题号猜题10 中考数学23题 解直角三角形应用（解答题）（湖南长沙专用） 2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题10 中考数学23题 解直角三角形应用（解答题） 考点1仰角俯角问题 1．（2026·湖南长沙·一模）2026年4月17日12时10分，搭载“高精度探测卫星”的“长征四号丙”运载火箭在酒泉航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为． (1)求的距离； (2)求火箭从处到处的飞行距离． 2．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 3．（2026·湖南长沙·一模）我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为，，测得无人机高于水平地面的高度为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度为多少米？（参考数据：，结果保留整数） 4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志，风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．某校九年级学生在数学实践活动课时对该雕塑的高度进行了测量．如图，在点C处用测角仪测得雕塑顶部A的仰角为，向远离雕塑的方向走到达点D处，在点D处测得雕塑顶部A的仰角为．已知测角仪距地面的高，求雕塑的高度约为多少米？ (结果精确到．参考数据∶，，)． 5．（2026·湖南长沙·一模）烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是．已知楼房高是，求： (1)楼房与纪念塔底部距离的长（保留根号）； (2)该纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 考点2方位角问题 6．（2026·湖南长沙·二模）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） (1)求BC段的长度（结果保留整数）； (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 8．（25-26九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．在观测点的西北方向且在观测点的西南方向海里处，观测点在观测点的正北方向，目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向． (1)求的距离． (2)求的距离（结果保留根号）． 10．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P处）在北偏东方向上，继续往东走到了德思勤（B处）测得我家（P处）在北偏东方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：，结果精确到） 考点3坡度坡比问题 11．（2025·湖南长沙·三模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡到达B点，再从B点沿斜坡到达山顶C点，路线如图，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求斜坡的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 12．（2025·湖南长沙·二模）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到高度为3米的展示台上，为此设计了可调节斜坡装置，当斜坡的坡度时（的坡度），运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算加长后的斜坡比原斜坡长了多少米？（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 13．（24-25九年级下·海南海口·月考）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：） 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（） 问题解决： (1)确定斜坡坡度：如图1，求的值； (2)如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明． 14．（2025·湖南长沙·一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米)    15．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，． (1)求小山的高度； (2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，） 考点4其他实际应用问题 16．（2026·江西九江·二模）如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A，B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i，A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G可视为货厢的重心，测得．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）． (1)求货厢对角线的长； (2)卸货时发现，当两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，，结果精确到） 17．（2026·湖南长沙·二模）材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的大小； (2)求的长． 18．（2026·湖南长沙·一模）如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）． (1)真空管上端到水平线的距离； (2)求安装热水器的铁架水平横管的长度． 19．（2026·长沙·模拟预测）如图，受电弓是动车从接触网取得电能的电气设备，已知受电弓的下臂杆，上臂杆，下臂杆与车顶的夹角，上臂杆与下臂杆的夹角． (1)求下臂杆的顶端与车顶的距离； (2)求上臂杆的顶端与车顶的距离参考数据：，，． 20．（2024·湖南长沙·模拟预测）在车场管理中，为提高出入口车辆通行效率，车牌识别系统被广泛应用．