第5章 第3节 平行四边形存在性问题-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分 第3节 平行四边形存在性问题 在函数背景下，特殊四边形的存在性问题也是常见问题，学会将特殊图形的边角性质转化为顶 点坐标之间的关系，从平行四边形说起. (一7,12)；②若AP是对角线，则 》知识导航 -1+m=0十n, m1=2, 解得 ≥例题分析 0-m2+4m+5=5-n+5, n1=1, m2=3, ®例1(2022·阜新改编)如图，已知二次函 .点Q的坐标为(1,4)或(2,3)；③若 n2=2, 数y=-x2十bx十c的图像交x轴于点A(一1， -1+n=0+m, 0)、B(5,0),交y轴于点C. AQ是对角线，则 解 0-n+5=5-m2+4m+5, (1)求这个二次函数的表达式. m1=6,(m2=-1, (2)已知P是抛物线上一点，在直线BC上是否 得 舍去)，∴点Q的坐标为 n1=7,n2=0 存在点Q,使以A、C、P、Q为顶点的四边形是 (7,一2).综上所述，点Q的坐标为（一7,12）或 平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标； (1,4)或(2,3)或(7，-2). 若不存在，请说明理由， 思路归纳 我们知道，平行四边形具有如下性质： 性质1：对边平行且相等； 性质2：对角线互相平分. 若将平行四边形ABCD置于平面直角 坐标系中，可得顶点A、B、C、D之间的关联， C解析(1)由题意得，二次函数的表达式为 IxA一xB=xD一xC, 由性质1可得： y=-(x+1)(x-5)=-x2+4x+5. yA一yB=yD-yc· (2)将x=0代人抛物线表达式得y=5,∴.点C D 的坐标为(0,5)，得直线BC的函数表达式为 ypyc y=-x十5.设点P的坐标为(m,-m2+4m+ YA YE CXp XC 5),点Q的坐标为(n,一n十5).①若AC是对角 BSAXn 线，则厂1十0=m+n, 解得 0+5=-m2+4m+5+(-n+5), xA十xC_xB十xD 2 2 由性质2可得： m1=6, m2=-1, (舍去)，点Q的坐标为 yA十yc_yB十yD n1=-7,n2=0 2 2 66 第5章) 特殊图形存在性问题 例2(2023·聊城)如图，抛物线y=ax2+ bx-9与x轴交于点A(-3,0)、B(6,0),与 y轴交于点C,连接AC、BC.P是x轴上任意 一点 以上两组方程组均可转化为 (1)求抛物线的函数表达式. IxA十xC=xB十xD, (2)若点Q在抛物线上，以点A、C、P、Q为顶 可简记为“A”十“C”= yA十yc=yB+yD, 点，AC为一边的四边形为平行四边形，求点Q “B”+“D” 的坐标 由KA十c=xa十xn, 得，共可有2个 yA十yc=yB十yD 未知数，常见题型“两定两动”中，两个动点的 横、纵坐标均仅用1个字母表示 辨析：(1)若题目描述为“四边形ABCD是平 行四边形”，则对角线为AC、BD; (2)若题目描述为“以A、B、C、D四个点 为顶点的四边形是平行四边形”，则需分类 ○解析(1)设抛物线的函数表达式为y= 讨论： ①若AB为对角线：“A”十“B”=“C”十 a(x+3)(x-6),而-18a=-9,a= 2抛 “D”; ②若AC为对角线：“A”十“C”=“B”十 物线的函数表达式为y=2(x+3)(2-6) “D”; 2223 2x9. ③若AD为对角线：“A”十“D”=“B”十 “C”. (2).AC是其中一边，∴.AC∥PQ,且AC= 思考：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足 PQ,.|yQ-yp|=|ya-yc|=9,又.点P在 “A”+“C”=“B”十“D”,则顺次连接A、B、 x轴上g=9或g=8①令号x2-2 2- C、D是否一定得平行四边形？ 不一定，理由如下：如图，若A、B、C、D 9=9解得1-3+8亚，-3-3 2 ,点 共线且满足“A”+“C”=“B”十“D”,但不存 在平行四边形ABCD. Q的坐标为+39)或(2-3,9) 2 3 2x-9=-9,解得x1=3,x2=0 (舍去)，.点Q的坐标为(3，一9).综上所述，点 即“四边形ABCD是平行四边形”与 “A”十“C”=“B”十“D”并不完全等价，解题 Q的坐标为3+9或29)成 时应检验排除共线的情况. (3,-9) 167 以壹学知道中考数学压轴题得高分心 》真题演练 1.(2023·枣庄)如图，抛物线y=一x2十bx十c经过A(一1,0)、C(0,3)两点，并交x轴于另一点 B,M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D (1)求该抛物线的函数表达式. (2)若P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q,使得以D、M、P、Q为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由， B 2.(2023·济宁茂编)如图，直线y=-x十4交x轴于点B,交y轴于点C,对称轴为x-的抛物 线经过B、C两点，交x轴负半轴于点A,P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m,过点P作 x轴的平行线交抛物线于另一点M,作x轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交y轴于点D (1)求抛物线的函数表达式， (2)者0<m<,当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形。 1681a<317 2 M M 第3节平行四边形存在性问题 1.解析：(1)y=-x2十2x十3.(2)设点P的坐标为 (m,-m2+2m十3)，点Q的坐标为(1，n),而D(0, 2),M(1,4).分情况讨论：①若DM为对角线，则 0+1=m+1, 解得/m0, .点Q的坐 2+4=-m2+2m+3+n,n=3, 标为(1,3)；②若DP为对角线，则 0+m=1+1, m=2, 解得 点Q的坐标 2-m2+2m+3=4+n, n=1, 为(1,1)；③若DQ为对角线，则 0+1=1十m, m=0, 解得 .点Q的坐标为 2+n=4-m2+2m+3,n=5, (1,5).综上所述，点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5). 2.解析：(1)将x=0代入y=-x十4，得y=4,∴点C 的坐标为(0,4)；将y=0代入y=一x十4，得x=4, ∴点B的坐标为(4,0).，抛物线的对称轴为直线x= 多点A的坐标为水（一1,0.设镜物线的函数表达式 为y=a(x+1)(x-4),将C(0,4)代入，得-4a=4, 解得a=一1，∴.抛物线的函数表达式为y=-(x十 1)(x-4)=-x2+3x十4.(2)由题意得，点P的坐 标为(m,一m2+3m十4)，点N的坐标为(m,0),点M 的坐标为(3-m,-m2+3m+4).,PN∥CD,∴.当 PC∥ND时，四边形CDNP是平行四边形，过点C作 CH⊥PN于点H,即∠CPH=∠PNM.,'tan ∠CPH-S=网+nam∠PNM- PM PN 中考数学压 3-2m m 3-2m -m2+3m+4,六 -m2+3m 一m2+3m+4,解得 -6-2,m,=6+,8I(含去，当m=6-四 m1= 3 ,m2= 3 3 时，四边形CDNP是平行四边形 第4节矩形存在性问题 1.解析：(1)设二次函数的表达式为y=a(x一1)2+4， 将(-1,0)代入得4a十4=0，解得a=-1,∴.二次函数 的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)由题意得AB∥CD,且AB=CD,∴.四边形ABCD 是平行四边形，当∠BAD=90°时，可得平行四边形 ABCD是矩形.如图，过点A作AH⊥x轴交x轴于点 H,则∠BHA=∠BAD=90°.又'∠HBA=∠ABD, △BHA△BAD,B盟-80A1,,B(-1, 0BH=2,BA=25,2-25解得BD= 10,点D的坐标为(9,0).，BP=DP,.点P的坐 标为(4,0)，∴.m=4. H -1+b+c=0, 2.解析：(1)将(1,0)和(0,3)代入得 解 c=3, 1b=一2， 得 ∴抛物线的函数表达式为y=一x2一2x十 c=3, 3.(2)在抛物线上确定一点N使得△ABN是直角 三角形，则在平面中必存在点M,使得以A、B、M、N 为顶点的四边形为矩形.分情况讨论：①若∠BAN= 90°，如图1，过点A作AN⊥AB交抛物线于点N,则 直线AN的函数表达式为y=一x一3，联立方程 -x2-2x+3=一x-3,解得x1=2,x2=-3(舍去)， 轴题得高分 4·