第5章 第2节 直角三角形存在性问题-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

x2=m·（-n)=3,.直线AB'过定点(0,3). 第5章特殊图形存在性问题 第1节等腰三角形存在性问题 1.解析：(1)y=x2+2x-3.(2)(-1,√14)或 (-1,-√14)或(-1，-3+√17)或(-1，-1) 2.解析：(1)将(4，一3)和(0,1)代入抛物线的函数表达 1 116a十c=-3, a=- 式得 解得 4’抛物线的函数 c=1, c=1, 表达式为y=-}+1.(2)①若AB=AP,如图 1,抛物线的对称轴为y轴，.当点B与点P关于 y轴对称时，可得AB=AP,.点B的坐标为（一4， 一3)；②若BA=BP,如图2，则点B在线段AP的垂 直平分线上，取AP的中点M,则点M的坐标为(2， -1),过点M作MN⊥AP交y轴于点N,易得 ∠MAN=45°，.△AMN是等腰直角三角形， .AN=√2AM=4,∴.点N的坐标为(0，-3)，.直线 MN的函数表达式为y=x-3,联立方程一x2+1= x-3,解得x1=-2+2V5,x2=-2-25,.点B的 坐标为(-2+2√5，-5+25)或(-2-2√5，-5- 2√5).综上所述，点B的坐标为（一4，一3）或（一2+ 2W5,-5+2√5)或(-2-25，-5-25) 图2 3.解析：(1)y=一 4x2+x+3.(2)①由题意得B(6, 0.C(0,3)D,-+i+3）lc:y=-2x+ 3,E(,2+3)DE=-2+1+3-(2+ 中考数学压 3)=-4:+8.@若cD=cE,则 +4+3-+3 1 2 =3，解得t1=2,t2=0(舍去)， ∴D(2,:若EC=ED,则号：=-女+号，解得 4 t1=6-2W5,t2=0(舍去)，.D(6-2w5,45-5);若 DC=DE,则+（←子2+）‘=(-+)，解 得1=1，：=0（含去）∴D(1,)综上所述，点D的 坐标为2,4)或(6-25,45-5)或(1，) 4解折：由感意得A,m+号a)B0,号a小 1 1 3m+ C(m,0),:.AB:-im+m,AC=mm 3m2,BC&=4 号m2.①若AB=AC,则号m十m2= +3 1 3n,解得m1-2,m2=0(舍去)： 23 ②若BA=BC,则m十m=音m,解得-2， 3 2v 3(舍去)，m,=0(舍去)；③若CA=CB,则 m+m- 4m+③ 3m,解得m1-2y3 3，n2= 23,m=0(含去).综上所述，m的值为2,3或 -2√3. 第2节直角三角形存在性问题 1.解析：(1)将(8,0)代入抛物线的函数表达式得 64a+2-6=0,解得a=-}∴抛物线的函数表达 式为y=}+-6,令子+x-6=0,解 得x1=3,x2=8,t=3.将(8,0)代入直线的函数表达 轴题得高分 32· 式得8k-6=0,解得=3 (2)如图，过点P作 4· PH⊥x轴交x轴于点H.,CP是斜边，∴.∠CAP= 90°，∴.∠OAC+∠PAH=90°.又，∠OAC+ ∠OCA=90°，.∠PAH=∠OCA..∠PHA= ∠A0C=0,△PHAO△A0C,沿-8.由题 意得，点P的坐标为m,-m+ 4m-6）…PH= 4m211 1 4m+6,AH=m-3.又×0A=3,0C=6, 4m十6 一三 3 m。3,解得m1=10,m:=3(含 6 去)，点P的坐标为(10，-名) 2.解析：(1)抛物线的函数表达式为y=一2x2+x十 4.(2)①当点E与点A重合时，如图1，FB=FE,记 直线l与x轴交点为M,若△BEF是等腰直角三角 形，则FM-BA=3,点F的坐标为1,3)或(1， 一3)；②当点E在第一象限时，如图2，过点E作 EG⊥直线l交直线1于点G,则∠EFG+∠FEG= 90°，又.∠EFG+∠BFM=90°，∴.∠FEG=∠BFM, 又，∠EGF=∠FMB=90°，EF=FB,∴.△EGF≌ △FMB(AAS),∴.EG=FM,GF=MB=3,设点F的 坐标为(1，t),则EG=MF=t,∴.点E的坐标为(1+ 4,十3》，代人抛物线的函数表达式得十3=一号十 2 1)2+(t十1)+4，解得t1=1,t2=-3(舍去)，.点F 的坐标为(1,1)；③当点E在第四象限时，如图3，同理 中考数学压 构造△EGF≌△FMB,可得点E的坐标为(1一t,t一 3),代人抛物线的函数表达式得：-3=-)1-)十 (1一t)十4，解得t1=-5,t2=3(舍去)，∴点F的坐标 为(1，-5).综上所述，点F的坐标为(1,3)或(1，-3) 或(1,1)或(1，-5) E A 图2 图3 3.