第6章 第1节 特殊角的构造-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分● 第6章 坐标系中的角 》》》》 第1节 特殊角的构造 坐标系中关于角度问题的探究内容多样，本节从特殊角的认识开始，讨论关于角度构造的一般 方法与思路，为其他角度问题做铺垫 》知识导航 tan 2a=3 .4 tan a= 彦1.“12345”模型 tan月=3→tam2g= y 4 ®例1(2019·北京)如图所示的网格是正方 2a+23=90°→a+B=45 形网格，则∠PAB十∠PBA= (点 ®例2](2023·广元)如图，在平面直角坐标 A、B、P是网格线交点) 系中，已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在 x轴上，且点C在点A的右边，连接AB、BC, B C解析如图，∠PAB十∠PBA=∠BPQ=45. 若an∠ABC=了则点C的坐标为 模型归纳 (1)一组特殊角a与月 B 1 tan a= ○解析法1：过点A作AD⊥AB交BC于点 2 →a+B=45° 1 D,过点D作DE⊥x轴于点E,则△DEA∽ tan B= DE EA DA 1 (2)2a与28的三角函数值 AA0B,.AOOB=AB=3'DE月 3A0= EA=On=1,点D的坐标为 1 (2,一)义：点B的坐标为(0一3)，可得 4 2$ 直线BD的函数表达式为y= 3x-3,当y=0 4 5 2a 9 3 5 时，解得x=点C的坐标为，0) 76 第6章 坐标系中的角 器-合：可得m OA ∠ACB= ：oB=1 ∴.OC=3,.直线BC的函数表达式为y= 3x-1. 法2(K字型全等)：过点A作AD⊥AB交BD 于点D,过点D作DH⊥x轴交x轴于点H, 法2：由题意得tan∠OBA= 0A=1= OB 3 则△BOA≌△AHD,∴.AH=BO=1,DH= tan∠ABC,∴.∠OBA=∠ABC,即∠OBC= A0=日D(号-2)又B(0,-1,直线 2∠ABC,可得an∠0BC=OB 解 3.OC3 BC的函数表达式为y= 1 3x1. 得O0?点C的坐标为20 《模型归纳 (3)a与B余角的三角函数值 4 45⊙ ≥2.45°角的构造 B B+45 2 3 ®例4(2023·自贡改编)如图，抛物线 at45% y=- 3x2+bz+4与x轴交于A(-3,0)、B 1 3 tan(90°-β)=tan(a+45)=3 两点，与y轴交于点C. tan(90°-a)=tan(B+45°)=2 (1)求抛物线的函数表达式及B、C两点的 坐标. ®例3(2019·盐城)如图，在平面直角坐标 (2)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得 系中，一次函数y=2x一1的图像分别交x轴、 ∠ACE=45°？若存在，请求出点E的坐标；若 y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针旋转 不存在，请说明理由， 45°，交x轴于点C,则直线BC的函数表达式是 B C解析(1)将(-一3,0)代入抛物线的函数表达 式，得-音×(-3-36十4=0，解得= 8 3 C解析法1(12345模型)：.∠ABC=45°， .∠ABO+∠ACB=45°，又tan∠ABO= &抛物线的函数表达式为y=22心 3x+4. 177 壹学知道中考数学压轴题得高分● 令y=0,即-专2-x十4=0，解得x1=一3， C解析取CF的中点M,以点M为圆心、MA 为半径作圆，与直线AC上方的对称轴交点即 x2=1,∴.点B的坐标为(1,0).将x=0代入抛物 线的函数表达式，得y=4,'.点C坐标为(0,4). 为点P,此时有∠APC= 2∠AMC=45. (2)存在.如图，过点A作AF⊥AC交CE的延 长线于点F,过点F作FG⊥x轴交x轴于点 G.,∠ACE=45°，∴.∠AFC=45°=∠ACE, ∴.AF=AC.∠AFG+∠FAG=90°= ∠CAO+∠FAG,∴.∠AFG=∠CAO,又 B ∠AGF=∠COA,.△AGF≌△COA,∴.AG= OC=4,FG=OA=3,∴.点F的坐标为（一7， 3).设直线CF的函数表达式为y=mx十n,将 思路归纳 n=4, 对于45°角的构造，若角的顶点是定点， (0,4)、(-7,3)代入，得 解得 -7m+n=3, 则可作包含这个45°角的等腰直角三角形，再 作K字型全等；若角的顶点是动点，则可构造 7’直线CF的函数表达式为y= 7x 辅助圆得45°角， n=4, 4,由题意得抛物线对称轴为直线x=一1，将 ≥3.