第2章 第6节 从全等到相似-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分心 第6节 从全等到相似 当旋转和相似三角形结合，又会碰撞出什么样的火花？本节内容从旋转相似的基本性质说起， 探究问题的变化， 》知识导航 CA =1CD CB m =CE,又'∠ACD=90° ∠ACE=∠BCE,∴.△CDA∽△CEB, ≥1.从全等到相似 ∴∠CAD=∠CBE,记直线BE与AD交于点 H,则∠CAD+∠AHE=∠CBE+∠BCA, ®例1(2023·黄冈)【问题呈现】 ∴.∠AHE=∠BCA=90°，.AD⊥BE. △CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB= (3)当点E在线段AD上时，连接BE,如图1， ∠DCE=90°，CB=mCA,CE=mCD,连接 设AE=x,则AD=AE+DE=x+4,由(2)可 AD、BE,探究AD、BE的位置关系。 【问题探究】 知△nCAn△BCB,÷E- =m=3, (1)如图1，当m=1时，直接写出AD、BE的位 ∴.BE=√3AD=3x+4√3，由(2)可知BE⊥ 置关系： AD,∴.∠AEB=90°，∴.AE2+BE2=AB2,即 (2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？ x2+(3x十43)2=(4√7)2，解得x=2或 若成立，给出证明；若不成立，说明理由 【拓展应用】 x=一8（舍去），此时BE=6√3；当点D在线段 AE上时，连接BE,如图2，同理可求得BE= (3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE √3AD=4√3.综上所述，BE的长为6√3或4√3. 绕点C旋转，使A、D、E三点恰好在同一直线 上，求BE的长 图 图2 图1 图2 《模型归纳 在手拉手模型中，两个顶角相等的等腰 三角形是一组旋转相似的三角形，分别连接 B 长边与短边，可得一组旋转型全等， 备用图 如图，△ABC和△ADE均为等腰三角 C解析(1)AD⊥BE 形，且∠BAC=∠DAE,连接BD、CE,则有 (2)成立.理由如下：CB=mCA,CE=mCD, △ADB≌△AEC. 68X 第2章 几何变换 ○解析：∠ABC=90°，AB=8,BC=6, ∴.AC=10..DE∥BC,.△ADE∽△ABC, AB ∠BAC,.∠EAC=∠DAB,∴.△DAB∽ B △EAC.是-AC-i05 BD AB 8 4 变化条件，若△ABC与△ADE不是等 腰三角形，但△ABC△ADE,则可由旋转 彦2.旋转相似的构造 相似得第二组旋转相似. 如图，△ABC∽△ADE,连接BD、CE ®例3(2023·兰州改编)如图，在正方形 可得：△ADBp△AEC. ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点 H,点M在CH上，且AH=HM,连接AM、 BH,用等式表示线段CM与BH的数量关系： B 且旋转的性质“旋转角都相等”依然成 立，如图，延长BD交CE于点P,则∠BPC= ∠BAC=∠DAE. B C解析如图，连接AC,由题意得△AHM是等 腰直角三角形，∴.△AHM∽△ABC,可得 B △AHB∽△AMC,BH-AB=2,即CM= ®例2(2023·常德)如图1，在Rt△ABC √2BH. 中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,D是AB上 一点，且AD=2,过点D作DE∥BC交AC于 点E,将△ADE绕点A顺时针旋转到图2的位 置则图2中 CE的值为 A D H 图1 图2 69 以壹学知道中考数学压轴题得高分m● 》真题演练 1.(2018·河南)问题发现 (1)如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°，连接AC、BD交 于点M. ⑦部的位为 ②∠AMB的度数为 类比探究 (2)如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交 BD的延长线于点M求S的值及∠AMB的度数，并说明理h。 拓展延伸 (3)在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M,若OD=1, OB=√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长. M M D B 图1 图2 备用图 70M )第2章 几何变换 2.(2023·广元)如图1，已知线段AB、AC,线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC,以BC 为边在BC上方作Rt△BDC,且∠DBC=30° (1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE,且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接 DE,用等式表示线段AC与DE的数量关系是 (2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB,AB=4,AC=2,求BC的长. (3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4,AC=2,当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值. D D B 图 图2 图3 3.