2026专年中考数学复习题1 等腰三角形的存在性

存在性问题 专题1《等腰三角形的存在性》 策略点破 以线段AB为边的等腰三形构造方法如图1所示：等腰三角形的另一个顶点在线段AB的垂直平分线上，或以A，B为圆心、AB长为半径的圆上（不与线段AB共线）． ( A B 图1 A B C D 图2 ) 解等腰三角形的存在性问题时，若没有明确指出等腰三角形的底或腰，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有： 【几何法：两圆一线得坐标】：先分类讨论，再画出等腰三角形，后计算． 如图2，若AB＝AC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，从而利用锐角三角函数、相似三角形等知识解决问题． 【代数法：点线式三步杀】先竖向写出点坐标，利用两点间的距离公式：求出三边长或表达式，再分类讨论列方程，然后解方程并检验．有时候将几何法和代数法相结合，可以提高解题效率，为整个答题节省更多的时间，为整个题目的布局留有足够的空间，真是数形结合百般好． 解一题 例1：纯几何图形中的等腰存在性 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）， 解：如右图，过点P作PH⊥AC于H， ∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴PH∥BC，∴△APH∽△ABC，∴＝， ∵AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，∴＝∴PH＝3﹣t，AH＝ ∴PQ＝=. 在△APQ中，①当AQ＝AP，即t＝5﹣t时，解得：t1＝； ②当PQ＝AQ，即＝t时，解得：t2＝，t3＝5； ③当PQ＝AP，即＝5﹣t时，解得：t4＝0，t5＝； ∵0＜t＜4，∴t3＝5，t4＝0不合题意，舍去， ∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形． 反思：这是代数解法，利用勾股定理暴力求解，但是这个计算量稍大。由于定角的存在，常有一种情况，由条件可秒解，如①.也正是由于定角的存在可以将角度转化为比值，所以针对②③还可以利用几何解法，如下： 相似法：当PQ＝AQ时，如图5，易得：△AHQ∽△ACB，∴,即，解得：t2＝，t3＝5；当PQ＝AP，如图6，易得：△APG∽△ABC，∴,即，解得：t4＝0，t5＝. 三角法：如图5，tanA=，如图6，tanA=，同样得到对应边成比例.反思：对于直角三角形的相似构造等量关系式，也可以利用三角函数，特别是定角∠A的存在，可将角度问题转化为比值问题。对比于暴力求解，相似或三角显然降低了计算量，在由于勾股学的早，先入为主，同学们常常第一时间想到，但是作为初三学生，要根据题目选用合适的方法解题，同时要学会总结：等腰三角形的存在性问题，常常需要分3类讨论，常有一种情况，由条件可秒解，另两种情况借助等腰的三线合一性质构造直角三角形，利用相似或者三角建立等量关系式，进而求解。 例2：平面直角坐标系中的等腰存在性 （2011淮安）如图．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（改编）. 【代数盲解法：点线式三步杀】： 点 A（4，0）,B（0，3）,P（x，0） ，写出已知点，设立未知点; 线 两点间距离公式。 式 分三类建立等量关系式解方程可得 。 【几何解法：两圆一线得坐标】 （1） 以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点P，有AB=AP=5，即可求解；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点P，有BA=BP=5，即可求解；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点P，有PA=PB，此种情况可借助相似或三角： 相似法:证明△AHP4∽△AOB，∴,即，解得：x＝,∴； 三角法:易得sinA=，建立方程求解可得,三角法可以适当简化解题过程. 由于点P是直线HP4与x轴的交点所以还可通过求出直线表达式来求出点的坐标， 【解析法：k1k2=-1】可得直线AB：,由，可设直线HP4：，利用两点间中点公式，可得H，代入得：，∴，另y=0,解得x＝，∴。这个教材上并没有出现但是大家都知道，确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上~在没有明确阅卷标准下，慎用，最后一招。 【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股、相似、三角函数来求． ( 等腰三角形存在问题处理策路 几何法： 两圆一线作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法： 1. 表示出三个点坐标； 2. 由点坐标表示出三条线段； 3. 分类讨论； 4. 列出方程求解． 实际上， “ 点 ” 、 “ 线 ” 、 “ 式 ” 触及了解题核心，简化思维过程，易于学生的理解和掌握。 ) 写在后面：运用两点距离公式加勾股定理即点线式三步杀，可以实现全方位无死角的暴力求解，通过勾股定理建立等量关系式，利用方程可实现盲解盲算，求出全部答案，此种代数解法通用性强、杀伤力大，缺点个别题目计算难度大，特别是当所求点在二次函数上时比较难处理。 会一类 1.如图，若直线a⊥b，垂足为O，点A在直线b上，点B在直线a上，且OA＝OB，请在直线a或b上找一点P，使△ABP为等腰三角形，这样的点P有　 　个． 2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向B移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向B移动，当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－3x－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E（3，－4），连结CE，若P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形． 通一片 4.已知抛物线y＝－x2＋mx－n的对称轴为x＝－2，且与x轴只有一个交点． （1）求m，n的值； （2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式； （3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5.如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 6.