确定一个圆. ∠AEC+∠D=180°（依据1）. (2)∠1=∠2，.A、B、C、D四点共圆， ,∠B=∠D,'.∠AEC+∠B=180°， ∴.∠4=∠3=45°. ∴.点A、B、C、E四点在同一个圆上（对角互补 (3)①，AB=AC,.∠ABD=∠ACD.又由对 的四边形四个顶点共圆)， 称，得∠AED=∠ACD,∴.∠AED=∠ABD, ∴.B、D在点A、C、E所确定的⊙O上（依据2）， A、D、B、E四点共圆. ∴A、B、C、D四点在同一个圆上. ②由A、D、B、E四点共圆得∠EAD=∠FBC. 反思归纳： 又.∠EAD=∠CAD,.∠FBC=∠CAD, (1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是 A、B、F、C四点共圆，.∠F=∠ACD= 指什么？ 依据1： ZABD,可得△ADB∽△ABF,.A6=A, 依据2： ∴.AD·AF=AB2=8. 20X D 第1章) 几何最值 模型八：四点共圆 四点共圆的条件： (1)如图，若∠ABC=∠ADC=90°，则 A、B、C、D四点共圆.（可证） C解析考虑到BC的长及点B的位置均不确 定，不易得点D的轨迹.固定△ABC、△BCD 不动，变化坐标系，可得点O的轨迹是以AC的 中点M为圆心、MA为半径的圆.当点O在 (2)如图，若∠1=∠2，则A、B、C、D四 DM的延长线上时（即图中点O),可得 点共圆.（不可直接用） ODmx=DM+MO'=√/12+(2√3)2+3= √13+3. V (3)如图，若∠A+∠C=180°，则A、B、 C、D四点共圆.（不可直接用） (2)寻找定边 例13(2024·苏州)如图，在矩形ABCD 中，AB=3,BC=1,动点E、F分别从点A、C 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB、 应用：利用四点共圆，可得角之间的数量 CD向终点B、D运动，过点E、F作直线l,过 关系 点A作直线l的垂线，垂足为G,则AG的最大 值为 谚9.经典例题赏析 D (1)动静转换 令例12(2025·自贡)如图，在平面直角坐标 系xOy中，Rt△ABC的顶点C、A分别在 x轴、y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC= A.√3 8 C.2 D.1 30°，BC=2.以BC为边作等边三角形BCD,连 ○解析连接AC交直线1于点O,由题意得 接OD,则OD的最大值为 AE=CF,∴.△AOE≌△COF,即直线l始终经 21 壹学知道中考数学压轴题得高分● 过AC的中点O,可知点G在以AO为直径的 C解析取AB的中点M,以点M为圆心、MA 圆上，∴.AG≤AO=1,即AG的最大值为1. 为半径作圆，当⊙O与x轴相切时，可得AB最 DF 小.设MA=MC=r,则OM= G 号r,0A= 52、、△2，良A可灵浸 (3)动边对定角 少值为界 例14(2024·宿迁)如图，在平面直角坐标 系中，点A在直线)=》上，且点A的散坠标 为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一 条直角边经过点A,另一条直角边与直线OA 交于点B,当点C在x轴上移动时，线段AB的 最小值为 22M )第1章几何最值 》真题演练 1.(2023·邵阳)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A 运动.当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB'P,连接CB',则在点P的运 动过程中，线段CB'的最小值为 FO (第1题) (第2题) (第4题) 2.(2023·菏泽)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=5,AD=4,AD<BC,点E 在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE,则线段BF的最小值为 3.(2020·徐州)在△ABC中，若AB=6,∠ACB=45°.则△ABC的面积的最大值为 4.(2020·成都)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E、F分别为边AB、CD的中点.