如图是一套车牌识别系统的示意图，当车牌完全进入摄像头范围内，才能识别车牌号码，摄像头安装在立杆上的点A处，，某款小汽车车牌上方距离地面，为水平地面，小汽车从点F向点B行驶，为监测范围，为了达到良好的效果，要求监测角度，． (1)求该款汽车进入监测范围时，离立杆的距离； (2)求监测范围的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 1．（2026·湖南长沙·一模）为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号） 2．（2026·湖南长沙·一模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底，为了测量觉华塔的高度CD（塔顶到水平地面的距离），某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知米，测角仪的高度是1米（即米，A，B，C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题： (1)求的度数； (2)求觉华塔的高度．（结果保留根号） 3．（2026·湖南长沙·一模）某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走50米到处再测得点的仰角为，已知、在同一条直线上． (1)求的度数； (2)求新教学楼的高度（结果保留根号）． 4．（2026·湖南长沙·一模）梅溪湖城市岛如图1，是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑，以双螺旋观景平台为核心，兼具现代设计美学与城市观景功能，整体呈现磅礴大气的视觉效果．数学兴趣小组的小溪同学，想要利用自己的数学知识测量城市岛的高度，如图2，她先在离地面高（即）矩形平台上的点A处用测角仪测得观景台顶部D的仰角为，然后前进到B处，测得观景台顶部D的仰角为．根据以上测量数据求城市岛的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 5．（2026·湖南长沙·一模）某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． (1)求点C到墙面的距离； (2)求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 6．（2026·湖南长沙·一模）综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 7．（2026·湖南长沙·一模）2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果保留根号）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题10 中考数学23题 解直角三角形应用（解答题） 考点1仰角俯角问题 1．（2026·湖南长沙·一模）2026年4月17日12时10分，搭载“高精度探测卫星”的“长征四号丙”运载火箭在酒泉航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为． (1)求的距离； (2)求火箭从处到处的飞行距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，直接解直角三角形求解即可； （2）在中，解直角三角形求出，即可求解﹒ 【详解】（1）解：在中，∵，， ∴，﹒ 即的距离为； （2）解：在中，∵，， ∴﹒ ∴， 即火箭从处到处的飞行距离为． 2．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 3．（2026·湖南长沙·一模）我国生产的无人机畅销世界，在长沙某跨江大桥修建过程中，需要测量湘江某段河面宽度，工作人员操控无人机在P处测得M，N两处的俯角分别为，，测得无人机高于水平地面的高度为300米，且Q，M，N三点在同一条水平直线上，求这条河的宽度为多少米？（参考数据：，结果保留整数） 【答案】219米 【分析】在和中，利用锐角三角函数，求出和的长，然后计算出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）． 答：这条河的宽度约为219米． 4．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）坐落于长沙橘子洲头的毛泽东青年艺术雕塑，以1925年青年时期毛泽东形象为艺术原型，突出表现伟人青年时代胸怀大志，风华正茂的气概，该雕塑通过伟人文化为名洲增色，是红色之洲的代表作．某校九年级学生在数学实践活动课时对该雕塑的高度进行了测量．如图，在点C处用测角仪测得雕塑顶部A的仰角为，向远离雕塑的方向走到达点D处，在点D处测得雕塑顶部A的仰角为．已知测角仪距地面的高，求雕塑的高度约为多少米？ (结果精确到．参考数据∶，，)． 【答案】雕塑的高度约为32米 【分析】设的长为，分别解和，求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解∶由题意可知，，四边形和四边形都是矩形， ∴， 设的长为， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 即，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴． 答∶雕塑的高度约为32米． 5．（2026·湖南长沙·一模）烈士公园纪念塔1958年建于今东风路湖南烈士公园内，由块白玉石和花岗石砌成，雕栏刻柱，翠绿琉璃瓦塔顶，威武雄伟．为测量纪念塔的高度，数学建模小组同学先在该纪念塔附近一栋楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是．已知楼房高是，求： (1)楼房与纪念塔底部距离的长（保留根号）； (2)该纪念塔的高度．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1) (2)该纪念塔的高度约为59米． 【分析】（1）根据正切的定义即可求出答案； （2）根据正切的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：∵顶端点处观测纪念塔底部处的俯角是， ， 在Rt中，， （2）∵在一楼房的底端点处观测纪念塔顶端处的仰角是， 在Rt中，， ． 答：该纪念塔的高度约为59米． 考点2方位角问题 6．（2026·湖南长沙·二模）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） (1)求BC段的长度（结果保留整数）； (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 【答案】(1)BC段的长度约为140米 (2)小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析 【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度； （2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：段的长度约为140米； （2）解：小汽车没有超速，理由如下： 小汽车行驶的速度（米/秒）， ∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时， ∴小汽车在段行驶时没有超速． 