第4章 第4节 面积问题-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

8.解析：(1)顶点坐标为(3,4).(2)当x=3时，函数 取到最大值4；当x=1时，函数取到最小值0.(3)分 类讨论：①若t+3<3,即t<0,当x=t时，n=一t2+ 6t-5;当x=t+3时，m=-t2十4，则m-n=-t2十 4-(-t2+6t-5)=-6t+9=3,解得t=1(舍去)； ②若t>3,当x=t时，m=-t2+6t-5;当x=t+3 时，n=-t2+4,则m-n=(-t2+6t-5)-(-t2+ 0=6-9=3,解得：=2（舍去）：⑤若0≤：≤，当 x=3时，m=4;当x=t时，n=一t2十6t一5，则m n=4-(-t2+6t-5)=t2-6t+9=3,解得t1=3- 54,=3+(含去)，@若<≤3，当z=3时，m= 4;当x=t+3时，n=-t2+4,则m-n=4-(-t2+ 4)=t2=3,解得t3=√3，t4=一√3（舍去）.综上所述，t 的值为3-√3或√5. 第4节面积问题 山①127解标：S-AB、AC AB·AC MC=4S:SACADACs S△ADC AD·AC 12,SAMCD:=12SAADC =12:SABDL S△ABD AB:·AD=3,SAA,=3,S△c4m= AB·AD S△AC4D3十S△AB1D3-S△AB1C4=12+3-8=7. 2.解析：(1)b=-5,c=5.(2)△PAB的面积的最大 值为8. 3.解析：(1)设二次函数表达式为y=a(x十2)(x一 6),由题意得-12a=6,a=- 一2，二次函数的表 达式为y=号x+2z十6.(2)连接PC.:AC∥ PD,∴.S△PCD=S△PAD,∴.S=S△PAD+S△PBD= SAPCD-十S△PBD=SaPc.设点P坐标为(m,-2m2十 中考数学压 2m十6)，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q.直线BC 表达式为y=一x十6，∴.点Q坐标为(m,一m十6)， ∴P0=-2m+2m+6-(-m+6)=-2m+3m, 则Sane=Sae+5am=2·(m2+3m）·6= 3 27 之m2+9m,当m=3时，S△pc取到最大值2，∴S 的最大值为，点P坐标为3，) 15 1 4.解析：1)当a=2时，y=3x+2,与坐标轴有2个 公共点，符合题意；当a≠2时，若抛物线经过原点，则 a=b=0,y=-2x2十x,符合题意；若(a十1)2-4(a一 2)·b=4a十1=0，则a=- 综上所述a的值为0 或2或-4(2)①将(-2,0)、(4,0)代入抛物线表 a=1, 达式，解得 ∴.抛物线表达式为y=一x2十2x十 b=8, 8,∴.抛物线顶点坐标为(1,9)，即P(1,9),由题意得 1 1 SAPCO-2X8X1-4,SAPOn-2X4X9=18,SAmOC= 号X4X8=16,S△Pe=S△am+S△Pm-Sa0c=6, 即△PBC的面积是6.②由题意得点P坐标为 (m,-m2+2m十8)，又A(-2,0),.直线AP表达式 为y=-(m-4)(x十2)，.点D坐标为(0，-2m十 8),CD=2m,设直线l与BC交于点Q,则点Q坐标为 1 (m,-2m+8),∴.PQ=-m2+4m,∴.S△Pc= 2 （-m2+4m）·4=-2m2+8m,S△pcn=2·2m· m=m2,.S1-S2=S△PBc-S△rcD=-3m2+8m,当 m=4时，S1-S,取到最大值3 4 6 5.解析：1)y=2x-8x-2.(2)如图，分别过点 轴题得高分 28· A、D作x轴的垂线，与直线BC分别交于点M、N,则 S1_DE DN -E-可得的最大值为 R M 6.解析：(1)将(4,0)、(1,4)代入抛物线的表达式得 16a+4b=0, a、4 3 解得 .抛物线的表达式为 a+b=4, 16 b= 3 、=x2+16 1 3x.(2)由题意得SaaB=2OA· 1 yB=2X4X4=8,小SAPAB-=2S△0aB=4.B(1,4), 4 A(4,0),∴直线AB的表达式为y=一3x十3.在 x轴上取点Q(6,0),过点Q作AB的平行线，与抛物 线的交点即为所求点P,由题意得：直线PQ的表达式 为y=子十8，联立方程一子+8= 16 3x, 解得-2，-3，点P的坐标为(2，)或3,4. ③存在由通直得88巴：代pm/0, △PCDA0B80-6+景-8延 长AB交y轴于点M,则点M的坐标为(0,3) 16 :OM=日过点P作PN⊥z轴交AB于点N,则 PN∥OM,△PCN∽△OCM,PC=PN 0cOM设点 P(,-专m+号n,则N(a,言m+) ,161 一+m5当m-时，PN取到最 ·PN=-4 中考数学压 大值此时-微=6景+-2-8 S2S=0C=8' 一有在最大值，极大位为号 S2 7.