动点P从 点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿F℃向点C运动，连接PQ,过点B作 BH⊥PQ于点H,连接DH若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的 过程中，线段PQ长度的最大值为 ,线段DH长度的最小值为 5.(2024·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转，过 点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 ,最小值为 B (第5题) (第7题) 6.(2021·广东)设O为坐标原点，A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB,连接AB,过 点O作OC⊥AB于点C,则点C到y轴距离的最大值是 () A日 收号 eg D.1 7.(2022·无锡)△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与 直线AE交于点F.如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF= °；现将△DCE 绕点C旋转一周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 23 么壹学知道中考数学压轴题得高分一 8.(2023·宜宾改编)如图，抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于点A(一4,0)、B(2,0),且经过点 C(-2,6). (1)求抛物线的函数表达式. (2)M是y轴上一动点，当∠AMC最大时，求点M的坐标. 9.(2022·广西)已知∠MON=a,点A、B分别在射线OM、ON上运动，AB=6. (1)如图1，若a=90°，取AB的中点D,点A、B运动时，点D也随之运动，点A、B、D的对应点 分别为A'、B'、D',连接OD、OD'.OD与OD'有什么数量关系？证明你的结论. (2)如图2，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的最大 距离 (3)如图3，若α=45°，当点A、B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出 △AOB面积的最大值. M M A A A D D ∠60° 145° B B'N B N 图1 图2 图3 24M 第1章几何最值 10.(2021·扬州)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段BC=2,使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考：(1)这样的点A唯 吗？(2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点 B、C除外)，….小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）. (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决， ①该弧所在圆的半径长为 ②△ABC面积的最大值为 (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内 部，我们记为A',请你利用图1证明∠BA'C>30°. (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=2, BC=3,点P在直线CD的左侧，且tan∠DPC=4 ①线段PB的长的最小值为 ； ②若SAD-号SAAD,则线段PD的长为 2 D 306 B 图1 图2 备用图 25第2节“PA十kPB”型最值 1.6解析：如图，过点P作PH⊥AB于点H,则 PH=3BP,CP+号BP=CP+PH,当CP、H 三点共线时取到最小值.⊙O的半径为4，AB= 45,CP+号BP的最小值为6. 2.B解析：由AE=BF可得△DAE≌△ABF, AF⊥DE,即∠DOF=90°.：M是DF的中点， OM=合DF,dOM+号FG=合(2OM+FG) DF+PG).如图，作点G关于BC的对称点G,则 DF+FG=DF+FG/>DG=10,OM+2FG的最 小值是5. M 3.