7．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)没有触礁的危险 【分析】（1）如图（见解析），先根据题意可得，，，，再根据平行线的性质和角的和差求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，再与进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点， 设， 由题意和（1）得：，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即在点与上所有点的连线得到的线段中，长度最小的是， ∴如果货船沿着原来的方向行驶，没有触礁的危险． 8．（25-26九年级下·湖南长沙·开学考试）如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海警船继续向正东方向航行安全 【分析】（1）作交的延长线于点，利用平行线的性质和角之间的关系，计算即可； （2）设海里，利用三角函数可得海里，海里，列出方程，求出，从而可得，与25比较即可求解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于点， 由题意可知，，，，， 则， ，， ； （2）海警船继续向正东方向航行安全，理由如下， 设海里， 在中，，即， 则海里， 在中，，即， 则海里， （海里）， ， 即，解得， ， 海警船继续向正东方向航行安全． 9．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．在观测点的西北方向且在观测点的西南方向海里处，观测点在观测点的正北方向，目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向． (1)求的距离． (2)求的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1）根据方向角的定义得出，，，利用三角函数的定义求出，利用外角的性质得出，根据等角对等边即可得答案； （2）过点作于，根据三角函数求出海里，再根据，含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： 题意可得，，（海里）， ∴ ∴（海里）， ∵目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向， ∴，， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图，过点作于， ∵，海里 ∴（海里）， ∵， ∴（海里）． 10．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P处）在北偏东方向上，继续往东走到了德思勤（B处）测得我家（P处）在北偏东方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作，根据三角形的外角性质得到，得到，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， ， 在中，， ， ， 答：小明家到湘府路有． 考点3坡度坡比问题 11．（2025·湖南长沙·三模）今年“五一”假期，某教学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下A点出发沿斜坡到达B点，再从B点沿斜坡到达山顶C点，路线如图，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是，已知A点海拔121米，C点海拔721米． (1)求斜坡的坡度； (2)为了方便上下山，若在A到C之间架设一条钢缆，求钢缆的长度． 【答案】(1) (2)1000米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度问题，勾股定理的应用，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，利用斜坡的坡度，求出，的长，结合已知条件，得到，的长，从而得到结果； （2）根据题意，得到，的长，利用勾股定理得到结果． 【详解】（1）解：作于点，作 于点，作于点，连接， 斜坡的长为米，坡度是， ，， 米， 点海拔121米，点海拔721米， 米， （米， 斜坡的长为米， （米， ， 即斜坡的坡度是； （2）解：米，（米）， （米）， 答：钢缆的长度是1000米． 12．（2025·湖南长沙·二模）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到高度为3米的展示台上，为此设计了可调节斜坡装置，当斜坡的坡度时（的坡度），运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算加长后的斜坡比原斜坡长了多少米？（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【答案】2.8米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 分别在和中利用三角函数表示出、的长度，作差可求解． 【详解】解： 在中，，的坡度， ∴， ∴，又， ∴， 在中，，， ∴， ∴（米）， 答：加长后的斜坡比原斜坡长了2.8米． 13．（24-25九年级下·海南海口·月考）根据以下材料，探索完成任务． 探究车牌识别系统的识别角度 材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长． 材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：） 材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（） 问题解决： (1)确定斜坡坡度：如图1，求的值； (2)如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明． 【答案】(1)的值为 (2)闸门没有打开，理由详见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）直接根据坡度的定义求解即可； （2）过点作于，设，则，利用得到，从而求出，利用求出，从而得到，从而计算出车辆以最高限速行驶到达点的时间，从而得解． 