解析：(1)令ax2-2ax-3a=0,即a(x+1)(x 3)=0,解得x1=-1,x2=3,.A(-1,0),B(3,0), ∴.AB=4.(2)当a=1时，抛物线L:y=x2-2x- 3,连接BC交AD于点P,分别过点B、C作AD的垂 线，垂足分别为M、N,若S△AcD=S△ABD,则BM= CN,又△BPMO△CPN,÷8S-8=1,BP= CP,C(1,-4),B(3,0),∴.点P坐标为(2，-2)，则 直线AP表达式为y=号-子联立方程-- 3=x2一2x一3，即2(x+1)=x+1)(x一3)，解 7 得x1=3,x2=-1(舍去)，点D坐标为(3， )tan∠ABD= 20 10 31 8.解析：(1)a=1,c=-3.(2)①y=x2十2x-3, A(一3,0)、B(1,0).②当点P在直线AC下方时，如 图1，过点B作BG⊥x轴交直线AC于点G,连接BP 交直线AC于点Q则一品-器=名可得 PE-名G=名，=33或，-8,6，当 3 点P在直线AC上方时，如图2，同理可得PE= 8c=号，=3215或-84西（含 2 去).综上所述，点P的横坐标为33或3,3 2 2 轴题得高分 9· 或315 2 图1 图2 9.解析：(1)y=-x+3.(2)由题意得N(m+2, -m2-2m十3)，P(1一m,-m2十4)，得kpN=-1= ePN/BC,-,DE分别是N. MP的中点，M(m,-m2+2m+3),.D(m+1, 一m2+3),将点D坐标代入直线BC得m2一m一1= 0解得m15成2 第5节动点与函数 1.C解析：S菱形ABcD=BC·AB·sinB=l8,S△AED= 2DE·AF=7y=25s=9,y-5 18 x 2.B 3A解析：当0<≤2，时，可得瓷-1，即点P在 线段BC的垂直平分线上，如图，当x=2√3时，点P 运动到点O位置，随后沿着OB运动到点B,由题意得 OB=OA=2√3，∴.AB=√3AO=6. 4.D 5.B解析：y=S△Ac-3S△D=4V3-3X 4-)-35-35zt45 6.C解析：连接CP,则CP=MN,当CP⊥AB时， 中考数学压 CP取得最小值，即MN的长度最小，此时y=CP= 兰-AP-号点E的坐标为(，) 24 7W3 1.2 解析：由题意得AB=8,BC=7,过点A作 AP⊥BC交BC于点P,可得BP=4,.AP=4W3. 1 1 ·S△ABc=2AB·CG=2BC·AP,AB·CG= BC.AP,8CG-7X4CG-73 21 8.B 9.C解析：当t=6s时，CN=6cm,DM=6cm, ∴.CN=DM,故①正确；当1≤t≤2时，CN=tcm, BN=(I6-)cm,BM=2acm,∴SAm=2BM· BN=2·2L·(16-t)=-t2+16t,当1=2时， △BMN的面积取得最大值28cm2,故②错误；当0≤ t≤4时，S△BMw=-t2+16t=39,解得t1=3,t2=13 (舍去)，当4<t≤9时，S△BN=2X(16-t)X8=39, 一名，故③正确，综上所述，正确的结论有2个。 解得t= 10.D 11.解析：(1)①3②t2+2（2)设函数表达式为S= a(t一4)2+2，当点P在点B处时，S=6,即BD2= BC2+CD2=6,∴.t2+2=6,解得t=2,∴.BC=2,抛物 线过点(2,6)，代入得4a十2=6，解得a=1,.S= (t-4)2+2,当S=18时，(t-4)2十2=18，解得t1= 8,t2=0(舍去)，∴.AB=8-BC=6.(3)①由题意得 1十t2=2,t1十t2=4.②由①得t十红=4， 2 :十=42十tg=8,又t-461,∴t2十41=8， 2 解得-手-8 此时S=+2=+2=,即 16. 正方形DPEF的面积是 轴题得高分 0·D 第4章 二次函数 第4节 面积问题 在二次函数背景下，常见面积问题有面积计算和面积比例分析，本节介绍除面积公式外的面积 计算方法和常用的面积比例的转化方法. 》知识导航 谚1.铅垂法 ®例1口如图，抛物线y=一x2十2x十3与x轴 B ○解析如图，过点P作PQ⊥x轴交BC的延 交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴于点 长线于点Q,设点P的坐标为(m,一m2+2m十 C,连接BC 3),则点Q的坐标为(m,-m+3),∴.PQ= (1)点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接 -m+3-（-m2+2m+3)=m2-3m, PB、PC,求△PBC面积的最大值. areP() 代人得Sax-号(m-3m） 3 9 2n2、 2m. B C解析如图，过点P作PQ⊥x轴交BC于点 Q,设点P的坐标为(m,一m2+2m+3),由题意 B 得直线BC的函数表达式为y=一x十3，∴.