第4章 第6节 平行弦与相交弦-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

12.解析：(1)△APQ是等腰三角形，AQ=tcm. 第6节平行弦与相交弦 (2)如图，当点E与点C重合时，.PQ=AQ=tcm, 1.解析：由xA·xC=xB·xE,得xE=一 1 3m,(xA- QE=PQ=t cm,:2t=3, 3 0)(xc-0)=-3-yP,(xE-0)(xc-0)=-3-yF, 代人得n=1-3,yg=号n-3,OP=m一3， 1 FP=yEyp=3m2 m-3m(m3),.m OP=3· C(E) 2.解析：(1)y=-x2十2x十3(2)点Q轨迹为直线 ③)①当0<1≤多时，点E在线段AC上，S=SAPOE x-》,可得QD+QE的最小值为3V压 3.解析：(1)证明：，(2a+4)2-4(a2+4a)=16>0, 只，②当号<！≤2时，点E在AC的延长线上，记 ∴不论a为何值，该二次函数图像与x轴总有两个公 PE与BC交于点F,∴S=S△s-SACEF,由题意得共点.(2)由题意得a=-1,即y=-x2+2x十3，则 CE=AE-AC=(2t-3)cm,CF=√3CE=√3(2t- D(2,3),M(1,3),设E(m,-m2+2m+3),F(n, -n2+2n十3)，l那：y=k(x-1)十3，联立方程-x2+ 3)cm Sacm-CE CF(23), 2x+3=k(x-1)十3，即x2+(k-2)x-k=0,∴.m+ n=-k+2,mn=-k,.m+n=mn+2.由C(0,3)、 E(m,-m2十2m十3)得Lce:y=(-m+2)x+3,由 t≤4时，PC=PD+CD=√3t-2V3+√3=√3t-√3，D(2,3)、F(n,-n2+2n+3)得lnr:y=-nx+2n+ CQ- PC=1-1,S-SANO-2CQ.PC- 3,联立方程（一m+2)x+3=一nx+2n+3,解得x= 2,代人ley=(-m+2)x+3得y=（-m+ 号154-1》-a-1,综上所述，S关于： 2- 2 2)·2一m +3=5,点P在直线y=5上，即点P在 (o<引， 一条定直线上 的函数表达式为S= 75+6a99(g<2, 2u-1)2(2<≤4. 0 4.解析：联立方程一x2=kx一3，即x2+x一3=0，记 点A、B的横坐标分别为m、n,则mn=一3，由题意得 点B'(-n,一n2),A(m,一m),设lAB:y=px十q,联 图1 图2 图3 立方程-x2=x十q,即x2十px十q=0,∴.q=x1· 中考数学压轴题得高分 ·31 x2=m·(-n)=3,.直线AB'过定点(0,3). =-+8.@若cD=cB,则 3 第5章特殊图形存在性问题 1 1 第1节等腰三角形存在性问题 +t+3-2+3 =3，解得t1=2,t2=0(舍去)， 2 1.解析：(1)y=x2+2x-3.(2)(-1,√14)或 （-1,-√14)或(-1，-3+√17)或(-1，-1) D2,,若EC-ED,则写：- +,解得 2.解析：(1)将(4，一3)和(0,1)代入抛物线的函数表达t1=6-25,t2=0(舍去)，∴.D(6一2√5,4√5-5)；若 1 16a+c=-3, 式得 解得 口=一4’：抛物线的函数 DC=DE,则2+(-+)°=(-寻2+)，解 c=1, c=1, 得1=1：=0（会去）D(1,)综上所述，点D的 表达式为y=一 广4x2十1，(2)①若AB=AP,如图 坐标为2,4或(6-25,45-5)或1，) 1,抛物线的对称轴为y轴，∴.当点B与点P关于 y轴对称时，可得AB=AP,点B的坐标为（一4,4.解析：由题意得Am,m+m)B(0,m)小、 -3);②若BA=BP,如图2，则点B在线段AP的垂 直平分线上，取AP的中点M,则点M的坐标为(2， C(m)mAC 3m3+ -1),过点M作MN⊥AP交y轴于点N,易得 3m,BC2=4, 1 ∠MAN=45°，.△AMN是等腰直角三角形， m.①若AB=AC,则号m*+m2= .AN=√2AM=4,.点N的坐标为(0，-3)，.直线 4加 1 m,解得m:-2m,=0(合去： 3n3+1 MN的函数表达式为y=x-3,联立方程-子x+1 ②若BA=BC,则子十m=音m,解得m-名 3’ x-3,解得x1=-2+2√5，x2=-2-2√5，.点B的 2w 坐标为(-2+2W5,-5+2W5)或(-2-2W5,-5- m2=- 3(舍去)，m:=0(舍去)；③若CA=CB,则 4m 2W5).综上所述，点B的坐标为（一4，一3）或（一2十1 3m3+1 3n,解得m1=23 m2 3n2 2√5，-5+2W5)或(-2-2√5，-5-25) -25,m:=0(含去).综上所述，m的值为2 3或 -2√3. 图 图2 第2节直角三角形存在性问题 1.解析：(1)将(8,0)代入抛物线的函数表达式得 3.解析：(1)y=- 4x2+x+3。(2)①由题意得B(6, 64如+22-6=0，解得a=一号，抛物线的函数表达 0.C0,3)D(,-++3lcy=-2x+ 式为y=名女2+号6，令-+-6=0，解 3,E,-2+3）DE=-4++3-(-2+ 得x1=3,x2=8,t=3.