【详解】（1）解： ，，长， 的值为：； （2）解：闸门没有打开，理由如下： 过点作于， ，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 解得：， ， 车辆以最高限速行驶到达点的时间为： 秒，， 闸门没有打开． 14．（2025·湖南长沙·一模）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米)    【答案】米． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，求出米，得到米，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得米， ∴米， ∵ ∴（米） ∴（米）． 答：山顶点C到地面的距离的长为米． 15．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，有一建筑物在小山上，小山的斜坡的坡角为，在建筑物顶部有一座避雷塔，在坡底处测得避雷塔顶端的仰角为，在山顶处测得建筑物顶端的仰角为，已知在同一条垂直于地面的直线上，，，． (1)求小山的高度； (2)求避雷塔的高度．（结果精确到，，） 【答案】(1)小山的高度为； (2)避雷塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由小山的斜坡的坡度为，则可得出，故有，然后代入求解即可； （）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形，则，，在中求出，则有，然后证明是等腰直角三角形，则，在中，，最后由，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵小山的斜坡的坡度为，，， ∴， ∴， ∴中，， 则小山的高度为； （2）解：如图，过点作，垂足为点， ∴则， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 又∵在中，， ∴， 又∵在同一条垂直于地面的直线上，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵在中，， ∴， 则避雷塔的高度约为． 考点4其他实际应用问题 16．（2026·江西九江·二模）如图是一辆自卸式货车的主视示意图，矩形货厢的长．卸货时，货厢绕A点处的转轴旋转，货厢底部A，B两点在垂直方向上的距离与水平距离之比记作i，A点处的转轴与后车轮转轴（点M处）的水平距离叫做安全轴距，测得该车的安全轴距为．货厢对角线的交点G可视为货厢的重心，测得．假设该车在平地上进行卸货作业（即为水平线）． (1)求货厢对角线的长； (2)卸货时发现，当两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆事故．若，该货车会发生上述事故吗？试说明你的理由．（参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】(1)； (2)不会发生上述事故，理由见解析． 【分析】（1）在中，利用三角函数，求出长即可； （2）求出的度数，根据矩形的性质得到，在中，利用三角函数，求出长即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， 答：货厢对角线的长为； （2）解：不会发生上述事故，理由如下： 作，垂足为K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴该货车不会发生上述事故． 17．（2026·湖南长沙·二模）材料阅读： 光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的大小； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）首先求出，，求出，即可得到． 【详解】（1）解：在中，， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （2）解：∵在中，，， ∴，， ， ∴ ∴ ∴． 18．（2026·湖南长沙·一模）如图，已知屋面的倾斜角为，长为米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．（参考数据： ）． (1)真空管上端到水平线的距离； (2)求安装热水器的铁架水平横管的长度． 【答案】(1)真空管上端到的距离约为米 (2)安装热水器的铁架水平横管的长度约为米 【分析】本题主要考查了直角三角形中三角函数的应用以及矩形的性质． （1）过作于，通过作垂线构造直角三角形，利用正弦函数定义求出真空管上端到水平线的距离即可解答； （2）先在直角三角形中求出相关线段长度，再根据矩形性质得到线段间的关系，最后通过线段的和差即可求出水平横管的长度． 【详解】（1）解：如图，过作于， 在中，， 则（米）， 答：真空管上端到的距离约为米； （2）在中，， 则（米）， ，，， 四边形是矩形， ，， 米， 米， 在中，， 则（米）， （米）， 答：安装热水器的铁架水平横管的长度约为米． 19．（2026·长沙·模拟预测）如图，受电弓是动车从接触网取得电能的电气设备，已知受电弓的下臂杆，上臂杆，下臂杆与车顶的夹角，上臂杆与下臂杆的夹角． (1)求下臂杆的顶端与车顶的距离； (2)求上臂杆的顶端与车顶的距离参考数据：，，． 【答案】(1)下臂杆的顶端 与车顶 的距离为 (2)上臂杆的顶端与车顶 的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形，构造矩形和直角三角形，利用直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． （1）过点作，垂足为，利用，，再进一步求解即可． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为．证明，，利用进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为． 在中， ，， ． 答：下臂杆的顶端 与车顶 的距离为． （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为． ， 四边形 为矩形， ，， ， ， 在中， ， ． ． 答：上臂杆的顶端与车顶 的距离约为． 20．（2024·湖南长沙·模拟预测）在车场管理中，为提高出入口车辆通行效率，车牌识别系统被广泛应用．