点Q (3)点P在抛物线上，连接PB、PC,若S△PBC= 的坐标为(m,一m+3),∴.PQ=一m2+2m十3一 3,求点P的横坐标. (-m+3)=-m2+3m,.S△PBc=S△PcQ+ SAPBQ=- m-3m）当m-号时，△PBC 而积取到最大值，最大值为 AO B* C解析法1（铅垂法）：过点P作PQ⊥x轴交 直线BC于点Q,设点P的坐标为(m,一m2+ 2m+3),则点Q的坐标为(m,一m+3), ∴.PQ=|(-m2+2m+3)-(-m+3)|= B -m+3m∴Sam=号X3X1-m+3nm= (2)点P是第二象限抛物线上一点，连接PB、 PC,求△PBC面积的表达式. 3,解得m1=1,m2=2,m=3+7 2 129 公壹学知道中考数学压轴题得高分m● 3平成P的横坐标为1或2或3+ 多铅垂法 或317 当△ABC的三边都不与坐标轴平行时， 2 可考虑用铅垂法求其面积。 法2（等积变形）：如图，取点M(1,0)和点N(5, 如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点 O),可得S△MBC=S△NBC=3,分别过点M、N作 D,得S△ABC=S△ACD十S△BCD= BC的平行线，与抛物线的交点即为所求点P. 2CD·(h1+ 联立方程一x2+2x十3=-x十1，解得x1= h2),又h1十h2=xB-xA,可得S△ABc=2 1 2=317 3+√17 2 2:联立方程-x2+2x十 |(xB一xA)·（yC一yD),通常称|xB一xA 3=-x十5，解得x1=1,x2=2..点P的横坐 为水平宽，CD为铅垂高，即S=2×水平 标为1或2或3+，7或3- 2 宽×铅垂高. 如图2，过点B作x轴的垂线交直线AC 于点D,SABC=SABD-SANCD=2BD· 1 (h1-h2),又h1一h2=xc-xA,可得 A OM B N SAANC=2|(xc-xA)·(yD-yB),当 (4)点P在抛物线上，连接PB、PC,若S△PBC xc一xA|为水平宽时，过点B作x轴的垂 S△osC,求点P的横坐标 线，与直线AC的交点记为点D,BD即为铅 C解析法1：转化为定值计算。 垂高. Saae=Sac=},设点P的坐标为(m, D -m2+2m十30，则S6c-多-m2+3m- 2,解得m,=3十2红 B 2二点P的 B h 横坐标为十可或3可。 图1 图2 法2：分别过点O和点(6,0)作BC的平行线， 在△ABC中，任意两点间的水平距离均 与抛物线的交点即为所求点P. 可为水平宽.以图1为例，若求铅垂高CD,则 联立方程一x2十2x十3=一x,解得x1= 需先求得点D坐标，则需先求出直线AB的 3计=8；联立方程-+2江十 表达式，对于三角形的三个顶点，可考虑以是 2 否便于求直线表达式来选择作为水平宽的两 3=一x十6，无解，点P的横坐标为3+2T 个点 2 此外，等积变形也是面积问题中常用的 或3√27 技巧 2 130 第4章 二次函数 ®例2(2024·遂宁改编)二次函数y= 一1)，连接BC、DP相交于点E,连接PB.若 ax2十bx十c(a≠0)的图像与x轴分别交于点 △CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标. A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,-3), P、Q为抛物线上的两点. R x (1)求二次函数的表达式. (2)若点P的横坐标为m,点Q的横坐标为 m+1,试探究：△OPQ的面积S是否存在最小 ○解析(1)抛物线的函数表达式为y=x2 值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明 2x-3. (2)如图，连接DB、CP,若S△cDE=S△PBE,则 理由 SACDE+SACPE=S△PBE十S△CPE,即S△CPD= S△cPB,∴.CP∥DB,由题意得直线DB的函数 表达式为y=一1，直线CP的函数表达式为 y 3x-3,联立方程x2-2x-3=3x-3,解 C解析(1)y=x2-2x-3. 得x1= (2)存在.理由如下：由题意得点P(m,m2 :=0(合去).将x=号代入得 2m-3),点Q(m+1,m2-4),则直线PQ的函 点P的坐标为(？