第5章 第1节 等腰三角形存在性问题-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分心 第5章 特殊图形存在性问题 》》》》 第1节 等腰三角形存在性问题 在函数背景下，探究特殊图形的存在性问题，从等腰三角形说起，以动点个数为分类标准可分 “两定一动”、“一定两动”、“三动点”这三种类型，本节介绍解决问题的一般方法与思路。 ③如图3，当OC=OM时，∠OMC=∠OCM= 》知识导航 45°，∴.点M与点B重合，m=2.综上所述，m的 形1.两定一动 值为√2或1或2. ®例1(2023·随州改编)如图1，平面直角 坐标系xOy中，抛物线y=ax2十bx十c过点 H A(-1,0)、B(2,0)和C(0,2),连接BC,P(m, NB n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥ 图1 x轴交直线BC于点M,交x轴于点N. V (1)直接写出抛物线和直线BC的函数表达式. (2)如图2，连接OM,当△OCM为等腰三角形 时，求m的值， A/ONBx V个 图2 图1 图2 C解析(1)抛物线的函数表达式为y=一x2+ A/O B(M 图3 x十2，直线BC的函数表达式为y=一x+2. (2)法1（几何分析）：①如图1，当C0=CM时， 法2（代数计算）：设点M的坐标为(m,一+ .CO=2,.CM=2,过点M作MH⊥y轴于 2),则CM=√2m,OM=√m2+(-m+2)2= 点H,∠OCB=45°，∴.△CMH是等腰直角 √2m2-4m+4,OC=2.①当CM=C0时，即 三角形，MH=号CM=2,m=2:②如 √2m=2,∴.m=√2；②当MC=MO时，即 √2m=√2m2-4m+4,解得m=1;③当OM= 图2，当MC=MO时，点M在CO的垂直平分 线上，点M的纵坐标为1，代入直线BC的函 OC时，即√2m2-4m十4=2，解得m1=2, 数表达式可得点M的横坐标为1，∴.m=1; m2=0(舍去).综上所述，m的值为√2或1或2. 154X 第5章) 特殊图形存在性问题 思路归纳 x=一2，将x=一2代入直线y=-3x十3，得 y=9,点P的坐标为（一2,9），设抛物线的函 对于“两定一动”类型，有“几何法”与“代 数表达式为y=a(x十2)2+9，将A(1,0)代入， 数法”. 得9a+9=0,解得a=一1，.抛物线的函数表达 几何法： (1)运用“两圆一线”作出点： 式为y=-(x十2)2+9（或y=-x2-4x十5）. (2)利用勾股定理、相似三角形等求得线 (2)①将x=0代入抛物线的函达表达式，得 段长，由线段长求得点坐标 y=5,∴点C的坐标为(0,5).又点B的坐标 代数法： 为(-5,0)，∴.直线BC的函数表达式为y (1)表示三个顶点A、B、C的坐标； x+5.由题意得，点E的坐标为(m,一m2一 (2)由点坐标表示线段AB、AC、BC; 4m+5),点F的坐标为(m,m+5),.EF= (3)根据题意令①AB=AC、②BA= -m2-4m+5-(m+5)=-m2-5m= BC、③CA=CB; (m+当m= 5 时，EF取得最 (4)解方程求得点坐标. 2 大值，最大值为5，即EF取得最大值时， 形2.一定两动 ®例2(2023·凉山)如图，已知抛物线与 m=- 2,EF的最大值为25 x轴交于A(1,0)和B(一5,0)两点，与y轴交 ②.EF∥y轴，∴.∠EFC=∠BCO=45°.若EF= 于点C.直线y=一3x十3过抛物线的顶点P. EC,如图1，则∠ECF=∠EFC=45°，∠CEF= (1)求抛物线的函数表达式. 90°，.EC⊥y轴，，对称轴为直线x=一2，点C (2)若直线x=m(一5<m<0)与抛物线交于点 的坐标为(0,5)，.点E的坐标为（一4,5）；若 E,与直线BC交于点F. CE=CF,如图2，则∠CEF=∠CFE=45°，取EF ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最 的中点M,连接CM,则CM∥x轴，由题意得，点 大值； M的坐标为(m,一m-m5+m+5), ②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标. y=-3x+3\p :m2-4m士5+m+5》-5,解得m1=-3, 2 m2=0(舍去)，∴.点E的坐标为（一3,8）；若 FC=FE,如图3，由题意得，EF=一m2一5m, FC=-√2m,∴.-m2-5m=-√2m,解得 m1=√2一5，m2=0(舍去)，.点E的坐标为 B (√2一5，一2+6√2).综上所述，点E的坐标为 ○解析(1)由题意得，抛物线对称轴为直线 (-4,5)或(-3,8)或(2-5，-2+6√2). 155 壹学知道中考数学压轴题得高分 y=-3x+3\p 3.三动点 ®例3(2021·宿迁)如图，抛物线y= 2x2+b虹+c与x轴交于A(-1,0)、B(4,0) 两点，与y轴交于点C.连接AC、BC,点P在抛 物线上运动. (1)求抛物线的函数表达式. (2)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC 图1 于点F,过点P作x轴的垂线交BC于点H,当 y=-3x+3\p △PFH为等腰三角形时，求线段PH的长 E 个y B B E B 备用图 C解折1y=名+ 1 2x+2. (2)设点P 图2 1 y=-3x+3\p 的坐标为刘a,m+3m+2,直线AP的 函数表达式为y=- 2(m-4)(x十1)，由题意 H 得，直线BC的两数表达式为y=-十2， 点H的坐标为(m,-2m十2)，PH= 2m2+2m,分类讨论：①若FP=FH,则 图3 ∠FPH=∠FHP,tan∠FHP=tan∠BCO= 2,∴.tan∠FPH=2,可得直线AP的函数表达 思路归纳 在“一动两定”的题目中，分析两个动点 式为y- 十分联立方程-名+2+2 间的联系，若能表示出三角形的边，则可列方 2x+2,解得x1=3,x2=-1(舍去)，将m=3 1 程求解；若不便表示三角形的边，可将边相等 转化为角相等或其他边、角的数量关系. 