解析：1)y=8-2文-4(2)①E(6,3,在抛 5 1 物线上.②P(o,一) 4.解析：(1)由题意得点A的坐标为(1,0)，点B的坐 标为(5,0)，可得直线AD的函数表达式为y=x一1. 将A(1,0)、B(5,0)代入抛物线的函数表达式，得 a+b+5=0, a=1, 解得 ∴抛物线的函数表达 25a+5b+5=0,b=-6. 式为y=x2-6x十5.(2)如图，在x轴上取点M(4, 0):BM=1,BP=2.BA =4.Bp-BA 又 中考数学压 '∠MBP=∠PBA,△BMPO△BPA,:.PM ·PA 邵名…PM-名PA.南题意得C06PC+ PAPC+PM≥CM=√④红，当C,P,ME点共线 时，PC+2PA取到最小值V. B 5解析：(1)抛物线的函数表达式为y=是x-号 x- 1 2.(2)由题意得直线AB的函数表达式为y= 22 2,设点P的坐标为(a,m-号m-2小，记PD与 1 AB的交点为Q,则点Q的坐标为(m,2m-2): 2PK=PQ-m-2-(m:-m-2）= m+m+ PD=PQ+PD=-m+m+2,当m=时，取 到最大值，最大值为罗此时点P的坐标为(， 25 35) 16 第3节构造辅助圆 1.√1一2解析：由题意得点B'的轨迹是以点A为 圆心、AB为半径的圆弧，.当A、B'、C三点共线且点 B'在线段AC上时，CB'取到最小值，此时CB'=AC一 AB′=√1I-2,∴.CB'的最小值为√11-2. 2.√29-2解析：∠ADF=∠BAE,∴.∠ADF+ 轴题得高分 3· ∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD=90°， ∴∠AFD=90°.如图，取AD的中点M,点F的轨迹 是以点M为圆心、AD为直径的圆弧，当B、F、M三点 共线时，BF取到最小值，此时BF=BM一MF= √29-2，.线段BF的最小值为√29一2. D 3.9十9√2解析：如图，以AB为边，在点C同侧作等 腰直角三角形AOB,则点C的轨迹是以点O为圆心、 OA为半径的圆弧，∠AOB=90°.连接CO,当CO⊥ AB时，△ABC的高CH最大，此时面积也最大，此时 OH=AH=3,OC=OA=3√2，∴.△ABC的面积的最 大值为？×6×(3+3②)=9+9区. 4.3√2√13-√2解析：当点P到达点A时，PQ长 度最大，此时点Q到达FC的中点，DQ=3,PQ= √/32+32=3√2，即线段PQ长度的最大值是3√2.连 接EF,与PQ交于点M.,PE=2FQ,.EM=2FM, 即M是线段EF上靠近点F的三等分点，连接BM, 中点记为N,则点H的轨迹是以点N为圆心、BM为 直径的圆，∴.当D、H、N三点共线时DH取到最小 值，此时DN=√32+2=√13，MN=√/12+1=√2， ∴.DH=√I3一√2，即线段DH长度的最小值是 √13-√2. 中考数学压 5.2W2+12V2-1解析：：cos∠BAE=AE AB 35,∠BAE最小时，cOs∠BAE最大，AE最大 ∠BAE最大时，AE最小.由题意可知，点D的轨迹是 以点C为圆心、1为半径的圆，如图，当AD与⊙C相 切时，AE取到最大值或最小值，当AD在点C下方 时，AD=√AC2-CD7=2√2，又∠CED=∠CBA= 45°，∴.ED=CD=1,∴.AE=AD+DE=2√2+1；同 理，当AD在点C上方时，可得AE的最小值为2√2-1. 综上所述，AE的最大值为2√2+1，最小值为2√2-1. D 6.A解析：方法1：如图1，设点A的坐标为(a,a2), 点B的坐标为（一b,b2),分别过点A、B作x轴的垂 线，垂足分别为M、N.∠AOB=90°，易证△AMO) △ONB,∴ab=ab2,解得ab=1.由题意，得kAB= a2-b2 a-(-b)=a一b,直线AB的函数表达式为y= (a-b)(x-a)+a2,即y=(a-b)x+ab,当x=0 时，y=ab=1.记AB与y轴交于点P,则点P的坐标 为(0,1).如图2，，OC⊥AB,可得点C的轨迹是以OP 为直径的圆弧∴点C到y轴的最大距离为2OP=2 图1 图2 方法2：如图3，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分 别为M、N,连接AN交y轴于点Q,设OM=a,则 轴题得高分 AM=a2,设ON=b,则BN=b2,由△AMO∽△ONB 可得a公-6，即b-1,品-AS-Q a千6·62=a6,Q0=N0 a a+6'AM-Nm,Q0-a+6·a2= a+B'+.OP=a'b+ab: a2b =ab=1,.