将(8,0)代人直线的函数表达 中考数学压轴题得高分 ·32·以壹学知道中考数学压轴题得高分心 第6节 平行弦与相交弦 连接抛物线上两点的线段称为抛物线的弦，若两条弦平行或相交，则构成两条线的四个点之间 有什么样的联系？本节探讨平行弦与相交弦的点坐标之间的关联 》知识导航 2n2-2m-6)得直线CN的函数表达式为y= 彦1.平行弦 (-2)x-6.联立方程(m+2)(x-6)= (2n-2）x-6,将n=6-m代入得mx=3m, 1 ®例1刀(2023·湖北改编)如图，在平面直角 坐标系x0中，已知抛物线y=2-2x-6 x=3,∴.点P的横坐标是定值3. 法2：如图，取BC的中点Q,连接PQ交直线1 与x轴交于点A(-2,0)、B(6,0),与y轴交于 于点T..MN∥BC,∴.△PNT∽△PCQ, 点C,顶点为D,连接BC.若动直线1与抛物线 交于M、N两点（直线l与BC不重合），连接 △wT∽△Ps0.8沿-Gg-PG CN、BM,直线CN与BM交于点P.当MN∥ BC时，点P的横坐标是否为定值？请说明 8活-话-8-1，即T是aw的 理由. 中点.设直线l的函数表达式为y=x十b.联立 方程2r-2x-6=x十6，整理得x-3x 6-6-0.M+=6x3 又：0=时c=3,且点P、T,Q共线， 2 ∴.xp=3. C解析法1：由题意得直线BC的函数表达式 为y=x一6，设直线1的函数表达式为y=x十 b,联立方程2x2-2x一6=x十b,整理得 z2一3x一6-b=0,设点M的横坐标为m, N的横坐标为n,由根与系数的关系得m十n= 模型归纳 6.由B(6,0),M(m,2m2-2m-6)得直线BM 平行弦：点A、B、C、D在抛物线y=ax2十 1 的函数表达式为y=2(m十2)(x一6)，即y= bx十c(a≠0)上，且AB∥CD,则xA+xB= xc十xD. 2(m+2x-3m=6;由C(0,=6、Nm 证明：如图，以a>0为例，设AB的表达 148 第4章 二次函数 式为y=kx十m,CD的表达式为y=kx十n, xA:xD,设直线AE的表达式为y=k1x十m, xB·xE 联立方程ax2十bx十c=kx十m,即ax2十 直线BD的表达式为y=k2x十m,联立方程 (b一k)x十c一m=0,由根与系数的关系得 -x2+2x+3=k1x+m,即x2+(k1-2)x十 xA十xB= b一k ;同理可得xc十xD= m一3=0，由根与系数的关系得xA·xE=m一 a 3;同理可得xB·xD=m一3，.xA·xE= b-k .∴.xA十xB=xC十xD. 0 ，0=2=一3，。= B xA·xD1 xB·xE 9 $模型归纳 相交弦：如图，已知抛物线y=ax2(a>0), 思考：若xA·xB=xC·xD,则抛物线上 P(0,n)是y轴正半轴上一点，点A、C在第 的点A、B、C、D满足什么样的关系？ 二象限的抛物线上，连接AP并延长，交抛物 线于点B,连接CP并延长，交抛物线于点 2.相交弦 D,则xA·xB=xC·xD ®例2(2024·南充)已知抛物线y=-x2+ bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0). (1)求抛物线的表达式. (2)如图，抛物线与y轴交于点C,P为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA、PB分别交 抛物线于点E、D,设△PAD的面积为S1, △PBE的面积为5水等的位。 C解析设直线AB的表达式为y=k1x十n, 直线CD的表达式为y=2x十n,联立方程 ax2=k1x十n,即ax2-k1x-n=0,.xA· }xcB=二；同理，xc·xD二二a·xA· a D xB=xC·xD. B 思考：xA·B=xc·cD三一。有什么几何 ○解析(1)y=一x2+2x+3. 意义？ (2)由题意得S,-2PA·PD·sin∠APD, C解析：xA·xB=-”,a·(-xA)· S1 S:=7PB·PE·sin∠BPE, xB=n,分别过点A、B作y轴的垂线，垂线 S2 段的长度分别记为h1、h2,则OP=a|· PA·PD=PA.PD=一xA· 一xD PB·PE=PE·PB= h1·h2. TE 149 以壹学知道中考数学压轴题得高分m xB),将x=x0代入，得f(xo)一g(xo) a(xo-xA)(xo-xB). 几何意义：过点P作x轴的垂线，交抛物线于 点Q,分别过点A、B作直线PQ的垂线，垂 A阳 线段的长度分别记为h1、h2.则PQ= |f(xo)-g(xo)|,h1=|x0-xA|,h2= 变式：如图，若点P不在y轴上，结论“xA· |xo-xB,∴.PQ=|a·h1·h2. xB=xc·xD”还成立吗？ y h B 探究：连接AQ、BQ,求△ABQ的面积. C解析设点P坐标为(p,q),直线AB的表 B 达式为y=k1(x一p)十q,直线CD的表达式 为y=k2(x-p)十q,联立方程ax2=1(x )十q,整理得ax2-k1x十1p-q=0, xA十xB=, 。