，一》】 20 数表达式为y=(2m一1)(x-m)+m2一2m 3=(2m-1)x一m2-m一3.如图，延长QP交 B x y轴于点G,则点G的坐标为(0，一m2一m- 3),S=SAoo-SAoGP-2X1X (mm 1 3)=(m+》+，当m=时，S取到最 彦2.面积比例分析 ®例4(2023·黑龙江)如图，抛物线y= 小值8· 11 ax2+bx+3与x轴交于A(一3,0)、B(1,0)两 点，交y轴于点C (1)求抛物线的函数表达式。 (2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBc= 2S△Ac?若存在，请直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由。 ®例3(2025·资阳)如图，在平面直角坐标 系中，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在 点B的左侧)，与y轴相交于点C(0,一3)，且抛 物线的顶点坐标为(1，一4) (1)求抛物线的函数表达式， (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0, 13T 以壹学知道中考数学压轴题得高分● ○解析(1)抛物线的函数表达式为y=一x2 与直线AC交于点E,若DE:BE=1:2,求点 2x+3. D的坐标. (2)假设抛物线上存在一点P,使得S△PBC= 1 2 SAARC.:SABc=2AB·0C=6,∴S△Pac= 2S△ABc=3.设点P的坐标为(m,一m2一2m 3),由题意得直线BC的函数表达式为y= ○解析(1)b=2,c=3. 一3x+3.如图，过点P作PQ⊥x轴交直线BC (2)法1（构造8字型相似）：如图1，分别过点 于点Q,则点Q的坐标为(m,一3m+3), B、D作x轴的垂线，与直线AC分别交于点 ∴.PQ=|-m2-2m+3-(-3m+3)|= M.N则△BBMO△DEN.÷BNPE- Im2-ml,SAPBC=SAPBO-SAPCQ-2 PQ· 由题意得直线AC的函数表达式为y=一x+ 1 (xB-xp|-|xc-xpl),S△Psc=2PQ· 3,.M(-1,4),∴BM=4,.DN=2BM=2. 1zg-xc=2m2-m=3,解得m:=-2, 设D(m,一m2+2m+3),则N(m,一m十3)， ∴.DN=-m2+3m=2,解得m=1或m=2, m2=3,∴.点P的坐标为(-2,3)或(3，-12). ∴.点D的坐标为(1,4)或(2,3). 图1 法2（构造A字型相似）：如图2，过点D作 OB DP∥AC交x轴于点P,则AP=DE=1 AB BE2' 当转化成定值问题时，还可以考虑等积变形解 ∴AP=AB=2点P的坐标为(5,0)，可得 决问题，在x轴上取点M(一1,0)、N(3,0),分 直线DP的函数表达式为y=一x十5，联立方 别过点M、N作BC的平行线，与抛物线的交点 程-x2十2x十3=-x+5,解得x=1或x=2, 即为满足条件的点P,有S△PBC=S△MBC= .点D的坐标为(1,4)或(2,3) S△NBC=3. ®例5(2025·宜宾)如图，0是坐标原点，已 D 知抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C,其中A(3,0),C(0,3) (1)求b、c的值. A Px (2)D为抛物线上第一象限内一点，连接BD, 图2 132 )第4章 二次函数 变式1：求DE E的最大值 C解析同法1”得距N将问题转化为 求DN的最大值即可，DN=-m2十3m= -(m-+当m C解析如图，过点B作BH⊥AC于点H,则 。时，DN取到最大值 2 是小8e的说大位为器品 9,DE △AOD∽△HOB,:OH=B0=4 OA OD 3 tan∠ABH-tan∠ACB-子， AH 变式2：连接BC,AD,CD,求△MD的最大值. ’·BH S△ACB BH_1.AH_1·S△ABD_OA=3 C解析如图，分别过点D、B作直线AC的垂 CH=2CH=4’…SACBDOC=32 线，垂足分别为M、N,可得 SAACD DM S△ACB BN 由安式1得，二的最大位为 DE 例7(2025·宜宾)如图是一张锐角三角形 纸片ABC,点D、E分别在边AB、AC上， AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的 多思路归纳 两帝分，则甏的值为 ( 对于三角形面积比例的问题，若其中一 个三角形面积是定值，则可求得另一个三角 形的面积，将比例问题转化为面积定值问题. 若两个三角形的面积均不确定，通常将 面积比例转化为线段比例，当线段不与坐标 A.1 B.2 C.3 D.4 轴平行时，可通过构造相似转化为竖直线段 AD·AE1 ○解析 或水平线段比（化斜为直）. 由题意得S△Aoe S△ABC AB·AC 2 此外，“共边定理”“共角定理”在面积比 AD_2..AE_3 AE =3. 例问题中也常有应用. AB =3AC-4EC 令例6(2020·深圳)如图，在四边形ABCD 雪方法归纳 中，AC与BD相交于点O,∠ABC=∠DAC= (1)共边定理 9rtm∠AcB-子80-g则8 如图，已知△ABC,D是直线BC外 SACBD 点，连接AD交BC于点P,则S△Ac_PA SADBC PD 133 以壹学知道中考数学压轴题得高分m● 证明：分别过点B、D作AC的垂线，垂 足分别为M、N,则BM=AB·sinA,DN= AD·sinA,.S△ABc= 2AC·BM= 2AC·AB·sinA,S AADE= 2AD·AE· 证明：分别过点A、D作BC的垂线，垂 sin A, S△ABC_AB·AC 足分别为M、N,则S△ABC= 2BC·AM, S△ADE AD·AE ®例8(2019·深圳改编)如图，抛物线y= S△DBC= 2BC·DN,SAAc-AM_PA SADBC DNPD ax2十bx+c经过点A(-1,0)、C(0,3),且 OB=OC. O 在下图中结论依然成立. (1)求抛物线的函数表达式及其对称轴. (2)点P在抛物线上，连接CP,直线CP把四 边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P 的坐标. ○解析(1)抛物线的函数表达式为y=一x2+ 2x+3,对称轴为直线x=1. (2)直线CP将四边形CBPA分为△CAP和 B △CBP,即S△CaP:S△cBP=3:5或S△cAP: S△cBP=5：3.记CP与x轴交于点M,得 S△cAP·S△cBP=AM:BM.①若AM:BM= (2)共角定理 如图，已知△ABC,D、E分别在直线 5:3,则点M的坐标为(2,0)，根据点C、M的 AB、AC上，则SAABC=AB·AC 坐标可得直线CM的函数表达式为y=一2x十 S△ADE AD·AE 3,联立方程一x2十2x十3=一2x+3,解得 x1=0(舍去)，x2=4,∴.点P的坐标为(4，一5)； ②若AM:BM=3:5,则点M的坐标为（分， O),根据点C、M的坐标可得直线CM的函数表 NEM C 达式为y=一6x+3,联立方程-x2+2x+ 134 第4章 二次函数 3=一6x十3，解得x1=0(舍去)，x2=8,∴.点P :OD D OF 的坐标为(8，一45).综上所述，点P的坐标为 OC xc'OE =即=记 xc·xE (4,-5)或(8，-45). xc=m,xD=n,设直线CD的函数表达式为 例9(2025·武汉改编)抛物线)=4x2- y=kx,联立方程-3=x,得mm=-12, 3与直线y=x交于A、B两点（点A在，点B的 1 则直线AC的函数表达式为y-4(m一2)(x+ 左侧). 2》-2,直线BD的函数表达式为y=4(m十 1 (1)求A、B两点的坐标 (2)如图，经过原点O的直线CD交抛物线于 12-2m C、D两点（点C在第二象限），连接AC、BD分 6)(x一6)十6，则xE= n-2,xr=6m+12 n+6 别交x轴于E、F两点.若SAo= 3 [n=3 4 SACOE,求 2m-1 m-2 ,即xE=一xF, m4’ 解得 直线CD的函数表达式 mn=-12, n=-4 '或m4, (舍去)，.C(-4,1), n=3 n=-3 D3,-)直线CD的函数表达式为y -P A C解析(1)A(一2，一2)、B(6,6) 2)由题意得S=】 80:86-又 OC·OE 135 以壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 》真题演练 1.(2024·河北)如图，△ABC的面积为2，AD为边BC上的中线，点A、C1、C2、C3是线段CC4的 五等分点，点A、D1、D2是线段DD3的四等分点，A是线段BB1的中点. (1)△AC1D1的面积为 (2)△B1C4D3的面积为 C3 C> C B 1/D2 D3 B1 2.(2024·徐州)如图，A、B为一次函数y=一x+5的图像与二次函数y=x2十bx十c的图像的公 共点，点A、B的横坐标分别为0、4.P为二次函数y=x2十bx十c的图像上的动点，且位于直线 AB的下方，连接PA、PB. (1)求b、c的值. (2)求△PAB的面积的最大值. 3.(2023·张家界)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx十c的图像与x轴交于 点A(-2,0)和点B(6,0),与y轴交于点C(0,6).D为线段BC上的一动点. (1)求二次函数的表达式 (2)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA、PB,记△PAD与 △PBD的面积和为S,当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值. y个 1361 )第4章 二次函数 4.(2023·荆州)已知y关于x的函数y=(a-2)x2+(a十1)x十b. (1)若函数的图像与坐标轴有两个公共点，且a=4b,则a的值是 (2)如图，若函数的图像为抛物线，与x轴有两个公共点A(一2,0)、B(4,0),与y轴交于点C,并 与动直线l:x=m(0<m<4)交于点P,连接PA、PB、PC、BC,其中PA交y轴于点D,交 BC于点E.设△PBE的面积为S1,△CDE的面积为S2. ①当P为抛物线顶点时，求△PBC的面积； ②探究：直线1在运动过程中，S1一S2是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存 在，请说明理由 E防 D 0 B x 5.(2020·成都)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx十c与x轴交于A(一1,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0,一2). (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图，D为第四象限抛物线上一点，连接AD、BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为 S,△ABE的面积为S,求子的址大值 VW B 137 么壹学知道中考数学压轴题得高分 6.(2022·福建)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)、B(1,4)两点.P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方 (1)求抛物线的表达式. (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标. (3)如图，OP交AB于点C,PD∥BO交AB于点D.记△CDP、△CPB、△CBO的面积分别为 S5、S判断令+是否存在最大值若存在，求出最天值若不存在，请说明理由 以 4 B D 0 7.(2024·成都改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴 交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点 (1)求线段AB的长 (2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值. B 1381 D 第4章 二次函数 8.(2024·济宁)已知二次函数y=ax2十bx十c的图像经过(0，一3)、（一b,c)两点，其中a、b、c为 常数，且ab>0. (1)求a、c的值 (2)若该二次函数的最小值是一4，且它的图像与x轴交于点A、B(点A在，点B的左侧)，与y轴 交于点C ①求该二次函数的表达式，并直接写出点A、B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点P作x轴的垂线，垂足为D,与直 线AC交于点E,连接PC、CB、BE.是否存在点P,使ミ△PE=3?若存在，求此时点P的 S△CBE8 横坐标；若不存在，请说明理由. B 备用图 9.(2025·苏州)如图，二次函数y=一x2+2x十3的图像与x轴交于A、B两点(，点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y1)、N(m+2,y2)为二次函数-x2十2x+3图像上 两点 (1)求直线BC对应函数的表达式. (2)已知P是二次函数一x2+2x+3图像上一点（不与点M、N重合），且点P的横坐标为1一 m,作△MNP.若直线BC与线段MN、MP分别交于点D、E,且△MDE与△MNP的面积的 比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值， M B B 备用图 13g