定角的构造 无=-1代入直线y=行十4得y-7点 ®例5(2022·湖北改编)抛物线y=x2一 E的坐标为(-1,2)】 4x与直线y=x交于原点O和点B,与x轴交 于另一点A,顶点为D, (1)直接写出点B和点D的坐标， E (2)如图，连接OD,P为x轴上的动点，当 B tan∠PD0=2时，求点P的坐标. B 变式：P是抛物线对称轴上一点，且在直线AC 上方，连接AP、CP,若∠APC=45°，求点P的 坐标 C解析(1)点B坐标为(5,5)，点D坐标为 (2,-4) B (2)如图1，过点D作x轴的垂线，垂足即为满足 条件的点P,如图中的点P1,由tan∠PDO= 178M )第6章) 坐标系中的角 器-号可彩点R坐标为2,0：肖点P (需证).DP,=4P,P:=号点P:坐标 在点O左侧时，如图中的点P2,法1：过点O作 OM⊥OD交DP2于点M,过点M作x轴的垂 为9叫 线交x轴于点N,则△DP1O∽△ONM, ON MN OM 1 DP-OP-D0-2ON=2DP=2 A MN=2OP1=1,点M的坐标为(-2，-1). 设直线DM的函数表达式为y=kx+b,将 2k+b=-4, 图2 (2,一4)和（一2，一1）代入，得 解 2k+b=-1, 3 补充关于m∠P,DP:-品-着的证明 4 可借助本题的图形分析，如图，在P1D上取点 得 .直线DM的函数表达式为 5 E使得OE=DE,则∠P1EO=2∠P1DO= b=- 2 ∠P,DP,由题意得点E坐标为(2，-)， Js- x。,当=0时，得x一一方之-：发 ,tan∠P1DP2=tan∠PEO= P:坐标为(9,0)综上所述，点P坐标为(2， EP13 10 0)或(-30 B P P 密思路归纳 与45°角的构造类似，若定角的顶点是定 点，可构造包含定角的直角三角形，再作K字 D 图1 型相似若定角的顶点是动点，则可构造辅助 圆求得角的顶点坐标。 法2：如图2，若tan ∠P1D0=2 PP2=4 tan∠P,D0,可得tan∠P,DP,=DP1=3 179 壹学知道中考数学压轴题得高分心 》真题演练 1.(2021·自贡)如图，在正方形ABCD中，AB=6,M是边AD上的一点，AM:MD=1:2,将 △BMA沿BM对折得到△BMN,连接DN,则DN的长是 B96 6√5 8 C.3 D. 5 M D E (第1题) (第2题) 2.(2021·营口)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,E是边AB上一点，AE=3,连接DE,F 是BC的延长线上一点，连接AF,且∠F-2∠EDC,则CF= 3.(2025·威海)问题提出 已知∠a、∠3都是锐角，tana= am日=专，求∠e十∠月的度数 问题解决 (1)如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD,请你按照这个思路求 ∠a十∠3的度数.(，点A、B、C、D都在格点上) 策略迁移 (2)已知∠a,∠B都是锐角，ae=号，an8=,则∠e十∠日 (3)已知∠a、∠B、∠0都是锐角，tana=3,tamB=7∠a十∠B=∠0，求tan0的值. (提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案) B D 备用图 备用图 180 )第6章 坐标系中的角 4.(2025·威海改编)已知抛物线y=ax2+bx一3交x轴于点A(一1,0)、B,交y轴于点C.点C向 右平移2个单位长度，得到点D,点D在抛物线y=ax2十bx一3上.E为抛物线的顶点. (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标. (2)点P在抛物线y=ax2十bx-3的对称轴上，若∠OAP十∠OCA=45°，则点P的坐标为 Bx AO Bx D D E E 备用图 5.(2021·连云港改编)如图，抛物线y=mx2+(m2十3)x一(6m+9)与x轴交于点A、B,与y轴 交于点C,已知点B的坐标为(3,0). (1)求m的值和直线BC对应的函数表达式. (2)Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标. 181 么壹学知道中考数学压轴题得高分一 6.(2022·锦州改编)如图，抛物线y=ax2十bx+3交x轴于点A(3,0)和点B(-1,0),交y轴于 点C. (1)求抛物线的函数表达式. (2)P为抛物线上一点，连接CP,过点P作PQLcP交抛物线对称轴于点Q,当1an∠P(Q- 时，请直接写出点P的横坐标。 B 7.(2025·济南)二次函数y=x2十bx十c的图像经过A(3,1)、B(0,-2)两点，顶点为G. (1)求二次函数的表达式和顶点G的坐标 (2)如图，将二次函数y=x2十bx十c的图像沿直线AB平移，点A、G的对应点分别为A'、G',连 接AG'、A'G,线段AG'与A'G交于点M.若tan∠BMG=3,请直接写出点G的坐标. 182M的坐标为(-3-√2,2+4√2)，.CQ=MN=2+3√2， ∴.点Q的坐标为(0，-1十3W2).②若MN=CN,则 ∠NCM=∠NMC=45°，∴.∠MNC=90°，∴.△MNC 是等腰直角三角形，∴.