专题02 矩形的性质与判定（专项训练）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第五章 四边形 专题2 矩形的性质与判定 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型1：利用矩形的性质求角度/边长/面积 1．（2025·四川成都·一模）如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、角的和差等知识点，由矩形的性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义可求得，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、等边对等角，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：矩形， ， ， ． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 4．（2025·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握解直角三角形的知识是解决此题的关键． 由矩形的性质和勾股定理可得，于是可得，由同角的余角相等可得，解求得即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点E是边CD的中点， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， 故选：B． 5．（2025·陕西汉中·一模）如图，、是矩形的对角线，，点为的中点，连接交于点，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质与相似三角形的判定和性质，涉及知识点：矩形的对角线相等、相似三角形的判定（平行得相似）与对应边成比例．解题方法是利用矩形对边平行证三角形相似，结合中点条件得相似比，再通过对角线长度求线段长；解题关键是找到相似三角形的对应边比例，易错点是相似比的对应关系混淆． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ． 即． 故选D． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，矩形的对角线相交于O，，若，，则四边形的周长是（   ） A．10 B．20 C．28 D．26 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：∵四边形 为矩形，，， ∴且， ∴， ∵ ∴四边形 为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 则四边形的周长为， 故选：D． 7．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质、角平分线定义推得，则，再结合勾股定理求出，推出后，结合中位线定理即可得解． 【详解】解：矩形中，，， 又平分，， ，，， ， ， 中，， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， 即． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、角平分线的定义、等角对等边、勾股定理解直角三角形、中位线定理，解题关键是熟练掌握中位线定理． 8．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 题型2：求矩形在坐标系中的坐标 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∴在中，，， ∴在中，，， ∴在中，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为． 故选：A． 2．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．作轴于点，利用一次函数的性质求出点，的坐标，利用矩形的性质得到，通过证明得到，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， 矩形， ， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 4．（2024·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 5．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 题型3：矩形与折叠综合 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是图形的翻折变换及勾股定理．先根据翻折变换的性质得出，再先设，则，，在中由勾股定理可求出，得到，在和中由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵由翻折而成， ∴， ∴，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：，即， ∴，即， 在中，由勾股定理可得， 故选：A． 2．（2025·福建·模拟预测）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，，可证，可得，，通过证明四边形是正方形，可得，在中，利用勾股定理可求，由锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作，交于，交于， 将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处， ，，，， 在和中， ， ，， ，， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 3．（2025·河南周口·三模）将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定以及性质，由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求．进一步得出． 【详解】解：如图，连接， ∵对折矩形的纸片，使与重合， ， ， ∵把再对折到， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 故选：C． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用，先证明，进而得出，根据求出即可． 【详解】解：如图标注点．由题意可知，， 在中，由勾股定理，得． 由折叠，得，． ， ， ∵， ， ． 又，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， 点的坐标为． 故选A． 5．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点E，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由矩形的性质可得、，再根据折叠的性质可得、，即，；由勾股定理可得 ，易证可得，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：矩形中，， ∴，， ∵将沿折叠到的位置， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6.（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标，折叠的性质等知识，由矩形的性质得到，，，由的图象经过点，求出点，得到，由折叠可得，，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵的图象经过点， ∴当时，， ∴点， ∴， 由折叠可得：，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴点， 故选：C． 7.（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，连接，将沿直线翻折，使得点落在上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用性质解决问题是解题的关键． 由折叠的性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴设， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型4：添加一个条件使四边形是矩形 1．（2025·河南开封·三模）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以当时，平行四边形是矩形， 故D符合题意， 其他选项的条件均不能使平行四边形成为矩形. 故选D． 2．（2024·河南南阳·二模）若在中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（   ） A． B． C． D．对角线互相垂直 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角即可． 【详解】A、添加后，为菱形，故该选项不符合题意； B、由可得，又，可得到，所以为矩形；故该选项符合题意； C、添加后无法证明矩形，故该选项不符合题意； D、添加对角线互相垂直后，为菱形，故该选项不符合题意；． 故选：B． 3．（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 题型5：矩形的性质与判定综合 1．