2026专年中考数学复习题1 等腰三角形的存在性

存在性问题

专题1《等腰三角形的存在性》

策略点破

以线段AB为边的等腰三形构造方法如图1所示：等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）．

解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

【几何法：两圆一线得坐标】：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算．

如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题．

【代数法：点线式三步杀】先竖向写出点坐标，利用两点间的距离公式：求出三边长或表达式，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合，可以提高解题效率，为整个答题节省更多的时间，为整个题目的布局留有足够的空间，真是数形结合百般好．

解一题

例1：纯几何图形中的等腰存在性

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），

解：如右图，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴＝，

∵AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，∴＝∴PH＝3﹣t，AH＝

∴PQ＝=.

在△APQ中，①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝；
②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5；
③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝；
∵0＜t＜4，∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去，
∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形．

反思：这是代数解法，利用勾股定理暴力求解，但是这个计算量稍大。由于定角的存在，常有一种情况，由条件可秒解，如①.也正是由于定角的存在可以将角度转化为比值，所以针对②③还可以利用几何解法，如下：

相似法：当PQ＝AQ时，如图5，易得：△AHQ∽△ACB，∴,即，解得：t2＝，t3＝5；当PQ＝AP，如图6，易得：△APG∽△ABC，∴,即，解得：t4＝0，t5＝.

三角法：如图5，tanA=，如图6，tanA=，同样得到对应边成比例.反思：对于直角三角形的相似构造等量关系式，也可以利用三角函数，特别是定角∠A的存在，可将角度问题转化为比值问题。对比于暴力求解，相似或三角显然降低了计算量，在由于勾股学的早，先入为主，同学们常常第一时间想到，但是作为初三学生，要根据题目选用合适的方法解题，同时要学会总结：等腰三角形的存在性问题，常常需要分3类讨论，常有一种情况，由条件可秒解，另两种情况借助等腰的三线合一性质构造直角三角形，利用相似或者三角建立等量关系式，进而求解。

例2：平面直角坐标系中的等腰存在性

（2011淮安）如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（改编）.

【代数盲解法：点线式三步杀】：

点 A（4，0）,B（0，3）,P（x，0） ，写出已知点，设立未知点;

线 两点间距离公式。

式 分三类建立等量关系式解方程可得

。

【几何解法：两圆一线得坐标】

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点P，有AB=AP=5，即可求解；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点P，有BA=BP=5，即可求解；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点P，有PA=PB，此种情况可借助相似或三角：

相似法:证明△AHP4∽△AOB，∴,即，解得：x＝,∴；

三角法:易得sinA=，建立方程求解可得,三角法可以适当简化解题过程.

由于点P是直线HP4与x轴的交点所以还可通过求出直线表达式来求出点的坐标，

【解析法：k1k2=-1】可得直线AB：,由，可设直线HP4：，利用两点间中点公式，可得H，代入得：，∴，另y=0,解得x＝，∴。这个教材上并没有出现但是大家都知道，确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~在没有明确阅卷标准下，慎用，最后