如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α． （1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）； （2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由； （3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值． 平面直角坐标系中的几何解法 8.（宿迁28）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标； （3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长． 参考答案与试题解析 1．【答案】7 【解答】解：如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径作圆，与两直线的交点即为满足条件的P点， 作AB的垂直平分线，过O点，所以O也满足条件，所以满足条件的点共有7个， 故答案为：7． 2．【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝6米，BC＝8米， ∴AC＝10米， 由题意得：AP＝2t米，则CQ＝t米，则PC＝（10﹣2t）米， （1）图1中，作PD⊥BC于D， ∵∠PDC＝∠B＝90°， ∴PD∥AB， ∴PD＝PC＝（10﹣2t）米， ∴QC•PD＝，即t（10﹣2t）＝， 解得t＝； （2）∵△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米， ∴AC＝＝＝10米， 当PC＝QC时，PC＝（10﹣2t）米，QC＝t米，即10﹣2t＝t，解得t＝； 当PQ＝CQ时，如图1，过点Q作QE⊥AC，则CE＝＝5﹣t，CQ＝t， 由△CEQ∽△CBA，得＝，即＝，解得t＝； 当PC＝PQ时，如图2，过点P作PE⊥BC，则CE＝，PC＝10﹣2t， 由△PCE∽△ACB，得＝，即＝，解得t＝． 所以当t＝秒（此时PC＝QC），秒（此时PQ＝QC），或秒（此时PQ＝PC）△CPQ为等腰三角形． 3．【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣8，点B坐标（8，0）．点E坐标（3，﹣4）； （2）存在，点F的坐标为； （3）当m＝﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8）， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣8， ∵y＝x2﹣3x﹣8＝（x﹣3）2﹣， ∴抛物线对称轴为直线x＝3， 又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0）， ∴点B坐标（8，0）． 设直线l的解析式为y＝kx， ∵经过点D（6，﹣8）， ∴6k＝﹣8， ∴k＝﹣， ∴直线l的解析式为y＝﹣x， ∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点， ∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3＝﹣4， ∴点E坐标（3，﹣4）； （2）抛物线上存在点F，连接FC，FE．则有|FC﹣FE|≤CE． 当点F为直线CE与抛物线交点时（不与点C重合），FC﹣FE＝CE，此时|FC﹣FE|值最大． 设直线CE解析式为y＝kx﹣8，点E的坐标为（3，﹣4）， ∴3k﹣8＝﹣4， ∴k＝， ∴直线CE解析式为y＝x﹣8， ∵抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣8， 联立解得，（舍去），， ∴点F为直线CE与抛物线交点时（不与点C重合），|FC﹣FE|值最大．此时F； （3）①如图1，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形． ∵点E坐标（3，﹣4）， ∴OE＝＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H． ∴， ∴OM＝OE＝5， ∴点M坐标（0，﹣5）． 设直线ME的解析式为y＝k1x﹣5， ∴3k1﹣5＝﹣4， ∴k1＝， ∴直线ME解析式为y＝x﹣5， 令y＝0，得x﹣5＝0，解得x＝15， ∴点H坐标（15，0）， ∵MH∥PB， ∴，即， ∴m＝﹣， ②如图2，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形． ∵当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣8＝﹣8， ∴点C坐标（0，﹣8）， ∴CE＝＝5， ∴OE＝CE， ∴∠1＝∠2， ∵QO＝QP， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴CE∥PB， 设直线CE交x轴于N，解析式为y＝k2x﹣8， ∴3k2﹣8＝﹣4， ∴k2＝， ∴直线CE解析式为y＝x﹣8， 令y＝0，得x﹣8＝0， ∴x＝6， ∴点N坐标（6，0）， ∵CN∥PB， ∴， ∴， ∴m＝﹣． ③OP＝PQ时，显然不可能，理由， ∵D（6，﹣8）， ∴∠1＜∠BOD， ∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP， ∴∠PQO＞∠1， ∴OP≠PQ， 综上所述，当m＝﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形． 4．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∴m＝﹣4． ∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴m2﹣4n＝0． ∴n＝4． （2）∵m＝﹣4，n＝4， ∴y＝﹣x2﹣4x﹣4． ∴y＝﹣（x+2）2． ∴抛物线C的解析式为　y＝x2﹣1． （3）假设点D存在，设D（a，b）． 作DH⊥y轴于点H，如图； 则DH＝|a|，BH＝|b﹣1|． 由△DPB为等边三角形， 得Rt△DHB中，∠HBD＝60°． ∴． ∴． ∴a2＝3（b﹣1）2． ∵D（a，b）在抛物线C上， ∴b＝a2﹣1． ∴b＝3（b﹣1）2﹣1． ∴b＝2或． ∴或． ∴满足条件的点存在，分别为． 5．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）（2，﹣3）或． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c， 得， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将B（3，0），C（0，﹣3）的坐标代入y＝kx+m， ， ， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3． 