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是矩形的判定及性质、勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 首先过作于点，利用矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由求得的长，然后再在中，利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，E为对角线上一点，过点E作于点F，连接．若，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，过点作于点，构造矩形，可得，再利用三角函数解，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形为矩形， ， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在中，． 故选A． 3．（2025·广东深圳·二模）如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理；作于P，于Q，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，作于P，于Q， ∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转得， ， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 4．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①5；②4 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【详解】（1）解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 5．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 【答案】（1）能，过程见详解（2）见详解（3）1（4） 【分析】（1）结合矩形的性质，以及直角三角形两个锐角互余得，证明，把，代入，即可作答． （2）分别过作，结合矩形的性质证明四边形是矩形，四边形是矩形，再根据直角三角形两个锐角互余，证明，把，代入，即可作答． （3）先结合正方形的性质得，，再根据角的等量代换得，故证明，结合，则，运用勾股定理列式计算，即可作答． （4）先过点C作，延长，与交于一点，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是矩形，运用两个对应角相等的三角形是相似三角形，得，再进行列式代入数值计算，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）能，过程如下： 如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2）分别过作，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：1 （4）过点C作，延长，与交于一点，如图所示： ∵在直角梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 过点N作， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2025·云南临沧·一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形，矩形的判定和性质是关键． （1）根据平行四边形的判定和性质求解即可； （2）根据题意得到是等边三角形，平行四边形是矩形，由勾股定理得到，结合矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ，， 平行四边形是矩形， ， ， ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过作轴于，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，于是得到结论，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过作轴于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 4．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 5.（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用．解题的关键在于能够灵活运用这些知识点进行推理和计算．首先确定四边形的形状，然后利用菱形的性质求出的长度，最后得出的长度． 【详解】解： ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， ， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形，， ， ， ． 故选：A． 6．（2025·广西来宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A的坐标为，B为y轴上的动点，以为边作矩形，O为坐标原点，．连接，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．． 如图：过点A作轴，垂足为A，交的延长线于点E．可证明，则，化简得，而得到，如图：取中点F，连接．则，由勾股定理得，由得当点O、F、D三点共线时，取得最大值即可． 【详解】解：如图：过点A作轴，垂足为A，交的延长线于点E． ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 如图：取中点F，连接． ∴， 在中，根据勾股定理，， 在中，，的最大值为． 故选A． 7．（2025·四川雅安·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则_______． 【答案】5 【分析】连接，根据矩形的性质可得，，再根据勾股定理得，最后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， E，F分别是的中点， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 8．（2025·甘肃兰州·二模）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为__________ 【答案】 【分析】连接，并延长交于点H，连接，根据得，证明和全等得，进而得，由勾股定理得，再证明是的中位线，然后根据三角形的中位线定理即可得出结果． 此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，并延长交于点H，连接，如图所示∶ ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点N是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得∶ ∵点M是的中点，， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：． 9．（2025·浙江杭州·二模）已知：如图，在中，，D，E分别为，中点，连结并延长，使． (1)求证：四边形为矩形； (2)记，． ①求（用含，的代数式表示）； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质． （1）先根据已知得，，可证胆四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得，即，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质得，，，进而得，，再根据三角形内角和定理可得； ②由已知推出，即可证明，得，变形即可得出结论． 【详解】（1）证明：为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 在中，，D为中点， ， ， 为矩形； （2）①解：四边形为矩形 ，，， ， 又， ， ； ②证明：， ， ， 又， ， ， ，即， ． 10．（2025·云南楚雄·二模）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C，D作，和交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形得到，即可证明其为矩形； （2）由含角的直角三角形的性质得，进而由勾股定理得，则，再由矩形的性质得，，然后由勾股定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 则在中，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 1．（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形； （2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． ． 四边形是矩形， ． ， ． 在中，， 2．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)四边形是黄金矩形．证明见解析 【分析】（1）根据黄金矩形的定义可得：，再进一步求解即可； （2）先证明四边形是正方形；可得，，证明四边形是矩形，从而可得答案； （3）先证四边形是矩形，然后求解，由对折可得：，设，则，由面积可得：，可得：，再进一步可得结论． 【详解】（1）解：∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图，连接，由对折可得：，，， 设，则， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 3．