xA·xB=19 1 ..A" a 探究：由铅垂法可知S△40= PQ·lxA-xB, xB=p(xA十xB）一9，整理得a(xA 又PQ=a|·h1·h2=al·|xA-xa· p)(xB-p)=ap2一q;同理可得a(xc p)(xD-p)=ap2-q.可得(xA一p)(xB xB)(xB-ZA). p)=(xc-p)(xD一p). ®例3(2023·武汉)抛物线C1:y=x2- 归纳：已知抛物线f(x)=ax2十bx十c,过定 2x一8交x轴于A、B两点（点A在点B的左 点P(xo,yo)的直线g(x)=mx+n与抛物 边)，交y轴于点C. 线交于A、B两点.则f(xo)一g(xo)= (1)直接写出A、B、C三点的坐标. a(xo-xA)(xo-xB). (2)如图，将抛物线C1平移得到抛物线C2,其 顶点为原点.直线y=2x与抛物线C2交于O、 G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直 线OG)交抛物线C2于M、N两点，直线MO 与直线GN交于点P.问：点P是否在一条定直 C解析当f(x)一g(x)=0时，可得x=xA 线上？若是，求出该直线的表达式；若不是，请 x=xB,..f(x)-g(x)=a(x-xA)(x- 说明理由 150M )第4章 二次函数 模型归纳 探究：如图，当P(0,n)是y轴正半轴上一点 时，连接CA并延长，与BD的延长线交于点 Q,试求点Q的轨迹. C解析(1)A(-2,0)、B(4,0)、C(0,-8). D (2)由题意得C2:y=x2,令x2=2x,解得x1= 0,x2=2,∴.G(2,4),H(1,2),设M(m,m2), N(n,n2),直线MN的表达式为y=k(x 1)十2，令x2=k(x一1)+2，整理得x2一kx+ k-2=0,.m十n=k,mn=k-2,即mn=m十 C解析由题意得xA·xB=xc·xD=一” n-2,∴.m=mn-n+2,由M(m,m2)、O(0,0) 由A(xA,ax异)C(xc,ax是)得直线AC的表 得直线MO的表达式为y=mx;同理得直线 达式为y=a(xA十xc)x一a.xAxc;同理得直线 GN的表达式为y=(n+2)x一2n.联立方程 BD的表达式为y=a(xB十xD)x一axBXD.令 m.x=（n+2)x-2n,得x= 2n a(xA +xc)x-axAxc=a(xB+xD)x- n-m+2 2n n-(mn-n+2)+2=2-m,代人y=mx得 2 a.BxD,解得xQ= xAxC一xBCD一，代人直 xA十xC-xB-xD 20=20件1-2十2y 线AC的表达式得ya=一n.'.点Q的轨迹为 y=2-m 2-m 直线y=-n. 2x-2,即点P在定直线y=2x-2上. 推广：若P(m,n),得点Q的轨迹为直线y= 2amx-n. 151 以壹学知道中考数学压轴题得高分心 》真题演练 1.(2022·武汉)抛物线y=x2一2x一3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），C是第一象限抛 物线上一点，直线AC交y轴于点P.直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C 「的横坐标为m求的值.（用含m的式子表示） B 2.(2024·淄博改编)如图，抛物线y=ax2十bx十3与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点（点A在 点B的左侧)，其中x1、x2是方程x2一2x一3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C. (1)求该抛物线对应的函数表达式. (2)已知直线l:y=3x+9与x轴、y轴分别相交于点D、E.过抛物线上一点M作直线BC的平 行线，与抛物线相交于另一点N.设直线MB、NC相交于点Q.连接QD、QE.求线段QD+QE 的最小值 AO 1521 C)第4章 二次函数 3.(2024·日照改编)已知二次函数y=一x2十(2a十4)x一a2一4a(a为常数). (1)求证：不论a为何值，该二次函数图像与x轴总有两个公共点. (2)若二次函数图像的对称轴为直线x=1,该函数图像与x轴交于A、B两点（点A在点B左 侧)，与y轴交于点C.点C关于对称轴的对称点为D,M为CD的中点，过点M的直线1（直 线L不经过C、D两点)与二次函数图像交于E、F两点，直线CE与直线DF相交于点P.求 证：点P在一条定直线上. B 4.(2022·成都改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx一3(k≠0)与抛物线y=一x2相 交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'.试探究直线AB是否经过某 一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 备用图 153