解析：(1)二次函数表达式为y=x2一4x+3. (2)如图，以AC为直径作圆，与抛物线对称轴分别交 于点M1、M,分别过点C、A作AC的垂线，与对称轴 分别交于点M2、M4,则当点Q在线段M1M2、M3M4 之间时（不包含端点），△QAC是锐角三角形.设点M1 的坐标为(2，t),由题意得22+(t一3)2+12+t2=18, 解得1-3+，=3亚，点M的坐标为 2 2 (2,3+7)点M的坐标为2.3)0A OC,∴∠OCA=45°，又，CM2⊥AC,∴.可得直线CM2 的函数表达式为y=x十3，令x=2,得y=5,点M2 的坐标为(2,5)；同理可得直线AM4的函数表达式为 y=x-3,令x=2,得y=-1,∴.点M4的坐标为 (2,一1).a的取值范围是3+)17<4<5或-1< 2 轴题得高分 3 a<317 2 M M 第3节平行四边形存在性问题 1.解析：(1)y=-x2十2x十3.(2)设点P的坐标为 (m,-m2+2m十3)，点Q的坐标为(1，n),而D(0, 2),M(1,4).分情况讨论：①若DM为对角线，则 0+1=m+1, 解得/m0, .点Q的坐 2+4=-m2+2m+3+n,n=3, 标为(1,3)；②若DP为对角线，则 0+m=1+1, m=2, 解得 点Q的坐标 2-m2+2m+3=4+n, n=1, 为(1,1)；③若DQ为对角线，则 0+1=1十m, m=0, 解得 .点Q的坐标为 2+n=4-m2+2m+3,n=5, (1,5).综上所述，点Q的坐标为(1,3)或(1,1)或(1,5). 2.解析：(1)将x=0代入y=-x十4，得y=4,∴点C 的坐标为(0,4)；将y=0代入y=一x十4，得x=4, ∴点B的坐标为(4,0).，抛物线的对称轴为直线x= 多点A的坐标为水（一1,0.设镜物线的函数表达式 为y=a(x+1)(x-4),将C(0,4)代入，得-4a=4, 解得a=一1，∴.抛物线的函数表达式为y=-(x十 1)(x-4)=-x2+3x十4.(2)由题意得，点P的坐 标为(m,一m2+3m十4)，点N的坐标为(m,0),点M 的坐标为(3-m,-m2+3m+4).,PN∥CD,∴.当 PC∥ND时，四边形CDNP是平行四边形，过点C作 CH⊥PN于点H,即∠CPH=∠PNM.,'tan ∠CPH-S=网+nam∠PNM- PM PN 中考数学压 3-2m m 3-2m -m2+3m+4,六 -m2+3m 一m2+3m+4,解得 -6-2,m,=6+,8I(含去，当m=6-四 m1= 3 ,m2= 3 3 时，四边形CDNP是平行四边形 第4节矩形存在性问题 1.解析：(1)设二次函数的表达式为y=a(x一1)2+4， 将(-1,0)代入得4a十4=0，解得a=-1,∴.二次函数 的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)由题意得AB∥CD,且AB=CD,∴.四边形ABCD 是平行四边形，当∠BAD=90°时，可得平行四边形 ABCD是矩形.如图，过点A作AH⊥x轴交x轴于点 H,则∠BHA=∠BAD=90°.又'∠HBA=∠ABD, △BHA△BAD,B盟-80A1,,B(-1, 0BH=2,BA=25,2-25解得BD= 10,点D的坐标为(9,0).，BP=DP,.点P的坐 标为(4,0)，∴.m=4. H -1+b+c=0, 2.解析：(1)将(1,0)和(0,3)代入得 解 c=3, 1b=一2， 得 ∴抛物线的函数表达式为y=一x2一2x十 c=3, 3.(2)在抛物线上确定一点N使得△ABN是直角 三角形，则在平面中必存在点M,使得以A、B、M、N 为顶点的四边形为矩形.分情况讨论：①若∠BAN= 90°，如图1，过点A作AN⊥AB交抛物线于点N,则 直线AN的函数表达式为y=一x一3，联立方程 -x2-2x+3=一x-3,解得x1=2,x2=-3(舍去)， 轴题得高分 4·以壹学知道中考数学压轴题得高分 第2节 直角三角形存在性问题 直角三角形作为一类特殊的三角形，其边、角存在特殊关系，可利用直角构造相似，或利用勾股 定理的逆定理确定直角三角形的存在性， 别过点B、P作MN的垂线，垂足分别记为M、 》知识导航 BM MA W,则ABMA∽△ANP,.AN=NPS 彦1，两定一动（动点在直线上） ∴.AN=NP=3,∴.P(-1,3);②若∠PBA= ®例1(2022·广安改编)如图，在平面直角 90°，如图2，同理，可得P(一1，一5)；③若 坐标系xOy中，抛物线y=ax2十x十m(a≠0) ∠APB=90°，如图3，取AB的中点Q(一2， 的图像与x轴交于A、C两点，与y轴交于点 一2)，以点Q为圆心、QA为半径作圆，与对称 B,其中点B的坐标为(0，一4)，点C的坐标为 轴的交点即为点P,过点P作MN⊥y轴，分别 (2,0). 