如图是一套车牌识别系统的示意图，当车牌完全进入摄像头范围内，才能识别车牌号码，摄像头安装在立杆上的点A处，，某款小汽车车牌上方距离地面，为水平地面，小汽车从点F向点B行驶，为监测范围，为了达到良好的效果，要求监测角度，． (1)求该款汽车进入监测范围时，离立杆的距离； (2)求监测范围的长度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)约为 (2)约为 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，则可得，再在中，解直角三角形即可得； （2）先求出，再解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 答：该款汽车进入监测范围时，离立杆的距离约为． （2）解：∵，， ∴， 由（1）已得：，， ∴在中，， 由（1）已得：， ∴， 答：监测范围的长度约为． 1．（2026·湖南长沙·一模）为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先利用俯角的定义，将无人机观测的俯角转化为地面直角三角形的内角，再结合已知的垂直高度，分别在和中，通过等腰直角三角形性质和三角函数求出的长度，最后用得到两点间的距离． 【详解】解：已知，， 无人机在处观测的俯角分别为和， 在中：，， ∴ 在中：，， ∴，即， 解得：， ∴． 答：观测点之间的距离为． 2．（2026·湖南长沙·一模）觉华塔位于长沙市铜官窑国家考古遗址公园的觉华顶，是遗址公园标志性景点之一．登上觉华塔，可俯瞰湘江、遗址公园全景，将山、水、洲、城、平原及公园原生态，自然风光尽收眼底，为了测量觉华塔的高度CD（塔顶到水平地面的距离），某校师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得塔顶D的仰角为，在B点处测得塔顶D的仰角为，已知米，测角仪的高度是1米（即米，A，B，C在同一直线上），根据以上数据解决下列问题： (1)求的度数； (2)求觉华塔的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)觉华塔的通高约为 【分析】（1）根据题意可得，，利用三角形的外角性质可得； （2）根据等腰三角形的判定定理得到，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵测角仪的高度是（A、B、C在同一直线上），， ∴， 由题意可知， ∵是的外角， ∴. （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 答：觉华塔的通高约为． 3．（2026·湖南长沙·一模）某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走50米到处再测得点的仰角为，已知、在同一条直线上． (1)求的度数； (2)求新教学楼的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质计算即可求解； （2）由题意可得，在中利用锐角三角函数即可求解． 【详解】（1）解：∵在处测得新教学楼房顶点的仰角为，在处再测得点的仰角为， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． 在中，， ∴． 答：新教学楼的高度约为米． 4．（2026·湖南长沙·一模）梅溪湖城市岛如图1，是位于长沙梅溪湖西岸的标志性建筑，以双螺旋观景平台为核心，兼具现代设计美学与城市观景功能，整体呈现磅礴大气的视觉效果．数学兴趣小组的小溪同学，想要利用自己的数学知识测量城市岛的高度，如图2，她先在离地面高（即）矩形平台上的点A处用测角仪测得观景台顶部D的仰角为，然后前进到B处，测得观景台顶部D的仰角为．根据以上测量数据求城市岛的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】延长交于，得到矩形，从而将已知条件转化到两个直角三角形和中，再根据三角函数和线段关系计算出，进而求出．本题主要考查了解直角三角形的实际应用，涉及到矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角函数的运用．熟练掌握直角三角形的边角关系，通过作辅助线构造合适的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：延长交于，则， 在中， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴城市岛的高度 （）． 答：城市岛的高度约为m． 5．（2026·湖南长沙·一模）某数学研学小组想测量南龛坡飞霞阁上悬挂的匾额高度，如图①是悬挂巨大匾额的飞霞阁，图②中的线段是悬挂在墙壁上匾额的截面示意图．已知米，，从水平地面点D处看点C，仰角，继续向前行走米达到点E，从点E处看点B，仰角． (1)求点C到墙面的距离； (2)求匾额悬挂的高度． （参考数据：，，） 【答案】(1)点C到墙面的距离为米 (2)匾额悬挂的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点C作于点H，在中，解直角三角形求出即可； （2）延长交于点G，先求出，，设，解直角三角形表示出，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H， 在中，米，， ∴（米）， 答：点C到墙面的距离为米． （2）延长交于点G． ， ，， 在Rt中，， 中，米， ∴米， 设，在Rt中，， ， ∴， ， ∴， 解得： 答：匾额悬挂的高度为米． 6．（2026·湖南长沙·一模）综合与实践：某“综合与实践”小组开展了测量不可到达的建筑物的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间在建筑物旁边小楼房完成了实地测量，在小楼房楼底处测得处的仰角（）为，在小楼房楼顶处测得处的仰角（）为．测得的高度为（，）在同一平面内，，在同一水平面上），通过测量数据求建筑物的高？ 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用与仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 由题意可得，，，易得四边形为矩形，则、，设，则，在中解直角三角形可得，在中，，解得：，进而求得即可解答． 【详解】解：依题意，，，， 四边形为矩形， ，， 设，则， ∵在中，， ， 在中，，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ． 7．（2026·湖南长沙·一模）2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时，在地面雷达站C处测得点A的仰角为，在地面雷达站B处测得点A的仰角为．已知，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角问题；先由，得、的长度，再由得，最后由得出结果. 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴. 答：B、C两个雷达站之间的距离为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $