第4章 第1节 二次函数的图像与性质-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

第4章 二次函数 第4章 二次函数 》》》 第1节 二次函数的图像与性质 函数图像是函数的表达形式之一，也是函数内容的重要组成部分，本节从二次函数的图像出 发，探究其基本性质及图像与系数的关系. 》知识导航 (1)若抛物线上存在不同的两点A(x1, y1)、B(x2,y2),且y1=y2,则A、B两点关于 彦1.对称性与增减性 对称轴对称，可得士=一名即对称轴 2 ®例1国(2023·福建)已知抛物线y=a.x2- 的另一种表达形式为直线x=2十x 2 2a.x+b(a>0)经过A(2m+3,y1)、B(n-1,y2) b 两点，若点A、B分别位于抛物线对称轴的两侧， x=-2a 且y1<y2,则n的取值范围是 ○解析由题意得抛物线开口向上，对称轴为直 线x=1,若点B在对称轴右侧，则n一1>1，得 n>2,则点A也在对称轴右侧，与题意矛盾， ∴.点B在对称轴左侧，点A在对称轴右侧，即 应用：抛物线与x轴交于A、B两点，对称 n-1<1, 轴为直线x=m,若点A的坐标为(a,0),由 解得-1<n<2.,y1<y2,∴.2n十 2n+3>1, xA十xB=m可得点B的坐标为(2m一a,0). 2 3-1<1-(n一1)，解得n<0.综上所述，n的取 x-m 值范围是一1<n<0. (2)若抛物线上存在不同的两点A(x1, 《知识归纳 y1)、B(x2,y2),且y1≠y2,如何比较y1与 抛物线是轴对称图形，对于y=ax2十 y2的大小关系？ 6r+ca≠0)，对称轴为直线r=- 2a,顶点 ①当a>0时，若-(< 6 4ac-62 坐标为（一2a,4a ) ,则y1<y2 113 以壹学知道中考数学压轴题得高分m X=- 它2.图系关系 2a ®例3(2021·张家界)若二次函数y= ax2十bx十c(a≠0)的图像如图所示，则一次函 数y=ax十b与反比例函数y=-C在同一个 2 坐标系内的大致图像为 ②当a<0时，若-(-2)< -（一a)则> b 若点离对称轴更近，则其函数值更接近 最值 ®例2(2024·成都)在平面直角坐标系 xOy中，A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是二 次函数y=-x2+4x-1图像上三点.若0< x1<1,x2>4,则y1 y2（填“>”或 “<”);若对于m<x1<m+1,m+1<x2< C解析由抛物线图像得a<0,b>0,c>0, 选D. m+2,m+2<x3<m十3，存在y1<y3<y2,则 m的取值范围是 《知识归纳 C解析由题意得对称轴为直线x=2,抛物 对于二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)， 当a、b、c取值不同时，函数图像亦不同，则 线开口向下，且2-x1<x2一2，.y1>y2; a、b、c的取值对函数图像有何影响？ .y1<y3<y2,可知点B离对称轴最近，点C (1)a:决定抛物线开口方向和大小. 其次，点A最远，注意本题要求“存在”即可，借 [m+1<2, a>0 0 助数轴分析可得 5、 解得 1 2 <m<1. m+2>2 mm+1m+2m+3 114 第4章 二次函数 a>0,抛物线开口向上；a<0,抛物线开 -1+21 一品>，化简得a十<0,故结 b>1 口向下. f(-1)=a-b+c>0, |a|大，抛物线开口小；|a|小，抛物线开 论③错误；由题意得{f(3)=9a十3b+c>0,解得 口大. c=-2, (2)a、b:左同右异. a> 抛物线的对称轴为直线x=一 名故结论④正确；：(2一x1) 2a' /W62-4ac 2 当a、b同号时，对称轴在y轴左侧； a b2-4ac>4,.b2-4ac>4a2,故 当a、b异号时，对称轴在y轴右侧； 结论⑤正确.综上所述，正确的结论有3个 当b=0时，对称轴即为y轴. 号知识归纳 (3)c:抛物线与y轴交点为(0，c). 与a、b、c相关的常见的代数式： 当c>0时，抛物线交y轴于正半轴； (1)含有a、b的式子 当c=0时，抛物线交y轴于原点； 当c<0时，抛物线交y轴于负半轴. 考虑对称轴（直线x= 2a)的位置，若 ®例4(2024·广元)如图，已知抛物线y= 对称轴为直线x=1,则- 2=1,即2a+ ax2+bx+c过点C(0,一2)，与x轴交点的横 b=0. 