点N的坐标为（一2，一3），点M 的坐标为(-2，一1)，.CQ=MN=2,∴.点Q的坐标 为(0，-1).综上所述，点Q的坐标为(0，一1-3√2)或 (0,-1+3√2)或(0，-1). 第6章坐标系中的角 第1节特殊角的构造 1.D解析：如图，过点N作NH⊥AB交AB于点 H.:an∠ABM=号，∴tam∠ABN=是，∴NH 6X318 5=5,BH=6X4=24 5 =号过点N作NQ⊥AD交 AD于点Q,则DQ=AD-AQ=6-S-号，NQ AH AB BH =6-24= 5 DN v@+@-√借+(T-65 D H B 2.6解析：由题意可得tan∠EDC=tan∠AED= ,AB=5,∴BF=10,∴.CF=BF-BC=10-4=6. 3.解析：(1)如图1，∠a+∠3=45°.(2)如图2， ∠a十∠g=90.(3)如图3，tan0=2 图1 图2 中考数学压 图3 4.解析：(1)由题意，得C(0,一3)、D(2,-3),故可求 得抛物线的函数表达式为y=x2一2x一3，点E坐标 为(1，-4).(2).A(-1,0)、C(0,-3), iam∠0CA-82-3,又Z0AP+∠0A-46,可 1 得tan∠OAP=2,lP:y=2(x+1)或lP:y= -2x十1D.将x=1代入y=2x+1),得y=1:将 1 x=1代人y=号(x+1D,得y=-1点卫的坐标 为(1,1)或(1，-1). 5.解析：(1)将B(3,0)代入y=mx2+(m2+3)x一 (6m+9)得9m+3(m2+3)-6m-9=0,∴.3m2+ 3m=0,解得m1=一1，m2=0(舍去)，.m的值为-1. 抛物线的函数表达式为y=一x2十4x一3，可得点C 坐标为(0，一3)，.直线BC的函数表达式为y=x一3. (2)如图，过点A作AM⊥AC交CQ于点M,过点M 作MH⊥x轴交x轴于点H.令y=-x2十4x-3=0, 解得x1=1,x2=3,.A(1,0),.OA=1;C(0, -3),.OC=3.∠ACQ=45°，∠CAM=90°， ∴.∠AMC=45°=∠ACQ,∴.AM=AC.,∠1+∠3= 90°，∠2+∠3=90°，.∠1=∠2.又.∠MHA=90°= ∠AOC,∴.△MHA≌△AOC(AAS),∴.HM=OA= 1,AH=OC=3,.点M的坐标是(4，一1)..直线 CM的函数表达式为y-号4-品联立得方程x 1 7 3=一x2+4x一3，解得x1=2x2=0(舍去)，将x1= 名代人y=-3,得y=-点Q的坐标为 轴题得高分 6· (日-) B H 6.解析：(1)由题意得抛物线的函数表达式为y= a(x-3)(x+1),C(0,3),.-3a=3,∴.a=-1,∴.抛 物线的函数表达式为y=-x2十2x十3.(2)如图，过 点P作MN⊥x轴，分别过点Q、C作MN的垂线，垂 足分别为M、N.,∠CPN+∠MPQ=90°= ∠PQM+∠MPQ,∴.∠CPN=∠PQM,又∠N= ∠M=90 ACNP△P0,g-8N80 tan∠PCQ=子，设点P的坐标为(m,-m2+2m+ 3),则PN=|-m2+2m+3-3|=|m2-2ml,MQ= m-1,2动=，即02 |m-1 或 m2-2m-4 =-至解得m-计成5一下或 m2-2m 3 3 1+√13求1-√13 3 3或3 7.解析：(1)将A(3,1)、B(0,一2)代入y=x2+bx+ c,得/9+36+c=1, c=2,解得2， c=一2…二次函数的表达 式为y=x2-2x-2.又y=x2-2x-2=(x-1)2-3, .顶点G的坐标为(1，-3).(2)由题意得lAB:y= x-2,.lc6':y=x-4,.点M在直线y=x-3上， 连接BG,取点Q(2,一1)，以点Q为圆心、QB为半径 作圆，与直线y=x一3在BG上方的交点即为点M, 则QM-QB=5,得点M的坐标为2+，-1十 中考数学压 四)又A(3,10G'1+10,-3+):点M 关于BG的对称点即为另一个点M,可得坐标为 (1-四-4-)又A81G(5 √10，-9-√10）.综上所述，点G的坐标为(1十 √/10，-3+√10)或(-5-√10，-9-√10). 第2节相等角的构造 1 1.解析：1)将B(9,0)、C(0,-3)代入y=3x2+ bx十c,解得=-8=一3，抛物线的函数表达式 为y=-8 1 3x-3.(2)点P的坐标为(8，-3)或 /4175 (416片 2.解析：(1)y=-x2+2x十3.（2)存在.法1：延长 BP交直线L于点Q,若∠PBF=∠DFB,则△QBF 是等腰三角形.由题意得直线BC的函数表达式为 y=一x十3，联立方程组 y=一x+3, 解得 y=3x+9, x、3 2 -9 ∴点F的坐标为（名，2）设点Q的坐 y=2’ 标为m,3m+9),则Qr=(m+)'+(3m+)月， QB=m-3)+(3m+9,(m+2}了+(3m+ 》广=(m-3r+(3m十9y,解得m=-5:点Q 的坐标为(-只，-)，“直线Q的函数表达式为 轴题得高分 7·