过A、B作MN的垂线，垂足分别记为M、N, (1)求抛物线的函数表达式， 则△AMnn△PNa,÷G兰 (2)若P为该抛物线对称轴上的一个动点，当 4解得1=一2+万，=一2-7（舍去）， 3 △PAB为直角三角形时，求点P的坐标 ·P(-1,-2+7);同理可得另一点P'坐标 为(-1，一2-√7)综上所述，点P的坐标为 O/C (-1,3)或(-1，-5)或(-1，-2+√7)或 （-1,-2-7) 备用图 C解析(1)将(0，一4)、(2,0)代入抛物线的函 1 数表达式得 m=-4, 解得， 2’ .抛 4a+2+m=0 m=-4, 物线的函数表达式为y=2x2十x一4， 图1 图2 (2)令2十x-4=0,解得x:=2,&=一4， ∴.点A的坐标为（一4,0），由题意得，抛物线的 对称轴为直线x=一1. 法1（几何法）：设点P的坐标为(-1，t).①若 ∠PAB=90°，如图1，过点A作AB的垂线，与 对称轴交点即为点P,过点A作MN⊥x轴，分 图3 60/ )第5章) 特殊图形存在性问题 法2（代数法）：设点P的坐标为（一1，t),则 PA2=t2+9,PB2=(t+4)2+1,AB2=32. ①若∠PAB=90°，则PA2+AB2=PB2, ∴.t2+9十32=(t+4)2+1,解得t=3,∴.点P 的坐标为（一1,3）；②若∠PBA=90°，则PB2+ AB2=PA2,∴.(t十4)2+1+32=t2+9,解得 y=x2-2x-3 y=x2-2x-3 备用图1 t=-5,.点P的坐标为(-1，-5)；③若 ∠APB=90°，则PA2+PB2=AB2,.t2+9十 (t+4)2+1=32,解得t1=-2+√7，t2=-2一 √7，∴.点P的坐标为(-1，-2+√7)或(-1， 一2一√7).综上所述，点P的坐标为（一1,3）或 (-1,-5)或(-1，-2+√7)或(-1，-2-√7). y=x2-2x-3 备用图2 《思路归纳 ○解析(1)令x2一2x一3=0，解得x1=一1， 几何法：(1)“两线一圆”作出点； x2=3,∴.A(-1,0),B(3,0),令x=0,解得 (2)构造三垂直相似，利用对应边成比例 求线段，必要时可设未知数. y=-3,.C(0,-3),.AC=10. 代数法：(1)表示点A、B、C的坐标； (2)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=1,设 (2)表示线段AB、AC、BC; 点P的坐标为(1，t),则PA=√22+t2,PC= (3)分类讨论：①AB2+AC2=BC2, √/12+(t+3)2..PA=PC,.√22+t2= ②AB2+BC2=AC2,③AC2+BC2=AB2; √12+(t+3)2,解得t=一1，∴.点P的坐标为 (4)代入列方程，求解， (1,-1). (3)法1：设点M的坐标为(m,m2一2m一3). 能2.两定一动（动点在抛物线上） ①若∠MCB=90°，如图1，过点M作MH⊥ ®例2(2022·滨州)如图，在平面直角坐标 y轴交y轴于点H,则∠OCB+∠HCM=90°， 系xOy中，抛物线y=x2一2x一3与x轴交于 ∠HMC+∠HCM=90°，.∠OCB=∠HMC, 点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 又.'∠BOC=∠MHC,.△BOC∽△CHM, C,连接AC、BC. 0C-BO由题意得，MH=m,CH3 (1)求线段AC的长. (2)若P为该抛物线对称轴上的一个动点，当 (m2- 2m-3)=-m2+2m,3 m PA=PC时，求点P的坐标. 3 (3)若M为该抛物线上的一个动点，当△BCM -m2+2m解得m1-1,m2=0(舍去)，∴点M 为直角三角形时，求点M的坐标， 的坐标为(1，一4)；②若∠MBC=90°，如图2， 161 么壹学知道中考数学压轴题得高分 过点B作DE⊥x轴，分别过点M、C作DE的 垂线，垂足分别记为E、D,同理可得△BDCp A DC △MEB,.B=,由题意得，ME=3一m, 3 3 BE=m-2m-3,心3mm-2m-3解得 m1=-2,m2=3(舍去)，.点M的坐标为 图3 图4 (-2,5);③若∠BMC=90°，当点M在第三象 法2：设点M的坐标为(m,n),B(3,0), 限时，如图3，过点M作FG⊥x轴交x轴于点 C(0,-3),.BM2=(m-3)2+n2,CM2= F,过点C作CG⊥FG于点G,同理可得 m2+(n+3)2,BC2=18.①若∠BCM=90°，则 △MGC,∴8E-8出感意得， BC2+CM2=BM2,∴.18+m2+(n+3)2= (m一3)2十n2,整理得n=一m-3,又.n= BF=3-m,FM=-m2+2m+3,MG=m2- 2m,0G=-m,.3-m=-m2+2n+3 m2-2m-3,∴.