第4章 第5节 动点与函数-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分● 第5节 动点与函数 动态问题伴随初中始终，从坐标系中的动点，到几何图形中的动点；从探究线段之间的关系，到 探究面积的变化.本节介绍常见的关于动点的题型及解题思路. PH_1 》知识导航 BC=2,又BP=10-4=6(cm),AB= 12cm,即n=12. 彦1.动态过程分析 B 令例1(2025·湖北)如图1，在△ABC中， ∠C=90°，BC=4cm,AB=ncm.动点P、Q均 以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折 线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点 号思路归纳 A运动.当点Q运动到点A时，两点都停止运 在此类问题中，既要关注动点的运动方 动.△PCQ的面积S(单位：cm)与运动时间 式，也要学会解读图像，一般思路如下： t(单位：s)的关系如图2所示. (1)确定函数关系中两个变量的实际 (1)m= 意义； (2)n= (2)将动点的运动过程与函数图像对应； B (3)利用特殊点的坐标计算求值. ≥2.面积计算 图1 例2(2023·绥化)如图，在菱形ABCD S/cm2 中，∠A=60°，AB=4,动点M、N同时从点A 10 出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿折线 m A一B一C向终点C运动，点N以每秒1个单 位长度的速度沿线段AD向终点D运动，当其 中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设 4 10t/s 图2 运动时间为xs,△AMN的面积为y个平方单 位，则下列可以正确表示y与x函数关系的图 C解析当t=4s时，CP=CQ=4cm,.m= 像是 2×4X4=8:当110s时，如图，CQ=10cm B 过点P作PH⊥AC交AC于点H,则S= AP ?CQ·PH=10,解得PH=2cm,AB 140 第4章 二次函数 y 43 43 分析图形存在哪些可能的位置，分类讨 论不同位置下的图形面积或重叠部分面积. 23 2W3 ®例3(2025·广元)如图1，有一水平放置 的正方形EFGH,D为FG的中点，等腰三角形 0 0 2 4x ABC满足顶点A、B在同一水平线上且CA= A B CB,点B与HE的中点重合.等腰三角形ABC y↑ 以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运 4V3 4V3 动，当点B运动到点D时停止.在这个运动过 程中，等腰三角形ABC与正方形EFGH重叠 23 2V3 部分的面积y与运动时间t(s)之间的对应关系 如图2所示，下列说法错误的是 () 0 2 4x 2 4x C D ○解析如图1，当0<x≤2时，y= 2. B 3x=3 z2,排除CD选项； E B 图1 图1 如图2，当2≤4时y=·25=5z,排 2 6 t/s 图2 除B选项. A.AB=4 B B.∠ACB=90° 1 C.当0≤t≤2时，y= D 图2 D.△EFD的周长为9+5√3 综上可知，可以正确表示y与x函数关系的图 ○解析由图像经过点(2,2)可知：2AB=2, 像是A. ≤模型归纳 2 SAABC=2,即AB=4,且△ABC是等腰直角 在动点背景下，一类常见问题是求与动 三角形，故A、B、C选项不符合题意；由图像可 点相关的几何图形面积，另一类是求两个图 得EF=FG=6,∴.C△EFD=6+3+3√5=9十 形的重叠部分面积. 3√5，故D选项符合题意. 14T 么壹学知道中考数学压轴题得高分● 接EF,又由题意得AD=BE,则△DAC≌ ≥3.函数图像与最值 △EBF(SAS),∴.EF=DC,.y=AE+CD= ®例4(2021·武汉)如图1，在△ABC中， AE十EF≥AF,当A、E、F三点共线时，y取 AB=AC,∠BAC=90°，边AB上的点D从顶 得最小值，过点A作AH⊥FB交FB的延长线 点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点 于点H, AHP，代人得E BE FB ，解 E从顶点B出发，向顶点C运动，D、E两点运 √2 2 + 动速度的大小相等，设x=AD,y=AE+CD, y关于x的函数图像如图2所示，图像过点(0， 得BE=√2一1，∴.图像最低点的横坐标是 2),则图像最低点的横坐标是 √2-1. Ho D B白 E 2 图1 图2 C解析过点B作BF⊥BC且BF=AC=1,连 1420 )第4章 二次函数 》真题演练 1.(2024·长沙)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=30°，E是边BC上的动点，连接AE、DE,过 点A作AF⊥DE于点F.设DE=x,AF=y,则y与x之间的函数表达式为（不考虑自变量x的 取值范围) () A.y=9 B.y=12 18 C.y= D.y=36 2.(2023·南通)如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=15,BC=20.点D从点A出发沿折线A-C-B 运动到点B停止，过点D作DE⊥AB,垂足为E.设点D运动的路径长为x,△BDE的面积为y, 若y与x的对应关系如图2所示，则a一b的值为 () W D 10 25 35x 图1 图2 A.54 B.52 C.50 D.48 3.(2023·河南)如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再 PB 从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PCy,图2是点P运动时y随x变化的 关系图像，则等边三角形ABC的边长为 () A(P) 23 43x 图1 图2 A.6 B.3 C.43 D.23 4.(2025·浙江)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图 1,点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ= x(单位：km)(0≤x≤n),PQ=y(单位：km).如图2，y关于x的函数图像与y轴交于点C,最 143 么壹学知道中考数学压轴题得高分一 低点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列说法正确的是 225 D P B m 图1 图2 A.m=12 B.n=24 C.点C的纵坐标为240 D.,点(15,85)在该函数图像上 5.(2025·南通)如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D、E、F,使AD=BE=CF.若 AB=4,AD=x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图像大致为 ) D F B E 43 43 43 43 3 3 4 O O 4x A B D 6.(2023·遂宁)如图1，在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8.P为线段AB上的动点，以每秒1个 单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M,作PN⊥BC 于点N,连接MN,线段MN的长度y与点P的运动时间t(单位：s)的函数关系如图2所示，则 函数图像最低点E的坐标为 () d E M 10x B 图1 图2 A.(5,5) B(6, /3224 C.(55 D.() 1441 )第4章 二次函数 7.(2023·烟台)如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A 后停止.设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图像，其 中F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 →G 81215 图1 图2 8.(2025·武汉)如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点.点P从点A出发，依次沿AB、BC两边 匀速运动，运动到点C时停止.设点P运动的路程为x,DP的长为y,y关于x的函数图像如图2 所示，其中M、N分别是两段曲线的最低点，则点N的纵坐标是 () B 20 15 8 D 图1 图2 A器 &9 C. n普 9.(2025·天津)在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm.动 点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以 1cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运 动.设运动的时间为ts.当t=2s时，点M、N的位置如图所示.现有下列结论：①当t=6s时， CN=DM;②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为26cm;③t有两个不同的值满足△BMN的 面积为39cm2.其中，正确结论的个数是 () M C A.0 B.1 C.2 D.3 10.(2024·济南)如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2,动点P以每秒1个单位 长度的速度从点B出发，沿折线BC一CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP.设点P的运动 时间为t(s),DP2=y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图像如图2所示.现有 以下四个结论：①AB=3,②当t=5时，y=1;③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC-CA 145 公壹学知道中考数学压轴题得高分● 匀速运动时，两个时刻t1、t2(t1<t2)分别对应y1和y2,若t1十t2=6,则y1>y2.其中正确结论 的序号是 B t/s 图1 图2 A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 11.(2023·江西)综合与实践 【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，CD=√2，动 点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在△ABC的边上沿C→B→A匀速运动，到达点 A时停止，以DP为边作正方形DPEF.设点P的运动时间为ts,正方形DPEF的面积为S,探 究S与t的关系， 【初步感知】 (1)如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t=1时，S= ②S关于t的函数表达式为 (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的 图像.请根据图像信息，求S关于t的函数表达式及线段AB的长. 【延伸探究】 (3)若存在3个时刻t1、t2、t3(t1<t2<t3)对应的正方形DPEF的面积均相等， ①t1十t2= ②当t3=4t1时，求正方形DPEF的面积. S 18 6 E D 4 图1 图2 146M ()第4章 二次函数 12.(2024·吉林)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm,AD是△ABC的角平分线.动 点P从点A出发，以，3cm/s的速度沿折线AD一DB向终点B运动.过点P作PQ∥AB,交AC 于点Q,以PQ为边作等边三角形PQE,且点C、E在PQ同侧.设点P的运动时间为t(s)(t>O), △PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm). (1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t 的代数式表示). (2)当点E与点C重合时，求t的值 (3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围. D P D A 147或315 2 图1 图2 9.解析：(1)y=-x+3.(2)由题意得N(m+2, -m2-2m十3)，P(1一m,-m2十4)，得kpN=-1= ePN/BC,-,DE分别是N. MP的中点，M(m,-m2+2m+3),.D(m+1, 一m2+3),将点D坐标代入直线BC得m2一m一1= 0解得m15成2 第5节动点与函数 1.C解析：S菱形ABcD=BC·AB·sinB=l8,S△AED= 2DE·AF=7y=25s=9,y-5 18 x 2.B 3A解析：当0<≤2，时，可得瓷-1，即点P在 线段BC的垂直平分线上，如图，当x=2√3时，点P 运动到点O位置，随后沿着OB运动到点B,由题意得 OB=OA=2√3，∴.AB=√3AO=6. 4.D 5.B解析：y=S△Ac-3S△D=4V3-3X 4-)-35-35zt45 6.C解析：连接CP,则CP=MN,当CP⊥AB时， 中考数学压 CP取得最小值，即MN的长度最小，此时y=CP= 兰-AP-号点E的坐标为(，) 24 7W3 1.2 解析：由题意得AB=8,BC=7,过点A作 AP⊥BC交BC于点P,可得BP=4,.AP=4W3. 1 1 ·S△ABc=2AB·CG=2BC·AP,AB·CG= BC.AP,8CG-7X4CG-73 21 8.B 9.C解析：当t=6s时，CN=6cm,DM=6cm, ∴.CN=DM,故①正确；当1≤t≤2时，CN=tcm, BN=(I6-)cm,BM=2acm,∴SAm=2BM· BN=2·2L·(16-t)=-t2+16t,当1=2时， △BMN的面积取得最大值28cm2,故②错误；当0≤ t≤4时，S△BMw=-t2+16t=39,解得t1=3,t2=13 (舍去)，当4<t≤9时，S△BN=2X(16-t)X8=39, 一名，故③正确，综上所述，正确的结论有2个。 解得t= 10.D 11.解析：(1)①3②t2+2（2)设函数表达式为S= a(t一4)2+2，当点P在点B处时，S=6,即BD2= BC2+CD2=6,∴.t2+2=6,解得t=2,∴.BC=2,抛物 线过点(2,6)，代入得4a十2=6，解得a=1,.S= (t-4)2+2,当S=18时，(t-4)2十2=18，解得t1= 8,t2=0(舍去)，∴.AB=8-BC=6.(3)①由题意得 1十t2=2,t1十t2=4.②由①得t十红=4， 2 :十=42十tg=8,又t-461,∴t2十41=8， 2 解得-手-8 此时S=+2=+2=,即 16. 正方形DPEF的面积是 轴题得高分 0· 12.解析：(1)△APQ是等腰三角形，AQ=tcm. 第6节平行弦与相交弦 (2)如图，当点E与点C重合时，.PQ=AQ=tcm, 1.解析：由xA·xC=xB·xE,得xE=一 1 3m,(xA- QE=PQ=tcm,∴2t=3,t=2 3 0)(xc-0)=-3-yp,(xE-0)(xc-0)=-3-yF, 代人得n=m-3,yg=号m-3,OP=m一3， FP-y-y-mm-(m-3). 1 OP=3· C(E) 2.解析：(1)y=-x2十2x十3(2)点Q轨迹为直线 3)①当0<≤时，点E在线段AC上，S=SAoe一 x-》,可得QD+QE的最小值为3V压 3.解析：(1)证明：，(2a+4)2-4(a2+4a)=16>0, 月，②当号<！<2时，点E在AC的延长线上，记 ∴.不论a为何值，该二次函数图像与x轴总有两个公 PE与BC交于点F,∴S=S△as-SACEF,由题意得共点.(2)由题意得a=-1,即y=-x2+2x十3，则 CE=AE-AC=(2t-3)cm,CF=√3CE=√3(2t- D(2,3),M(1,3),设E(m,-m2+2m+3),F(n, -n2+2n十3)，lF:y=k(x-1)+3,联立方程-x2+ 3)cmSacm-CE CF(23), 2x+3=k(x-1)+3,即x2+(k-2)x-k=0,∴.m+ n=-k+2,mn=-k,.m+n=mn+2.由C(0,3)、 E(m,-m2+2m+3)得lcs:y=(-m+2)x+3,由 t≤4时，PC=PD+CD=√3t-23十√3=√3t-√3，D(2,3)、F(n,-n2+2n+3)得lnr:y=-nx+2n+ CQ- PC=1-1,S-SAN0-CQ.PC- 3,联立方程（一m十2）x+3=一nx十2n+3,解得x= 2,代入ley=(-m+2)x+3得y=（-m+ 2- 1-5)4-1》-a-1,综上所述，S关于： 2 2)·2一m +3=5,点P在直线y=5上，即点P在 一条定直线上 的函数表达式为S= 75+6a99(g<2, 2t-1)(2<≤4. R 0 4.解析：联立方程一x2=kx一3，即x2十x一3=0，记 点A、B的横坐标分别为m、n,则mn=一3，由题意得 O C E 点B'(-n,一n2),A(m,一m),设lAB:y=px十q,联 图1 图2 图3 立方程-x2=x十q,即x2十px十q=0,.q=x1· 中考数学压轴题得高分 ·31·