第6章 第2节 相等角的构造-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

(日-) B H 6.解析：(1)由题意得抛物线的函数表达式为y= a(x-3)(x+1),C(0,3),.-3a=3,∴.a=-1,∴.抛 物线的函数表达式为y=-x2十2x十3.(2)如图，过 点P作MN⊥x轴，分别过点Q、C作MN的垂线，垂 足分别为M、N.,∠CPN+∠MPQ=90°= ∠PQM+∠MPQ,∴.∠CPN=∠PQM,又∠N= ∠M=90 ACNP△P0,g-8N80 tan∠PCQ=子，设点P的坐标为(m,-m2+2m+ 3),则PN=|-m2+2m+3-3|=|m2-2ml,MQ= m-1,2动=，即02 |m-1 或 m2-2m-4 =-至解得m-计成5一下或 m2-2m 3 3 1+√13求1-√13 3 3或3 7.解析：(1)将A(3,1)、B(0,一2)代入y=x2+bx+ c,得/9+36+c=1, c=2,解得2， c=一2…二次函数的表达 式为y=x2-2x-2.又y=x2-2x-2=(x-1)2-3, .顶点G的坐标为(1，-3).(2)由题意得lAB:y= x-2,.lc6':y=x-4,.点M在直线y=x-3上， 连接BG,取点Q(2,一1)，以点Q为圆心、QB为半径 作圆，与直线y=x一3在BG上方的交点即为点M, 则QM-QB=5,得点M的坐标为2+，-1十 中考数学压 四)又A(3,10G'1+10,-3+):点M 关于BG的对称点即为另一个点M,可得坐标为 (1-四-4-)又A81G(5 √10，-9-√10）.综上所述，点G的坐标为(1十 √/10，-3+√10)或(-5-√10，-9-√10). 第2节相等角的构造 1 1.解析：1)将B(9,0)、C(0,-3)代入y=3x2+ bx十c,解得=-8=一3，抛物线的函数表达式 为y=-8 1 3x-3.(2)点P的坐标为(8，-3)或 /4175 (416片 2.解析：(1)y=-x2+2x十3.（2)存在.法1：延长 BP交直线L于点Q,若∠PBF=∠DFB,则△QBF 是等腰三角形.由题意得直线BC的函数表达式为 y=一x十3，联立方程组 y=一x+3, 解得 y=3x+9, x、3 2 -9 ∴点F的坐标为（名，2）设点Q的坐 y=2’ 标为m,3m+9),则Qr=(m+)'+(3m+)月， QB=m-3)+(3m+9,(m+2}了+(3m+ 》广=(m-3r+(3m十9y,解得m=-5:点Q 的坐标为(-只，-)，“直线Q的函数表达式为 轴题得高分 7· y=行x-1,联立得方程-x2+2z+3=子x-1,解得 1 x-3(会去)，：--专“点P的坐标为(-手 13 9 y. 法2：由题意，得∠DFB=∠DEO十∠ECF,∠PBF= ∠PBO+∠OBC,又∠ECF=∠OCB=∠OBC, ∴∠PBO=∠DEO,∴tan∠PBO=tan∠DEO=3, 设点P的坐标为(m,-n2+2m十3)，可得”2n-3- 3-n 解得n=3(舍去)或n=一手，点P的坐标为 1 3解析：1y=-2+2x十2.(2)(6，-70. 4.解析：(1)将y=0代入二次函数表达式，得一x2+ 2mx+2m+1=0,因式分解得-(x+1)(x-2m- 1)=0,解得x1=-1,x2=2m+1,∴.点A的坐标为 (-1,0),点B的坐标为(2m+1,0),令x=0,得y= 2m+1,∴.点C的坐标为(0,2m+1).OB=OC, ∠BOC=90°，∴.∠OBC=∠OCB=45°.(2)若 ∠ACO=∠CBD,则∠ACO+∠OCB=∠CBD+ ∠OBC,即∠ACB=∠ABD.如图1，连接AE,则 AE=BE,∴.∠EAB=∠EBA=45°，.∠AEC=90°， tan ZACE=A(-1.),B (2m+1.0 .F(m,0),∴.AE=√2AF=√2(m+1),CE=√2m, :tan∠ACE=2(m+1)_+1将工=m代人二次 √2mm 函数表达式，得y=m2+2m十1，.