代人PHm-2m,得PH-多：@若 156/ )第5章) 特殊图形存在性问题 PF=PH,设∠CBA=a,则∠FPH=2a,如 AC 图，记AP与y轴交于点M,.∠AMO= AO =√5，.OM= )x2√5工，.直线 w5+1 ∠FPH=2a,∠ACO=∠CBA=a, .∠CAM=a=∠ACO,.AM=CM,设 AP的函数表达式为y52工x士5一1 ,联立 2 CM=t,AM=t,OM=2-t,..12+(2- 方程 2x2+2x+2=521x 1 3 2x+6-1 ,解得 )=,解得=点M的坐标为0，》， x1=5-√5，x2=-1(舍去)，将m=5-√5代入 “直线AP的函数表达式为y-x+,联立 PH=-7m+2m,得PH=35-5,综上所 1 方程-+x+2=+解得， 5 述，PH的长为或 或3√5-5. 8 x2=-1(舍去)，将m=代人PH=一2m2+ 2m,得PH-5:@若HF=HP,则∠HP ∠HPF,,∠PAB+∠FPH=90°，∠CAF+ ∠PEH=90.i∠PaB=∠Ca6Y 157 以壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 」真题演练 1.(2024·达州)如图，抛物线y=ax2+bx一3与x轴交于点A(一3,0)和点B(1,0),与y轴交于 点C,D是抛物线的顶点 (1)求抛物线的函数表达式， (2)若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N、A、C为顶点的三角形是 等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， B D 备用图 2.(2023·成都改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2十c经过点P(4,一3)， 与y轴交于点A(0,1),直线y=x(k≠0)与抛物线交于B、C两点. (1)求抛物线的函数表达式. (2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标. 备用图 1581 C)第5章 特殊图形存在性问题 3.(2025·烟台)如图，抛物线y=ax2十bx十3与x轴交于A、B两点(，点A在，点B左侧)，与y轴 交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E,垂足 为F,连接CD (1)求抛物线的函数表达式： (2)设点D的横坐标为t. ①用含有t的代数式表示线段DE的长度； ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若 不存在，请说明理由. 备用图 4(2025·无锡改编)已知二次函数y=一 22+mx+ 3m(m≠0)图像的顶点为A,与y轴交于点 B,对称轴与x轴交于点C,若△ABC是等腰三角形，求m的值. 159x2=m·（-n)=3,.直线AB'过定点(0,3). 第5章特殊图形存在性问题 第1节等腰三角形存在性问题 1.解析：(1)y=x2+2x-3.(2)(-1,√14)或 (-1,-√14)或(-1，-3+√17)或(-1，-1) 2.解析：(1)将(4，一3)和(0,1)代入抛物线的函数表达 1 116a十c=-3, a=- 式得 解得 4’抛物线的函数 c=1, c=1, 表达式为y=-}+1.(2)①若AB=AP,如图 1,抛物线的对称轴为y轴，.当点B与点P关于 y轴对称时，可得AB=AP,.点B的坐标为（一4， 一3)；②若BA=BP,如图2，则点B在线段AP的垂 直平分线上，取AP的中点M,则点M的坐标为(2， -1),过点M作MN⊥AP交y轴于点N,易得 ∠MAN=45°，.△AMN是等腰直角三角形， .AN=√2AM=4,∴.点N的坐标为(0，-3)，.直线 MN的函数表达式为y=x-3,联立方程一x2+1= x-3,解得x1=-2+2V5,x2=-2-25,.点B的 坐标为(-2+2√5，-5+25)或(-2-2√5，-5- 2√5).综上所述，点B的坐标为（一4，一3）或（一2+ 2W5,-5+2√5)或(-2-25，-5-25) 图2 3.解析：(1)y=一 4x2+x+3.(2)①由题意得B(6, 0.C(0,3)D,-+i+3）lc:y=-2x+ 3,E(,2+3)DE=-2+1+3-(2+ 中考数学压 3)=-4:+8.@若cD=cE,则 +4+3-+3 1 2 =3，解得t1=2,t2=0(舍去)， ∴D(2,:若EC=ED,则号：=-女+号，解得 4 t1=6-2W5,t2=0(舍去)，.D(6-2w5,45-5);若 DC=DE,则+（←子2+）‘=(-+)，解 得1=1，：=0（含去）∴D(1,)综上所述，点D的 坐标为2,4)或(6-25,45-5)或(1，) 4解折：由感意得A,m+号a)B0,号a小 1 1 3m+ C(m,0),:.AB:-im+m,AC=mm 3m2,BC&=4 号m2.①若AB=AC,则号m十m2= +3 1 3n,解得m1-2,m2=0(舍去)： 23 ②若BA=BC,则m十m=音m,解得-2， 3 2v 3(舍去)，m,=0(舍去)；③若CA=CB,则 m+m- 4m+③ 3m,解得m1-2y3 3，n2= 23,m=0(含去).综上所述，m的值为2,3或 -2√3. 第2节直角三角形存在性问题 1.解析：(1)将(8,0)代入抛物线的函数表达式得 64a+2-6=0,解得a=-}∴抛物线的函数表达 式为y=}+-6,令子+x-6=0,解 得x1=3,x2=8,t=3.将(8,0)代入直线的函数表达 轴题得高分 32·