坐标分别为x1、x2,且一1<x1<0,2<x2<3, (2)含有a、b、c的式子 现有下列结论：①a-b十c<0;②方程ax2十 对x赋值，可得 bx+c+2=0有两个不相等的实数根；③a+ [f(1)=a+b+c, 万>0；④a>3;回62-4ac>4a2.其中正确的第 f(-1)=a-b十c, 论有 f(2)=4a+2b+c,等. 4/(2)=a+26+c 023 (3)含有b、c或a、c的式子 对(1)和(2)中的式子作加减消元，如 (a+b+c)+(a-b+c)=2(a+c). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (4)b2-4ac C解析将x=一1代入得y=a一b十c>0,故 与b2-4ac相关的式子有：△=b2-4ac、 结论①错误；一1<x1<0,2<x2<3, 顶点纵坐标4ac一6 Aa 、抛物线与x轴的两个交 “≠0，即点C不是抛物线顶点，范物 点间距离|x2一x1|= √b2-4ac al 线y=ax2十bx十c与直线y=-2有2个交 此外，还可考虑将函数与方程、不等式结 点，故结论②正确；由思意得> 合来解决问题. 115 壹学知道中考数学压轴题得高分 ®例5(2025·济南)已知二次函数y= 两个不相等的实数根，故结论①正确；由题意得 ax2十bx+c(a、b、c为常数，a≠0)图像的顶点 a<0,对称轴为直线x=一1，故结论②正确；由 坐标是（一1，n),且经过(1,0）、(0，m)两点，3< 题意得抛物线与x轴的另一个交点坐标为 m<4.现有下列结论：①关于x的一元二次方 (-3,0),.y=a(x+3)(x-1),.m=-3a, 程ax2+bx十c一n十1=0(a≠0)有两个不相等 六3<一3a<4,解得<a<-1,放结论③正 的实数根；②当x>一1时，y的值随x值的增 确；将x=一2代入，得y=4a一2b十c>0,故结 大面减小，国-音←a<-1:@4a-26十c>0, 论④正确；由题意得b=2a,代入得(t十1)(at ⑤对于任意实数t,总有(t+1)(at-a十b)≤0. a十b)=(t+1)(at十a)=a(t十1)2≤0，故结论 其中结论正确的有 () ⑤正确.综上所述，正确的结论有5个. A.5个B.4个C.3个 D.2个 C解析抛物线y=ax2+bx十c如图所示，由 题意得抛物线y=ax2+bx十c与直线y=n一1 有两个交点，∴.方程ax2十bx十c-n十1=0有 116 )第4章 二次函数 》真题演练 1.(2025·陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2一2ax十a-3(a≠0)的图像与x轴有两个 交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是 ) A.图像的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C函数的最小值小于一3 D.当x=2时，y<0 2.(2025·福建)已知点A(-2,y1)、B(1,y2)在抛物线y=3x2十bx十1上，若3<b<4,则下列判 断正确的是 () A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 3.(2025·徐州)如图为二次函数y=ax2十bx+c的图像，下列代数式的值为负数的是 （写 出所有正确结果的序号) ①a;②2a+b;③c;④b2-4ac;⑤a-b+c. 2龙 4.(2024·湖北)已知抛物线y=ax2+bx十c(a、b、c为常数，a≠0)的顶点坐标为（一1，一2），与 y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是 A.a<0 B.c<0 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 5.(2024·镇江)对于二次函数y=x2一2ax十3(a是常数)，现有下列结论：①将这个函数的图像向 下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当a=一1时，这个函数的图像在函数y=-一x图 像的上方；③若a≥1，则当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大；④这个函数的最小值不 大于3.其中正确的是 (填序号) 6.(2024·连云港)已知抛物线y=ax2+bx十c(a、b、c是常数，a<0)的顶点为(1,2).小烨同学得 出以下结论：①abc<0;②当x>1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx十c=0的一个根为3， 则a=一号：④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax+bx十c向左平移1个单位长度，再向下平 移2个单位长度得到的.其中一定正确的是 ( A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 17 公壹学知道中考数学压轴题得高分● 7.(2023·遂宁)抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的图像如图所示，对称轴为直线x=一2.现有下列 说法：①abc<0;②c-3a>0;③4a2-2ab≥at(at+b)(t为全体实数)；④若图像上存在点A(x1, y1)和点B(x2,y2),当m<x1<x2<m+3时，满足y1=y2,则m的取值范围为-5<m<-2.其 中正确的有 () V 4-3-2-10x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(2024·武汉)抛物线y=ax2十bx+c(a、b、c是常数，a<0)经过（一1,1）、(m,1)两点，且0< m<1.现有下列四个结论：①b>0;②若0<x<1,则a(x-1)2十b(x一1)+c>1;③若a=-1, 则关于x的一元二次方程ax2十bx十c=2无实数解；④点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上，若 十：>一7>，总有1<则0<m<号其中正确的是 (填序号) 9.(2024·北京)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2a2x(a≠0). (1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标. (2)已知M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线上的两点.若对于x1=3a,3≤x2≤4，都有y1<y2,求 a的取值范围. 1183所示.(4)如图4所示. 图1 图2 G 图3 图4 第4章二次函数 第1节二次函数的图像与性质 1.D解析：函数表达式变形为y=a(x-1)2-3,得 顶点坐标为(1，一3)，又由抛物线与x轴有2个交点， 可得开口向上，故A、B、C选项均错误；f(2)=f(0)< 0,故D选项正确」 2.A解析：抛物线对称轴为直线x=-名：3<6< 4,. -<-合<-，可得0-()< 3 -2-(-8)<1-(-名)1<<. 3.①②⑤ 4.C 5.①②④解析：当x=0时，y=3,.二次函数y= x2一2ax+3的图像过点(0,3)，向下平移3个单位长 度后得到的图像经过原点，故结论①正确；将a=一1 代入得y=x2十2x+3,构造函数y=x2+2x+3 （-),得)(+)+>0恒成立y=+ 2x十3的图像在函数y=一x图像的上方，故结论② 正确；由题意得，当x>a时，y随x的增大而增大，故 结论③错误；当x=a时，y取到最小值为一a2+3≤3， 中考数学压 ·2 ,这个函数的最小值不大于3，故结论④正确.综上所 述，正确的是①②④！ 6.B解析：将表达式化为顶点式得y=a(x一1)2十 2,即b=-2a>0,c=a+2,,a<0,∴.不能确定c的 符号，故结论①错误；由题意得，对称轴为直线x=1, ,抛物线开口向下，.当x>1时，y随x的增大而减 小，故结论②正确；将(3,0)代入得a(3一1)2十2=0， 解得a=7,放结论③正确：将y=a(x-1)+2向 左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得y= ax2,故结论④错误.综上所述，正确的结论是②③， 7.C解析：由图像可得a<0,b<0,c<0,∴.abc<0, 结论①正确；对称轴为直线x=二2，：一2f -2,即b=4a,当x=-1时，y=a-b十c>0,将b= 4a代入人得-3a十c>0,故结论②正确；a<0,.