设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3）（0＜n＜3）， ∴PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n． 当PM＝MC时，则， ∴， ∵n≠0， ∴，即， ∴，则点P的坐标为， 当PM＝PC时， ∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°． ∵PH⊥AB， ∴∠BMH＝∠CMP＝45°， ∴PM＝PC时，△PCM为等腰直角三角形PC∥x轴，则PC＝n， ∴n＝﹣n2+3n， 解得n＝0（舍去）或n＝2， ∴点P的坐标为（2，﹣3）． 综上所述：点P的坐标为（2，﹣3）或． 6．【答案】（1）45°+α； （2）DG∥CF， 理由如下：如图2，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°， ∵CG⊥AF， ∴∠CGA＝∠ADC＝90°， ∴点A，点D，点G，点C四点共圆， ∴∠AGD＝∠ACD＝45°， ∵AB＝BF，∠ABF＝2α， ∴∠AFB＝＝90°﹣α， ∴∠AFC＝135°， ∴∠CFG＝45°＝∠DGA， ∴DG∥CF； （3）． 【解答】解：（1）如图1，连接BF， ∵点A关于直线BE的对称点为点F， ∴AB＝BF，BE⊥AF， ∴∠ABE＝∠EBF＝α， ∴∠CBF＝90°﹣2α， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC， ∴BF＝BC， ∴∠BCF＝＝45°+α； （2）DG∥CF， 理由如下：如图2，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°， ∵CG⊥AF， ∴∠CGA＝∠ADC＝90°， ∴点A，点D，点G，点C四点共圆， ∴∠AGD＝∠ACD＝45°， ∵AB＝BF，∠ABF＝2α， ∴∠AFB＝＝90°﹣α， ∴∠AFC＝135°， ∴∠CFG＝45°＝∠DGA， ∴DG∥CF； （3）∵BE＞AB， ∴BH＞BF， ∴BH≠BF； 如图3，当BH＝FH时，过点H作HN⊥BF于N， ∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH， ∴△ABE≌△CBH，∠EBH＝90°＝∠ABC， ∴AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC， ∴∠HBF＝90°﹣α， ∵BH＝FH，HN⊥BF， ∴BN＝NF＝BF＝AB，∠BNH＝90°＝∠BAE， ∴∠BHN＝α， ∴∠ABE＝∠BHN， ∴△ABE≌△NHB（ASA）， ∴BN＝AE＝AB， ∴BE＝＝AE， ∴sinα＝＝， 当BF＝FH时， ∴∠FBH＝∠FHB＝90°﹣α， ∴∠BFH＝2α＝∠ABF， ∴AB∥FH， 即点F与点C重合，则点E与点D重合， ∵点E在边AD上（不与端点A，D重合）， ∴BF＝FH不成立， 综上所述：sinα的值为． 7．【答案】（1）y＝； （2）P的坐标是（6，﹣7）； （3）当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝； 【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝， ∴根据抛物线的两点式知，y＝． （2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2． ∴＝＝2， ∵∠AOC＝∠COB＝90°， ∴△AOC∽△COB， ∴∠ACO＝∠CBO， ∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°， ∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°， 设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形， ∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①， 又∵P在抛物线上， ∴②， 联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7， ∴点P的坐标是（6，﹣7）． （3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，）， 则H（a，），PH＝， 若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO， ∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2， ∴AQ1＝2PQ1， 即a+1＝2（）， 解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝． 若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M， ∴∠PFH＝∠PHF， ∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF， ∴∠CFA＝∠Q1HB， 又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°， ∴△ACF∽△BQ1H， ∴CF＝AC＝， 在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝， F（1，）， ∴AF：， 将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去）， 此时 PH＝． 若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见图）， ∵∠CAF+∠CFA＝90°， ∠PAQ+∠HPF＝90°， ∠CFA＝∠HFP＝∠HPF， ∴∠CAF＝∠PAQ1， 即 AP平分∠CAB， ∴CE＝CA＝， ∴E（，2）， ∴AE：， 联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）． 此时 PH＝． ∴当FP＝FH时，PH＝； 当PF＝PH时，PH＝； 当HF＝HP时，PH＝； 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/1 16:41:23；用户：梁爱波；邮箱：438137935@qq.com；学号：1076251 1 学科网（北京）股份有限公司 $