点D的坐标为(m, m2+2m+1),,∴，DF=m2+2m+1,.∴.tan∠DBF= 中考数学压 D5_m+2m+1=m十1，…m+1=m+1,解得m= B m+1 m 1或m=一1（舍去），.m的值为1. 图1 图2 (3)如图2，，点P在第四象限，.∠ACB>∠ACP= 75°，.∠OCB=45°，.∠AC0>30°，.tan∠AC0= 0C2m+1>3,解得m<5-1, A01、√3 2,m的取值范围 是0<m<3-1 2 第3节二倍角、半角的构造 1.√2一1解析：记AE=AB=a,则DE=BE=√2a, tan∠BDE=AB_a ADa十2a =√2-1. 2.号解析：如图，过点C作CH⊥y轴交y轴于点 14 H,则CH∥AO,.∠ACH=∠CAO.又.∠BCA= 2∠CAO,∴.∠ACH=∠BCH.记AC与y轴的交点为 M,则△BCM是等腰三角形，∴.BH=MH.由题意得 △A0M△CHM,9-合0-音设OM=4a,则 BH=HM=3a,“OB=10a=4,解得a=2 5 0H-7a-9×号-4，即a-号 _14 B H>C M 3.解析：(1)(-2,0)(3,0)(0,4)(2)存在.如图， 过点C作CN⊥y轴，则∠OCN=∠OCB+∠PCB+ ∠PCN=90°.又∠BCO+2∠PCB=90°，∴.∠PCN= ∠PCB,即CP平分∠BCN.延长CP与x轴交于点 M,则∠OMC=∠PCN=∠PCB,∴.BM=BC=5, 轴题得高分 38·)第6章) 坐标系中的角 第2节 相等角的构造 在认识特殊角的基础上，可构造相等角，若存在特殊的位置关系，则从位置考虑；若不存在特殊 的位置关系，可用三角函数度量并构造。 ∠ABC+∠BCO=90°，.∠ACB=90°，取AB 」》知识导航 的中点Q,则BQ=CQ,∴.∠ABC=∠QCB,连 接CQ并延长，与抛物线的交点即为满足条件 彦1.几何构造 的点P,记为P2.由题意得点Q坐标为(3,0). ®例T(2022·菏泽改编)如图，抛物线y= 设直线CQ的函数表达式为y=mx+n,将(0， a.x2+bx十c(a≠0)与x轴交于A(-2,0)、 n=4, 4)、(3,0)代入得 解得 B(8,0)两点，与y轴交于点C(0,4),连接 3m+n=0, AC、BC. 4 m=- (1)求抛物线的函数表达式， 3’.直线CQ的函数表达式为y= (2)P是抛物线上的一动点，当∠PCB= n=4, 1 ∠ABC时，求点P的坐标. 3x十4，联立得方程 3x+4=- x2+ 3 2x十4，解得x1=0(舍去)，x2二3，点P2的 坐标为-1 00 综上所述，点P的坐标为 34100 备用图 (6,4)或(3，-9 ○解析(1)设抛物线的函数表达式为y= a(x+2)(x-8),将C(0,4)代人得-16a=4, 1 ∴a=- 4y= 1 一4(x+2)(x一8)，∴抛物 6 线的函数表达式为y=-2+ 2x+4. 思路归纳 (2)如图，过点C作x轴平行线，与抛物线的交 构造相等角的方法： 点即为满足条件的点P,记为P1.将y=4代入 (1)平行线：两直线平行，同位角、内错角 抛物线表达式得一+8x+4=4,解得 相等； x1=6,x2=0(舍去)，∴.点P1的坐标为(6,4) :m∠Ac08C2am∠ABc-8 OC a 3∠AC0=∠ABC,∠AC0+∠BG0= 183 壹学知道中考数学压轴题得高分 (2)角平分线：角平分线分的两个角相等； C解析(1)将A(-1,0)、B(3,0)、C(0,1)代入 a-b+c=0, y=ax2十bx+c,得 9a+3b十c=0,解得 c=1, a a=- 3 (3)等腰三角形：等边对等角； 2 6= 32+ 抛物线的函数表达式为y= 3 c=1, 3x+1, (4)全等三角形：对应角相等； (2)思路：构造辅助圆 考虑到∠BAC和∠BQC所对的边均为BC,故 构造△ABC的外接圆，与该抛物线对称轴的交 a 点即为点Q, (5)圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周 角相等。 B △ABC外接圆圆心记为点M,则点M在线段 AB的垂直平分线上，即点M在抛物线的对称 ®例2(2018·日照改编)如图，已知点 轴上 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,1)在抛物线y= 设点M坐标为(1，m). ax2+bx+c上. 根据MA=MC,得√(1+1)2+(m-0)z= (1)求抛物线的函数表达式. √(1-0)2+(m-1)2, (2)在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在 解得m=一1，∴.点M的坐标为(1，一1)， 一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在，请求出 ⊙M的半径为/12十22=√5， 点Q的坐标；若不存在，请说明理由， ∴.MQ=5, .点Q的坐标为(1，-1一√5). ≥2.三角函数计算 例3(2022·大连改编)在平面直角坐标系 中，抛物线y=x2一2x一3与x轴相交于点A、 184 D 第6章】 坐标系中的角 B(点A在，点B的左侧)，与y轴相交于点C,连 接AC. (1)求点B、C的坐标. (2)如图，抛物线的顶点为D,连接CD、BC,点 P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点 Q,是否存在点P,使∠PQC=∠ACD?若存 在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 舍思路归纳 锐角三角函数：若两个锐角的三角函数 值相等，则这两个角相等。 B 0 令例4(2025·成都)如图，在平面直角坐标 C解析(1)将y=0代入抛物线表达式，解得 系xOy中，抛物线y=ax2+bx过点(-1,3)， x1=一1，x2=3,又.点A在点B的左侧，.点 且对称轴为直线x=1,直线y=kx一k与抛物 B的坐标为(3,0).将x=0代入抛物线表达式， 线交于A、B两点，与x轴交于点C. 得y=一3，.点C的坐标为(0，一3). (1)求抛物线的函数表达式. (2)存在.如图，延长DC交x轴于点E,则 (2)过点C且与AB垂直的直线交抛物线于P、 ∠ACE+∠ACD=180°.又∠PQC+∠CQD= Q两点，M、N分别是AB、PQ的中点.试探究： 180°，且∠PQC=∠ACD,∴.∠ACE=∠CQD. 当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点 过点A作AF⊥CE交CE于点F.由题意得 T,使得TC总是平分∠MTN?若存在，求出 A(-1,0)、D(1,-4)、E(-3,0)、F(-2, 点T的坐标；若不存在，请说明理由。 1),.tan∠ACF=AF=V2_1 CF2√2 P tan∠cQD=tan∠ACF=2,即=l CQ2' .CQ=2CD=22,∴点Q的坐标为(2，-1) 设直线DQ的函数表达式为y=x十b,将 k十b=-4, C解析(1)y=x2一2x. (1,-4)、(2,-1)代入得 解得 2k十b=-1, (2)令x2-2x=kx-k,整理，得x2-(k十 2)x十k=0,由根与系数的关系，得xA十xB= k=3,:直线DQ的函数表达式为y=3x k十2，yA十yB=(xA-1)+k(xB-1)= b=-7, k(xA十xB)-2k,代入得yA十yB=k2,.点M 7,联立得方程3x一7=x2一2x一3，解得x1=4, x2=1(舍去)，∴.点P的坐标为(4,5). 的坐标为，经》，同理可得点N的生标为 185 壹学知道中考数学压轴题得高分 (2,2)-若T0平分∠MTN.