当 x=一2时，函数取到最大值，对任意x=t,都有a· (-2)2+b·(-2)+c≥at2+bt+c,即4a-2b≥ at2+bt,.'a<0,∴.a(4a-2b)≤a(at2+bt),即4a2- 2ab≤at(at十b),故结论③错误；.y1=y2,.点A(x1, y)和点B(x2,y2)关于对称轴对称，.1十工=一2， 2 12m<-4, .x1十x2=-4,. 解得一5<m<一2，故 2(m+3)>-4, 结论④正确综上所述，正确的说法有3个。 8.②③④解析：对称轴为直线x=一1十m<0,且 2 a<0,.b<0,故结论①错误；将抛物线y=ax2+十 bx十c向右平移1个单位长度，得新抛物线表达式为 y=a(x-1)2+b(x-1)+c,且过点(0,1)和点(m+ 1,1),抛物线开口向下，∴.当0<x<1时，函数值大 于1，即a(x-1)2+b(x-1)+c>1,故结论②正确； 将a=-1和点(-1,1)代入得c=b+2,代入方程 得-x2+bx十b=0,由对称轴位置得2 -1,+1,.-1<6<0,4=b2+46<0,小方程ax2+ 2 bx十c=2无实数解，故结论③正确；由题意可得点A 轴题得高分 5 离对称输更远，且士>一子1≤-子解 2 2 得m≤2，又0<m<10<m≤分故结论@正确， 综上所述，正确的结论序号是②③④， 9.解析：(1)将a=1代入得y=x2-2x,即y=(x一 1)2-1,.顶点坐标为(1，一1).（2)若a>0,则抛物 线开口向上，对称轴为直线x=a,点M、N都在对称 轴右侧，此时y随x的增大而增大，∴.3a<3,解得a< 1,∴.0<a<1;若a<0,则抛物线开口向下，对称轴为 直线x=a,点M、N在对称轴两侧，由题意得a一3a >4一a,解得a<-4.综上所述，a的取值范围是0<a <1或a<-4. 第2节抛物线的交点探究 1.m>3解析：由题意得，平移后的抛物线表达式为 y=(x-1)2+m-3,.m>3. 2.A解析：由题意得，当x=1时，y=-1十b十c>0, .b十c>1. 3.n<0解析：当x=0时，y=n<0,.n的取值范围 是n<0. 4-1<m≤-8或m=3解析：抛物线的对称轴为 直线x=1,与y轴交于点(0,2).①当m>0时，根据题 意画出函数图像如图1所示，易知抛物线顶点坐标为 (1,-1),代入y=mx2-2mx+2,得-1=m-2m+ 2,解得m=3;②当m<0时，根据题意画出函数图像 如图2所示，当抛物线过点（一1，一1）时，代入得m+ 2m+2=一1，解得m=-1,当抛物线经过点(4，-1) 时，代人得16m一8m+2=-1,解得m=一g,若抛物 线与线段CD只有-个公共点，则-1<m≤-综上 所述，m的取值范围是-1<m≤-含或m=3, 图1 图2 中考数学压 ·2 5.解析：①若抛物线与线段EF相交且只有1个交点， 令x=-1,y=1+m+1+2m+3=3m+5;令x=3, y=9-3(m+1)+2m+3=-m+9,则[3m+5- (-1)](-m+9-7)<0,解得m>2或m<-2,对应 顶点横坐标分别为x数>或a<一：②若范物 线与直线EF相切，且切点在线段EF上，由题意得， 直线EF表达式为y=2x+1,联立方程x2一(m+1) x+2m+3=2x+1,整理得x2-(m+3)x+2m+2= 0,则(m十3)2一4(2m+2)=0,解得m1=m2=1,此时 抛物线表达式为y=x2一2x十5，与直线y=2x十1的 交点坐标为(2,5)，在线段EF上，此时顶点的横坐标 3 为1，综上所述，顶点横坐标的取值范围是x版>2或 a<-号或x弘=1. 1 6.解析：(1)表达式为y=2x2+x一4。(2)翻折部分 表达式为y=一2x2一x十4(-4≤x≤2)，直线y x十6过定点(0,6)，如图.①当直线y=x十6与抛物 线翻折部分相切时，有3个交点（第一象限内直线与新 因像有1个交点图中未显示)，令一一x十4 x+6整理得22+(+1Dx+2=0,则(+1)： 4=0,解得1=1,2=一3（当=-3时，切点为B, 此时直线与抛物线只有2个交，点，不符合题意，舍去)； ②当直线y=x十6过点A时，有3个交点，将（一4， )代入y=kx十6，解得=)，综上所述，k的值为1 或 B C 7.解析：(1)表达式为y=x2-2x-3.(2)线段AB 轴题得高分 6·