（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）延长交于，等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，即可求解； （2）连接、，结合矩形的性质和相似三角形的判定方法得， ，由相似三角形的性质得即可求解； （3）设，，，则，，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出的值，由勾股定理得，再判定，结合相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ， ，， 四边形、是正方形， 是正方形的对角线， 是正方形的对角线， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为． （2）解：连接、， 四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ， ， ． （3）解： ，， 设，，，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质；能熟练利用勾股定理、相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 四边形 专题2 矩形的性质与判定 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 题型1：利用矩形的性质求角度/边长/面积 1．（2025·四川成都·一模）如图，在矩形中，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·二模）如图，矩形的对角线、交于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，，．若点E是边的中点，连接，过点B作交于点F，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西汉中·一模）如图，、是矩形的对角线，，点为的中点，连接交于点，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，矩形的对角线相交于O，，若，，则四边形的周长是（   ） A．10 B．20 C．28 D．26 7．（24-25九年级上·山东青岛·月考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，平分交边于点，点是的中点，连接，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 题型2：求矩形在坐标系中的坐标 1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，，，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，以为边在第一象限内作矩形，且，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型3：矩形与折叠综合 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，将一张矩形纸片沿折叠，顶点A刚好落在边上的点处，若的长度为，的长度为，则折痕的长度为（     ）． A． B． C．12 D．5 2．（2025·福建·模拟预测）如图，在矩形纸片中，点、分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿、折叠，点落在处，点落在处，点、、恰好在同一直线上，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南周口·三模）将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，将沿折叠，点落在点处，且，，三点共线．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，将沿折叠到的位置，交于点E，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.（2025·辽宁葫芦岛·二模）如图，在矩形中，点，分别位于轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，连接．将沿折叠，点的对称点为，与交于点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7.（2025·江苏南京·一模）如图，在矩形中，，连接，将沿直线翻折，使得点落在上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型4：添加一个条件使四边形是矩形 1．（2025·河南开封·三模）如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·二模）若在中，增加一个条件就成了矩形，则增加的条件是（   ） A． B． C． D．对角线互相垂直 3．（2025·广东深圳·一模）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是___________．（填上所有满足条件的序号） 题型5：矩形的性质与判定综合 1．（2025·青海西宁·一模）如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，E为对角线上一点，过点E作于点F，连接．若，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D． 3．（2025·广东深圳·二模）如图，矩形绕点顺时针旋转使得的对应边刚好经过点，连接，若，则____________． 4．（2025·山东济南·模拟预测）综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． (3)拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 5．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）【问题发现】矩形里的有趣“十字架” 某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有 ． 【模型建立】如何证明这个猜想呢？ 在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点A、D处，如图②所示． （1）在图②所示的情况下，你能帮小组成员们证明一下他们的猜想吗？ （2）你能在图①中添加辅助线，并对辅助线进行描述，以方便小组成员继续证明一般性的规律吗？ 【模型应用】 （3）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则 ．（直接写出结果）． 【拓广延伸】 （4）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，则的长度为 ．（直接写出结果） 6．（2025·云南临沧·一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的长． 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·三模）如图，已知矩形的顶点，分别落在轴，轴上，，，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·一模）木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 4．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在菱形中，，交于点，若，则的长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 6．（2025·广西来宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A的坐标为，B为y轴上的动点，以为边作矩形，O为坐标原点，．连接，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川雅安·一模）如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则_______． 8．（2025·甘肃兰州·二模）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为__________ 9．（2025·浙江杭州·二模）已知：如图，在中，，D，E分别为，中点，连结并延长，使． (1)求证：四边形为矩形； (2)记，． ①求（用含，的代数式表示）； ②若，求证：． 10．（2025·云南楚雄·二模）如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C，D作，和交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当，时，求的值． 1．（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 2．（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． 3．（2025·河南濮阳·一模）在矩形中，E是边上一点，以为边在矩形内部构造矩形，使得，连接． 【特例发现】 （1）如图1，当时，________； 【类比探究】 （2）如图2，将矩形绕点B顺时针旋转，连接AE，当时，求的值； 【拓展运用】 （3）如图3，矩形在旋转的过程中，当点G落在边上时，D，G，F三点共线．若，，请直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $