六、多边形&七、平行四边形-【一战成名新中考·乾坤卷】2025河北中考原创压轴卷（全学科）

②15或了：【解法提示】当CP=BP时，如解图②，过点P作● PM⊥BC于点M,PW⊥AC于点N,∠ACB=∠PMB=90°， .PM∥AC,.∠CAB=∠BPM,∠ACP=∠CPM,.CP=BP, PM⊥BC,∴.∠BPM=∠CPM,.∠ACP=∠CAP,∴.AP=CP AP-BP-CP-2AB-2.5.PNLAC.AN-CN-2AC- 2,∠AWP=∠CWP=90°，在Rt△CPW中，由勾股定理得PW= √CP2-CW=√2.52-2=1.5，设DN=x,则CD=2+x,DP ⊥CP,.∠CPD=90°，在Rt△CDP中，由勾股定理得PD2= CD-CP2=(2+x)2-2.52,在Rt△DPN中，由勾股定理得 PD2=DN2+PW2=x2+1.52,(2+x)2-2.52=x2+1.52,解得x 、9 8)5 D=PN+DN-√15+( -89 D P 图② 图③ 第10题解图 当CP=CB=3时，如解图③，∠CPB=∠CBP,·DP⊥CP .∠CPD=90°，∴.∠APD+∠CPB=90°，∠CAB+∠ABC= 90°，∴.∠CAB=∠APD,.AD=PD,设AD=PD=x,则CD=AC -AD=4-x,CD2=PD2+CP2,.(4-x)2=x2+32,解得x= 冬即m:名签上所述，Pm的长为安行 六、多 1.A【解析】如解图，连接AD,DF,多边形ABCDEF为正六 边形，.EF∥AD∥BC,AD=2EF,.SAAN=S△DF,S△Ar= 2SAgD=2(S△Aw+SAED),同理SAAD=2(SAM+S△cWD）,.空 白部分面积和阴影部分面积的比值为2：1. FN B M C 第1题解图 2.C【解析】：该多边形的内角都相等，该多边形的外角也 都相等，.∠PBC=∠PCB.∠P=108°，∠PBC=∠PCB= 2(180°-108)=36°，该多边形的边数n=360°÷360=10. 3.B【解析】：五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=a, .∠BCD+∠EDC=540°-，.∠BCD,∠EDC的平分线在五 1 边形内相交于点P,∠PCD+∠PDC=2(LBCD+∠EDC) 270-7∠P=180-(2702)=2a-0 4.C【解析】设这个多边形是n边形，由题意得(n-2)×180= 150m,解得n=12,.这个多边形为十二边形，.此多边形从 乾卷加练答案 (3) 3【解法提示】将CE绕点E逆时针旋转120°到EF, 连接AF,CF,过点E作EG⊥CF于点G,如解图④，根据旋转 可知EF=CE,∠CEF=120°，∠AEB=120°，.∠CEB+ ∠CEA=∠CEA+∠AEF=120°，∴.∠CEB=∠AEF,在△CEB BE=AE, 和△FEA中，∠CEB=∠FEA,.△CEB≌△FEA(SAS), CE=FE. .AF=BC=3,AC=4,CF≤AF+AC=3+4=7,EG⊥ CF,CE=EF,CG=FG,∠CEG=∠FEG= 2∠CEF=60°， ∠cGB=90,∠B0G=90-60=30,BG=2cE,cc -CE,.CF 2CG= √3CE,3CE≤7，CE≤ 3CE的最大值为，5 3 E F 第10题解图④ 边形 一个顶点出发的对角线共有12-3=9（条）. 5.A【解析】如解图，连接AD,交BE于点O,多边形ABC 数 DEF为正六边形，.0为BE,AD的中点，OA=OD=OB= 学 OE,:BM=EW,.OM=ON,四边形AMDN是平行四边形， 故①符合题意：：∠FAW=∠CDM,∠CDA=∠DAF,.∠OAW =∠ODM,∴.AN∥DM,又.·∠AON=∠DOM,OA=OD,. △AOW≌△DOM(ASA),.AW=DM,.四边形AMDN是平行 四边形，故②符合题意：：AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN, .·△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是 平行四边形，故③不符合题意：：∠AMB=∠DNE,∠ABM= ∠DEN,AB=DE,∴.△ABM≌△DEN(AAS),∴AM=DW, ∠AMB+∠AMN=180°，∠DWM+∠DWE=180°，∴.∠AMN= ∠DNM,.AM∥DW,四边形AMDN是平行四边形，故④符 合题意.综上所述，符合题意的是①②④. D 第5题解图 6.22【解析】如解图所示，正方形，正五边形，正六边形每个内 及解析·河北 27 角分别为90°，108°，120°，根据图形可知∠2+90°+∠BAC= 180①，∠3+90°+∠BCM=180②，∠1+∠ABC+120°+108°= 360③，①+②+③得∠2+90°+∠BAC+∠3+90°+∠BCA+∠1+ ∠ABC+120°+108°=720°，.∠2+∠3=110°，∠ABC+∠ACB+ ∠BAC=180°，∠1=22 第6题解图 7.(1)12:(2)2【解析】(1)正六边形的一个内角=上× 6 (6-2)×180°=120°，正五边形的一个内角=写×(5-2)×180° =108°，.∠CDH=∠CDE-∠HDE=120°-108°=12°：(2)由 (1)得∠CDH=12°，同理可证∠FEM=12°，：∠M=108°，MG =ME,∠MEG=Z×(180-1080)=36,六∠FBN=∠FEM +∠MEG=12°+36°=48°，在四边形ANEF中，∠A+∠F+ ∠FEW+∠ANE=360°，.∠AWE=360°-120°-120°-48 =72°. 8.√2+1【解析】第1次走1个单位到点B,第2次走2个单位 到点D,第3次走3个单位到点G,…,以此类推，第50次走 50个单位，故当第50次时，共计走了1+2+3+…+50= 50x(1+50)-1275个单位，由题意得，从点A出发，走8个单 2 位即可回到点4,1275÷8=159…3，.第50次时，相当 于绕正八边形159圈后回到点A,再逆时针走3个单位，即到 达顶点D,.第50次走到顶点D,如解图，连接AD,延长AB, 数 -=45°，AB 学 DC相交于点K,由题意可得，LKBC=∠KCB=36 8 =CDK90.BK=CK=BC.cos45 2AK=DK= B+冰=1+ 2,又：∠KMD=45AD=MK c0s45-2+1. PA H (第一次)B G(第三次) (第二次)DE 第8题解图 9.(1)6:(2)48-243【解析】(1)如解图①.设边长为2的 正六边形ABCDEF的中心为O,连接FD,FD交BE于点K, 设正方形的另外两个顶点为G,H,.这个正六边形的每个内 角的度数为(6-2)×180°÷6=120°，易知∠FEB=∠DEB= 1 60°，：EF=ED=2,.FD⊥BE,∠EFD=LEDF=2(I80°- 28 乾卷加练答案及 ∠FED)=2×(180°-120)=30，DF=2FK=2EF· cos∠EFD=2×2xcos30°=2，W3,MW⊥AF,FD⊥AF,AF∥CD, 四边形MNDF是矩形，.MN=DF=2√3，在Rt△MGN中， GM2+GW2=MW2,四边形MGWH是正方形，.GM=GW, GM2+GM2=(23),解得GM=√6或GM=-√6（负数不符合 题意，舍去)，…正方形的边长为6： M E CN D 第9题解图① (2)如解图②，以正六边形ABCDEF的中心O为原点建立直 角坐标系，其中点B,E在x轴上，连接FD,OF,易得△OFE 为等边三角形，.0E=EF=2,同理0B=2,由(1)知FK= =5,D1E, 1 22=L,0K=0E-KE= 2-1=1,.F(1,5),A(-1,√3)，C(-1,-√3)，B(-2,0), 要使正方形MGWH的面积最大，则正方形的边长a最大，此 时正方形MGWH的四个顶点都在正六边形的边上，且点O为 正方形的中心，设点M,G,N,H分别在AF,BC,CD,EF上，连 接OM,OG,过点G作GL⊥x轴于点L,设AF交y轴于点J, AF∥x轴，.AF⊥y轴，.∠0JM=90°=∠OLG,设M(t, 3),MJ=Itl,J0=3,点0为正方形MGWH的中心， ∴.0M⊥0G,0M=0G,∠M0G=90°=∠J0L,.∠L0G= ∠L0G=∠J0M, ∠JOM,在△L0G和△J0M中， ∠0LG=∠0JM,.△L0G≌ 0G=0M. △J0M(AAS),.GL=M=Itl,L0=J0=3,G(-√3，t),设 直线BC的解析式为y=x+b,过点B(-2,0),C(-1,-√3)， -2k+6=0, k=-√3， 解得 .直线BC的解析式为y=- (-k+b=-5, b=-2√3， √3x-23,G(-√3，t)在直线BC上，.t=-3×(-√3)- 23=3-2W3,.M(3-25,3),G(-√3,3-23)，MG2= [(3-23)-(-3)]+[5-(3-23)]=48-245,.正方 形面积的最大值为48-24√3. B 第9题解图② 解析·河北 七、平行四边形 1.B2.B BE2,即(3+x)2+42=(7-x)2,解得x=1.2,.DE=7-x=5.8 3.D【解析】如解图，连接AG,·四边形ABCD是平行四边形， (cm). AB∥CD,.∠B+∠C=180°，∠C=120°，∠B=180°- 120°=60°，点E,F分别是AH,GH的中点EF是△AGH的中 位线，EF=2AG,当AG最小时，EF有最小值，当AG1BC 时，AG最小，此时∠BAG=30°，.BG=AB=1,AG=√3BG= 第6题解图 7.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 3..EF=1AG-3 2 ,即EF的最小值是 .∴.∠ADB=∠DBC, .·∠EPD=∠ABC. .·∠EBP+∠BEP=∠EPD .·∠EBP+∠DBC=∠ABC, ∴.∠BEP=∠DBC, .∠BEP=∠ADB, 第3题解图 1∠PBE=∠ABD. 在△PBE和△ABD中 ∠BEP=∠BDA, 4.A【解析】：AB=CD,BC=AD,.四边形ABCD是平行四边 PE=AD 形，.AD∥BC,由平移的性质得到EG∥AD,GE=AD,.EG∥ ∴△PBE≌△ABD(AAS): BC,GE=BC,以点B,E,C,G为顶点的四边形总是平行四 (2)解：过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,如解 边形，.结论I正确；当BE最短时，BE⊥AC,.∠BEC=90°， 图①， ∴∠BEG=∠BEC+∠CEG>90°，：四边形BEGC是平行四边 .·AB∥CD 形，.∠BCG=∠BEG,.∠BCG>90°，.BC与CG不垂直. .结论Ⅱ错误 ∠DCF=LABC,sin∠DCF=4 , 5.B【解析】如解图，连接EF,过点E作EM⊥DC于点M, .∴.DF=CD·sin∠DCF=12, 1 .CF=√CD2-DF=9, :Saac=2DC·EM,SAw=DC·EM=c,Sac=2c, .∴.BF=BC+CF=16, .:四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,∴.△EFC的FC边 .BD=√BF2+DF=20, 上的高与△BCF的FC边上的高相等，.SAEFC=S△Cr,一 由(1)得∠BEP=∠ADB,∠PBE=∠ABD, 数 S△BrW=SACO,同理S△EFD=S△DP,.S DEFP=S△AP,S△iPn=a, .△PBE∽△ABD 学 1 PB BE S△Bc=b,Sg边形Erw=a+b,六S阴影=S AnEe-S数带B0F2C-a ·ABBD -b. AB=BE, B xB15245 BD204 A(E D D 第5题解图 6.C【解析】如解图，过点A作AG⊥BC,过点E作EH L BC,垂 足分别为G,H,.AG∥EH,:纸片ABCD为平行四边形，AB 图① 图② =CD=5cm,.AE∥GH,AG=EH,.四边形AGHE是矩形， 第7题解图 ∴AE=GH,由题意得BC·AG=28cm2,AG=EH=4cm,在 (3)解：△APE是以AP为底的等腰三角形，即AE=PE」 ①当点E在线段AB上时，如解图② Rt△ABG中，BG=√AB2-AG=√5-4F=3cm,:AD∥BC, ·△PBE∽△ABD. ∠ADB=∠DBC,由折叠的性质知∠DBE=∠DBC,. PB BE PE ∠DBE=∠BDE,∴.BE=DE,设AE=GH=xcm,则BE=DE=(7 六AB BD AD -x)cm,BH=BG+GH=(3+x)cm,在Rt△BEH中，BH2+E= ·BE=AB-AE=AB-PE. 乾卷加练答案及解析·河北 29 AB-PE_PE BD AD 解行PE:空， =PB= PE·AB25 ②当点E在BA延长线上时，如解图③. 同理可得P=105 139 ∴x=PB=PE·AB225 AD 13 综上所述，*的值为25或25 31 139 N 图③ 图④ 第7题解图 (4)解：∠A0E的正切值为物5【解法提示】如解图④，过 点E作EFLD于点F,由(2)知△PBE∽△ABD,B 能…言袋服=子A=s-48-手-15×四边 BE x BE 形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∠ABC=∠DAE, sin∠DME=sin∠ABC=4 4 EF=AE·m∠DME=(3 数 15)号总-2AP=am2=号·（分-5 4 学 4 4 5-9,DF=7- 5-9)=16-4x 5x,..tan∠ADE= 16 1512 4x-45 16-460-3 8.(1)解：四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC, .∠DAC=∠BCA. 又.·∠BAC=∠DAC ∴.∠BAC=∠BCA, .BC=AB=22: (2)证明：当t=2时，BE=2. .∠ABC=45°，EF⊥BC, ∴.∠BFE=∠ABC=45°， .EF=BE=2, .正方形EHGF的边长为2，BF=√BE2+EF2=2,2=AB, .此时点F与点A重合，如解图①， 30 乾卷加练答案及 由(1)知，BC=AB=22 .平行四边形ABCD是边长为2√2的菱形， .AD=AB=2 ..EC=BC-BE=22-2,GD=AD-FG=22-2, .EC =GD. .AD∥BC .四边形ECDG为平行四边形： A(F G D B B C(H 图① 图② 第8题解图 (3)解：当点H与点C重合时，如解图②，此时正方形EHGF 只有三个顶点E,F,H在四边形ABCD的边上 .·∠ABC=45°，EF⊥BC, ∴.∠BFE=∠ABC=45°， ∴BE=EF :四边形EHGF为正方形，.BE=EF=EC= 28C=2, .t=√2÷1=√2（秒）： 当点E运动到使点F与点A重合时，如解图①，此时正方形 EHGF只有三个顶点E,F,G在四边形ABCD的边上，BE=2, t=2÷1=2(秒)， 综上所述，t的取值范围为2<tK2; (4)解：AG的长为√2+1或3-√2.【解法提示】如解图③，当点 E在边BC上时，设AC与EF交于点O,过点A作AM⊥CB于 点M.∠ABC=45°，AB=2V2,.在Rt△ABM中，AM=BM= 2,.CM=BC-BM=2√2-2.四边形AECF为平行四边形， ..AF=EC,AF∥EC.·AM⊥CB,EF⊥BC,AF∥ME,∴.四边形 AMEF为矩形，∴.ME=AF,EF=AM=2,∴.ME=AF=EC,∴.AF= 2CM=2(25-2)=V2-1,AG=AF+FG=AN+EF=2-1+ 1 2=√2+1：如解图④，当点E在边CD上时，过点A作AM⊥CD 于M同理PG=BF=AM=2,CM=25-2AP=BM=之CM= V2-1,.AG=FG-AF=2-(V2-1)=3-√2.综上所述，AG的长 为2+1或3-√2. 0 D H B ME C 图③ 图④ 第8题解图 解析·河北六、多边形 1.如图，正六边形ABCDEF中，M,N分别为边6.如图，由正方形、正五边形、正六边形组合而成 BC,EF上的动点，则空白部分面积和阴影部 的图形中，∠2+∠3=110°，则∠1= 分面积的比值为 ( A A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.5:1 第6题图 第7题图 B M C 第1题图 第2题图 7.如图，在正六边形ABCDEF的内部以DE为 边作正五边形DEMGH. 2.如图，AB,BC,CD是某正多边形相邻的三条 (1)∠CDH= 边，延长AB,DC交于点P,若∠P=108°，则该 (2)连接EG并延长，交AB于点N,则 正多边形的边数为 ( ∠ANE= . A.6 B.8 C.10 D.12 8.如图，机器人P(看成点)从边长为1个单位 3.如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E= 的正八边形(ABCDEFGH)的顶点A出发，沿 a,DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P的 着正八边形的边按逆时针方向行走，第1次 度数是 ( ) 走1个单位到点B,第2次走2个单位到点 A.90°+20 1 -0 D,第3次走3个单位到点G,…,依此类推， 当机器人P第50次行走结束时，与起点A的 1 34 D.5400- 34 直线距离为 H (第一次)B G(第三次) 数 学 (第二次)DE 第8题图 第3题图 第5题图 9.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，内部有 4.某多边形每一个内角都等于150°，则从该多边形 一个正方形（正方形的顶点可以在正六边形 一个顶点出发可引出对角线的条数是() 的边上)，正方形的两个顶点M,N分别在边 A.7条 B.8条 C.9条 D.10条 AF,CD上. 5.如图，在正六边形ABCDEF中，M,N是对角 (1)若MW⊥AF,则正方形的边长为 线BE上的两点.添加下列条件中的一个： (2)正方形面积的最大值为 ①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN; ④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平 行四边形的是 ( A.①②④ B.①③④ CN D D C.①②③④ D.①④ 第9题图 备用图 乾卷加练·河北 75 七、平行四边形 1.下面是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇4.如图，△ABC和△ACD是两个完全相同的三 的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件， 角形，AB=CD,BC=AD,将△ACD沿直线1向 下列添加的条件正确的是 右平移到△EFG的位置，点A对应点E,且点 E,C不重合，连接BE,CG,有下列结论： .:∠A+∠D=180」 结论I:以点B,E,C,G为顶点的四边形总是 ∴.AB∥CD, 1009 平行四边形； 又 80 结论Ⅱ：当BE最短时，BC⊥CG 四边形ABCD是 第1题图 下列判断正确的是 平行四边形 B A.∠B+∠C=180° B.AB=CD C.∠A=∠B D.AD=BC 2.如图，点A是直线l外一点，在1上取两点B,C, 分别以A,C为圆心，BC,AB长为半径画弧，两弧 第4题图 交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD A.只有结论I正确 是平行四边形.其依据是 B.只有结论Ⅱ正确 A.一组对边平行且相等的四边形是平行四 C.结论I,结论Ⅱ都正确 边形 D.结论I,结论Ⅱ都不正确 B.两组对边分别相等的四边形是平行四 5.如图，E,F分别是平行四边形ABCD的边 边形 AB,CD上的点，AF与DE相交于点P,BF与 数 C.两组对边分别平行的四边形是平行四 CE相交于点Q,若S△APm=a,S△c=b, 学 边形 S。cD=c,则阴影部分的面积为 () D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形 A.a+b B.2c-a-b 是平行四边形 C.c-2a-b D.2a+b E A E 第2题图 第3题图 子 C 第5题图 第6题图 3.如图，在□ABCD中，∠C=120°，AB=2,AD= 6.如图，平行四边形纸片ABCD,BC=7cm,CD= 2AB,点H,G分别是边DC,BC上的动点，连 5cm,面积为28cm2,将其沿对角线BD折 接AH,HG,点E为AH的中点，点F为GH的 叠，使点C落在点F处，BF与边AD交于点 中点，连接EF,则EF的最小值为 E,则DE的长为 A.5 cm B.5.6 cm A.2 B.3 C.1 C.5.8 cm D.6 cm 76 乾卷加练·河北 7.如图①和图②，在□ABCD中，AB=15,BC=8.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC= 4 7,sin∠ABC=5连接对角线BD.点P是对 ∠DAC,AB=2√2，∠ABC=45°.若点E从点 B出发以每秒1个单位长度的速度沿B→C 角线BD上一点，作∠EPD=∠ABC,射线PE →D向终点D运动，运动时间为t秒.过点E 交射线BA于点E,设PB=x 作点E所在的边（当，点E与C重合时，点E所 (1)如图①，点E在BA的延长线上，当PE= 在边为CD)的垂线，交四边形ABCD其他的边 AD时，求证：△PBE≌△ABD; 于点F,在EF的右侧作正方形EHGF (2)如图②，点E与点A重合时，求x的值； (1)求BC的长； (3)连接AP,当△APE是以AP为底的等腰 (2)当t=2时，求证：四边形ECDG为平行四 三角形时，求x的值； 边形； (4)点E在BA延长线上，连接DE,当∠ADE (3)当点E在边BC上，且正方形EHGF有且 为锐角时，直接写出∠ADE的正切值（用含x 只有两个顶点位于四边形ABCD的边上时， 的式子表示) 求t的取值范围： E A(E (4)当四边形AECF为平行四边形时，直接 写出AG的长 B 图① 图② B E H C B 第7题图 备用图 第8题图 备用图 学 乾卷加练·河北 77