则∠MTC= C解析(1)设二次函数的表达式为y=a(x+ 4)(x+1),由题意，得C(0,4),代入表达式，得 ∠NTC,'.tan∠MTC=tan∠NTC.设点T坐 4a=4,∴.a=1,.二次函数表达式为y=x2十 k十2 5x+4. 2 标为(1，t),由题意得tan∠MTC= 32 (2)正确..OA=4=OC,∴.△AOC是等腰直角 2t 三角形.如图，过点B作BH⊥AC交AC于点 2k-1 k2-2t,tan∠NTC= 2k k 2AB-3/ H,则AH=BH=2A ,可得点H的 1 1-2k2t’ 2k2-t 坐标为（一 2, 六k-2:=1-22,即(2t+1)(k2-1)=0, ∴.tan∠HBC= CH 6 BH .∠DAB+ 2点T的坐标为(1，-) ∠ACB=90°，∠HBC+∠ACB=90°， ∴.∠DAB=∠HBC,∴.tan∠DAB= tan∠HBC-号设点D的坐标为(m,m+ 5m+4),过点D作DN⊥x轴交x轴于点N, 则DN=-m2-5m一4，AN=m+4, tan∠DAB= DN-m2-5m-4 AN m+4 3,解得 23.转化为等角 8 8201 m=- 3心点D的坐标为（ 3’9 ®例5(2023·泰安改编)如图，二次函数 y=ax2+bx+4的图像经过点A(-4,0)、 B(一1,0)，与y轴交于点C (1)求二次函数的表达式. (2)小明经过探究发现：位于x轴下方的抛物线 上存在一点D,使∠DAB与∠ACB互为余角， 你认为他探究出的结论是否正确？若正确，请 $思路归纳 求出点D的坐标；若不正确，请说明理由. 与角度相关的问题中，除了等角关系外， 有一些其他角度之间的数量关系，可通过分 析转化为等角关系，如互余、互补、两角和为 定值等问题，可考虑将所求角转化为与某定 B 角相等，再利用构造相等角的方法解决问题. 186M )第6章 坐标系中的角 》真题演练 1(2025·广安)如图，抛物线y三x2+bz+c(bc为常数)的图像交x轴于A、B两点，交y轴于 点C,已知点B的坐标为(9,0)，点C的坐标为(0，一3)，连接AC、BC (1)求抛物线的函数表达式 (2)若P为抛物线上的一个动点，连接PC,当∠PCB=∠OBC时，求点P的坐标， B B 备用图 2.(2024·淄博改编)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点（点A在 ,点B的左侧)，其中x1、x2是方程x2一2x一3的两个根，抛物线与y轴相交于点C. (1)求该抛物线的函数表达式. (2)已知直线l:y=3x十9与x轴、y轴分别相交于点D、E.设直线BC与l相交于点F,问：在第 三象限内的抛物线上是否存在点P,使得∠PBF=∠DFB？若存在，求出点P的坐标；若不 存在，说明理由 AO 187 么壹学知道中考数学压轴题得高分一 3.(2021·宿迁改编)如图，抛物线y=一2x2十br十c与x轴交于A(-1,0)B(4,0),与y轴交于 点C.连接AC、BC,点P在抛物线上运动. (1)求抛物线的函数表达式. (2)若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ=∠CBA十45时，求点P的坐标. V外 B 4.(2022·苏州)如图，二次函数y=一x2+2m.x十2m+1(m是常数，且m>0)的图像与x轴交于 A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E,与 x轴交于点F.连接AC、BD, (I)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求∠OBC的度数 (2)若∠ACO=∠CBD,求m的值. (3)若在第四象限内二次函数y=一x2十2mx十2m十1(m是常数，且m>0)的图像上始终存在 一点P,使得∠ACP=75°，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围. y A B 备用图 188M