点P的坐标为(0， atb 1D,0C的最大值为20P=号 图3 7.804一√3解析：由题意得△CEA≌△CDB, ∴.∠EAC=∠DBC=20°，∴.∠BAF=80°. ∠EAC+∠AFB=∠DBC+∠BCA,∴.∠AFB= ∠BCA=60°，∴.点F在△ABC的外接圆上.考虑到 CD绕着点C旋转，以点C为圆心、3为半径作圆，即 为点D的轨迹.如图，当点D在△ABC内部且BD与 ⊙C相切时，AF最小.，CB=5,CD=3,∴.BD=4.由 △CDB≌△CEA,得AE=BD=4.连接CF,则 △CDF≌△CEE,EF三SCE=3,∴AF=AE EF=4一√3，即线段AF长度的最小值为4一√3. D E 8.解析：(1)把A(-4,0)、B(2,0)、C(-2,6)代入y= 3 a= [16a-46+c=0, 4 ax2+bx+c,得4a+2b+c=0,解得 3.抛 2 4a-2b+c=6, c=6, 中考数学压 物线的函数表达式为y=-是-号x十6，(2)如 图，作△ACM的外接圆，当外接圆与y轴相切时， ∠AMC最大，延长AC交y轴于点D,连接CM、AM, 则△DCM∽△DMA,∴.DM=DC·DA.由题意得直 线AC的函数表达式为y=3x十12，.点D的坐标为 (0,12),.DC=2/10,DA=410,∴.DM2=DC· DA=2√10X4√10=80，.DM=4V5,.点M的坐 标为(0,12-4√5). 9.解析：(1)OD=OD'.理由如下：在Rt△AOB中， D是AB的中点，0D=号AB,同理，0D'-2AB. ,AB=A'B',.OD=OD'.(2)固定△ABC不动， 将∠MON运动，构造等腰三角形APB且∠APB= 2∠MON=120°，如图1，则点O的轨迹是以点P为圆 心、PA为半径的圆弧，∴.OC≤OP+PC,当C、P、O 三点共线时，OC取到最大值..AB=6,∴.OP=AP= 2√5，PC=√3+3，.OC=OP+PC=3√3+3，∴.点O 与点C的最大距离为3√3十3 B 图1 图2 (3)当OA=OB时，△AOB的面积最大.理由如下：构 造等腰直角三角形APB,∠APB=90°，如图2，则点O 的轨迹是以点P为圆心、PA为半径的圆弧.取AB的 轴题得高分 中点H,当O、P、H三点共线时，△AOB的面积最大. AB-6.PH-TAB-3.OP-AP-32. ∴.OH=3√2+3，.SAA0B= 2AB·0H=}×6× (3√2+3)=9√2十9，∴.当点A、B运动到OA=OB 时，△AOB的面积最大，最大值为9√2十9. 10.解析：(1)①2②2十√3(2)如图1，延长BA'交 圆弧于点P,连接CP,则∠BPC=∠BAC=30°， ∴.∠BA'C=∠BPC+∠PCA'>30°. 30 图1 (3)0V97-5 4 解析：如图2，取CD的中点M,过点 M作MNLcD,且MN=,点P的轨迹是以点N 为圆心、ND为半径的圆弧，连接BN,与圆弧交于点 P,此时PB取到最小值.连接ND、NC,过点N作 NQLBC-于点Q.:MC=2CD=1,QC=MN= 4 NP=NC=景，BQ=,PB=BN-NP +()厂--75，即线度Pg的长的数小 值为97-5 4 图2 图3 ②72 4 解析：，AD=3,CD=2,.若S△rCD= 3 SAFAD,则点P到AD、CD的距离相等.如图3，作 2 中考数学压 ∠ADC的平分线，与圆弧交于点P,连接PC,过点C 作CH1PD于点H.:∠HDC=2∠ADC=45, CD-2,CH-DH=2.tan ZDPC-CH_4 PH=3, PHCHPD-PH+DH 4 4,即线 度PD的长为3 第4节瓜豆原理 1.2解析：由题意可知点E的坐标为(0，一3)，点D 的坐标为(4,0).如图，取OA的中点M(1,0),则点C 的轨迹是以点M为圆心、1为半径的圆.过点C作 CH⊥DE,连接MC,则当M、C、H三点共线且点C 在线段MH上时，CH最小，此时△CDE面积最小.易 得△MDHO△ED0,-0.即=号 3=5 ∴MH=号，CH=MH-Mc=号-1=手， 4 :△CDE面积的最小值为号×5×号=2. 4 2.D解析：如图1，在边AB上取点P使得BP: PA=1:2,则点P的坐标为(W5,2√5)，OP=5,且可 得△APM△ABc,-A0-号PM- C=1,“点M的轨迹是以点P为圆心、1为半径 的圆.如图2，当O、P、M三点共线且点M在线段OP 的延长线上时OM取到最大值，由80-号可得点M 轴题得高分