(2021·武汉)问题提出 如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内 部，直线AD与BE交于点F线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 (1)先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示AF、BF、CF之间的数 量关系 (2)再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明(1)中的结论仍然成立. 问题拓展 (3)如图3，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC,EC=DC(k是常数)，点 E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间 的数量关系. 图1 图2 图3 7四(3)总成本为a·PA+a·PB+√2a·PC=a·3√3. (PA+PB十√2PC),如图，构造等腰直角三角形 C(M PCP',则PP'=√2PC,作CA'⊥CA且CA'=CA,则 C(0 △CPA≌△CP'A',∴.AP=A'P',∴.PA+PB+ 图 图2 √2PC=P'A'+PB+PP'≥BA',过点A'作A'H⊥ BC交BC的延长线于点H,,∠A'CH=180°-60°- 2.解析：1DAC3DE(2)BC=2√7(3)如图， 9030AA'c-2 km,CH-3AH- 在AB下方构造Rt△ABE,其中∠E=90°，∠ABE= 30°，则△BEA∽△BCD,连接EC,可得△BEC∽ 2√3km,.BH=4√3km,.BA'=√BH2+AH= 2√13(km),.总铺设成本最低为2√13a元. △BAD六铝-胎-后-复当8C是大时， AD最大，当E、A、C三点共线时，EC取到最大值，过 点C作CH⊥BA交BA的延长线于点H,则AH=1, CH-5..an /CBA 第6节从全等到相似 1.解析：(1)①1②40°(2)∠AOB=∠COD= 90°，∠OAB=∠OCD=30°，∴.△AOB∽△COD, 82-88:8-080又：∠400-90- 3.解析：(1)BF=AF+√2CF.(2).BC=AC, EC=DC,∠BCE=90°-∠ACE=∠ACD,∴.△BCE ∠AOD=∠BOD,△AOC∽△BOD,.S-8B=h ≌△ACD(SAS),∴.∠EBC=∠DAC.过点C作 N3,∠OAC=∠OBD.∠AMB+∠OAC=∠AOB+ CG⊥CF交BF于点G,则∠BCG+∠GCA=90°= ∠0BD∠AMB=乙A0B=50合S的值为， ∠GCA+∠ACF,.∠BCG=∠ACF,又BC=AC, ∠GBC=∠FAC,.△GBC≌△FAC(ASA),∴.GC= ∠AMB的度数为90°.(3)如图1，可证△OCA∽ FC,即△CFG是等腰直角三角形，∴.BF=BG+GF= △ODB,设BD=x,则AC=√3x,.OD=1,.CD= AF+√2CF. 2,OB=√7，AB=2√7.在Rt△ACB中，(2+ x)2十(W3x)2=(2√7)2，解得x=2或x=-3(舍去)， ∴.AC=2√3.如图2，由题意得△OAC△OBD,设 G BC=x,则BD=2十x,AC=√3(2+x),又，AB= (3)如图，过点C作CQ⊥CF交BF于点Q,可得 2W7,.x2+3(x十2)2=(2√7)2，解得x=1或x=-4 (舍去)，.AC=3√3.综上所述，AC的长为2√3或 △CQB△CFA,8器-8C-,即BQ-k·AF, 中考数学压轴题得高分 ·16· 在R△CFQ中，CQ-&CF,QF=VT,CF,则EM=DN=8-,SAE=2x·(8-x) .BF=k·AF+√R2+1·CF 2x2十4x,当x=4时，SADe取到最大值8. 1 第3章几何模型 D 第1节K字型与一线三等角模型 6.一2+2√5解析：过点A作x轴的垂线，垂足为C, 1.(-4,8) 过点B作AC的垂线，垂足为D,则△AOC≌△BAD, 2.D解析：a+b=AB十BC=AC<ED=c,故结论∴.AC=BD=2,AD=OC=m,.点B的坐标为(m十 ①正确；a+b=AB+AE>BE=√a2+b,故结论②2,2-m),.2m=(m+2)(2-m),解得m1=-1十 正确：a十6-AB十AE>BE=BDE=臣c, √5，m2=-1-√5（舍去），.k=2m=2×(-1+ 2 2c, √5)=-2+2√5. ∴√2(a十b)>c,故结论③正确.综上所述，所有正确结 7.解析：(1)4√2(2)√2(3)证明略(4)①当点F 论的序号是①②③， 在△ABC内时，延长EF交BC于点M,若点E到BC 36解折：由短张得△CDE△EA,小架器·的距商是点F到C距商的：解，熙古 EM2,由题意 设BC=r,则DE=r-3,CD=AB=r十1，代人得 字3，解得=5CD=十1=6. 得△DAEn△EBM.小能-需=名，BE 3 2AD=4,.AE=AB-BE=4√2-4；②当点F在 4.B解析：由题意得当点E与点A重合时，DF= DB=2-.aD分∠BC品指-方 △ABC外时，记EF交边BC于点N,可得 FN=2,由 题查得△DAE△FBN小记-B5-多：BE CD-号BD=反-1BC=2-E+6w5-1)=1. 号AD-号AE=AB-BE-4-合综上所述， ∠CEF=45°=∠BAC=∠ABC,可得△AEC∽ △BFE,部-E代人得2= 1 AE的长为42-4或42- Γ31 2-√2-y√2-x y=-区十2-厄，当红-时y-8厄 该图很上最低点的坐标为停，号一) 8.解析：（1)由题意得△CBMp△MEH,. BC EM 5.8解析：如图，分别过点C、E作BA的垂线，垂足 BM 分别为N、M.由题意得△DNC≌△EMD,由 EH,设BM=x,则EM=BE-BM=10-x,代人得 Sin∠ABC=Cd=,得CN=4,BN=8.设BD=x, 2一=工 10-x-12,解得x1=4,x2=6,点M与点B之间 中考数学压轴题得高分 ·17