-m-3=m2-2m-3,解得 ‘m2-2m 解得 -m m1=1,m2=0(舍去)，.点M的坐标为(1， m,16 一4)；②若∠CBM=90°，则BC2+BM2= 2,m2=(舍去)，m3=3(舍去)， 2 CM2,∴.18+(m-3)2+n2=m2+(n+3)2,整 心点M的坐标为一5,5+5 理得n=3-m,又.n=m2-2m-3,∴.m2 （21 2 ;当点M 2m-3=3-m,解得m1=-2,m2=3(舍去)， 在第四象限时，如图4，同理可得点M的坐标为 .点M的坐标为（一2,5）；③若∠BMC=90°， (十，5。)等上所述，点M的坐家为 则BM2+CM2=BC2,.(m-3)2+n2+m2+ 2， (n+3)2=18,整理得m(m-3)+m(m ,0或(-2)或生5,5)或 3)(m+1)(m-2)=0,.m≠0且m≠3，∴.解得 m1= :=:点M的坐标为 E 5.5)125,51综上 所述，点M的坐标为(1，-4)或（一2,5）或 (21 彦3.等腰直角三角形存在性问题 ®例3(2022·枣庄改编)如图，已知抛物线 7y=x2-2x-3 y=x2-2x-3 L:y=x2十bx+c经过点A(0,3)、B(1,0),P 图1 图2 是抛物线上的一个动点， 162 )第5章 特殊图形存在性问题 (1)求抛物线的函数表达式. (2)若F是抛物线的对称轴L上的一点，在抛物 线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直 角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出 所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说 明理由. B 法2（考虑旋转轨迹）：对于等腰直角三角形 OPF,可理解为OF绕点O旋转45°并缩小为 原来的号倍得OP,如图，对直线1作相同变 C解析(1)y=x2-4x+3. 换，旋转后的直线的函数表达式为y=x一2或 (2)法1：假设在抛物线上存在点P,使△POF y=-x+2,①联立方程x2一4x十3=x一2，解 成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形.如 图解示例，过点P作MN⊥直线l,分别交 得x1= 法，55，点P的坐标为 y轴、直线I于点M、N,则∠MPO+∠FPN= 90°，又.∠MPO+∠MOP=90°，∴.∠FPN= ,)成。，1)：®联立方 ∠MOP,∠OMP=∠PNF,OP=PF, 程x2-4x十3=-x+2,解得1=3十5 2x2 ∴.△PMO≌△FNP,∴.OM=PN,设点P的坐 标为(m,m2-4m+3),则OM=m2-4m十3， 点P的坐标为3,1)或 3-√5 PN=|2-ml,∴.m2-4m+3=2-m|,解得 m13+ 5,m=35 2，m4= (5,15)综上所述点P的坐标为 2 5点P的单标为，12)政 ,++5,15)或 1-√5 2 163 以壹学知道中考数学压轴题得高分● 》真题演练 1.(2022·济南)如图，抛物线y=ax2+ 4x一6与x轴交于A(1,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点 C,直线y=kx一6经过点B.点P在抛物线上，设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的函数表达式和t、k的值， (2)如图，连接AC、AP、PC,若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标. y个 B 2.(2023·广元改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+bx十4的图像与 x轴交于点A(一2,0)、B(4,0),与y轴交于点C. (1)求抛物线的函数表达式. (2)已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴1上一点，以B、E、F为顶点的三角形是等腰直 角三角形，且∠BFE=90°，求出点F的坐标. C A B 备用图 164 C)第5章 特殊图形存在性问题 3.(2023·湘潭改编)如图，二次函数y=x2+bx十c的图像与x轴交于A、B(1,0)两点，与y轴交 于点C(0,3). (1)求这个二次函数的表达式. (2)Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a,当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围. O BA 165