第4章 第2节 抛物线的交点探究-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

离对称输更远，且士>一子1≤-子解 2 2 得m≤2，又0<m<10<m≤分故结论@正确， 综上所述，正确的结论序号是②③④， 9.解析：(1)将a=1代入得y=x2-2x,即y=(x一 1)2-1,.顶点坐标为(1，一1).（2)若a>0,则抛物 线开口向上，对称轴为直线x=a,点M、N都在对称 轴右侧，此时y随x的增大而增大，∴.3a<3,解得a< 1,∴.0<a<1;若a<0,则抛物线开口向下，对称轴为 直线x=a,点M、N在对称轴两侧，由题意得a一3a >4一a,解得a<-4.综上所述，a的取值范围是0<a <1或a<-4. 第2节抛物线的交点探究 1.m>3解析：由题意得，平移后的抛物线表达式为 y=(x-1)2+m-3,.m>3. 2.A解析：由题意得，当x=1时，y=-1十b十c>0, .b十c>1. 3.n<0解析：当x=0时，y=n<0,.n的取值范围 是n<0. 4-1<m≤-8或m=3解析：抛物线的对称轴为 直线x=1,与y轴交于点(0,2).①当m>0时，根据题 意画出函数图像如图1所示，易知抛物线顶点坐标为 (1,-1),代入y=mx2-2mx+2,得-1=m-2m+ 2,解得m=3;②当m<0时，根据题意画出函数图像 如图2所示，当抛物线过点（一1，一1）时，代入得m+ 2m+2=一1，解得m=-1,当抛物线经过点(4，-1) 时，代人得16m一8m+2=-1,解得m=一g,若抛物 线与线段CD只有-个公共点，则-1<m≤-综上 所述，m的取值范围是-1<m≤-含或m=3, 图1 图2 中考数学压 ·2 5.解析：①若抛物线与线段EF相交且只有1个交点， 令x=-1,y=1+m+1+2m+3=3m+5;令x=3, y=9-3(m+1)+2m+3=-m+9,则[3m+5- (-1)](-m+9-7)<0,解得m>2或m<-2,对应 顶点横坐标分别为x数>或a<一：②若范物 线与直线EF相切，且切点在线段EF上，由题意得， 直线EF表达式为y=2x+1,联立方程x2一(m+1) x+2m+3=2x+1,整理得x2-(m+3)x+2m+2= 0,则(m十3)2一4(2m+2)=0,解得m1=m2=1,此时 抛物线表达式为y=x2一2x十5，与直线y=2x十1的 交点坐标为(2,5)，在线段EF上，此时顶点的横坐标 3 为1，综上所述，顶点横坐标的取值范围是x版>2或 a<-号或x弘=1. 1 6.解析：(1)表达式为y=2x2+x一4。(2)翻折部分 表达式为y=一2x2一x十4(-4≤x≤2)，直线y x十6过定点(0,6)，如图.①当直线y=x十6与抛物 线翻折部分相切时，有3个交点（第一象限内直线与新 因像有1个交点图中未显示)，令一一x十4 x+6整理得22+(+1Dx+2=0,则(+1)： 4=0,解得1=1,2=一3（当=-3时，切点为B, 此时直线与抛物线只有2个交，点，不符合题意，舍去)； ②当直线y=x十6过点A时，有3个交点，将（一4， )代入y=kx十6，解得=)，综上所述，k的值为1 或 B C 7.解析：(1)表达式为y=x2-2x-3.(2)线段AB 轴题得高分 6· 平移后记为A'B',则A'(0,3),B'(4,3),无论t为何 值，二次函数y-}ax+bx十c)与x轴的交点始终 为（一1,0）和(3,0)，对称轴为直线x=1.当t>0时，如 图1所示，由题意得，当x=4时，y=1×(16一8一 t 3)=≥3，≤号，又>00<1<号当1<0， 抛物线与直线A'B'相交且与线段A'B'只有一个交点 时，如图2所示，当z=0时y=}×(-3》=-> 3,∴.t>-1,又，t<0,∴.-1<t<0;当抛物线与直线 A'B'相切且切点在线段A'B'上时，也满足题意，即 y=x2-2x3)的顶点在线段AB'上，此时}× (一4)=3，解得1=一子综上所述，1的取值范围是0< ≤8或-11<0或1=-子 4 V净 y/ B B B B 图1 图2 8.解析：(1)①(2)-9≤m≤9(3)a≤-3 或 a=7+210 18 第3节区间最值 1积解析：由题意得y=-2+3x-1,∴2z十 y=-x2+5x-1,当x-时，2x十y取到最大值 2.一4≤y≤5解析：由题意得，抛物线的对称轴为直 线x=1,∴.当x=1时，ymin=一4；当x=4时，ymax= 5.∴.y的取值范围是-4≤y≤5. 3.D解析：若a>0,当x=1时，y取到最小值 一a=-4,∴.a=4;若a<0,当x=4时，y取到最小值 中考数学压 9如-a=-4,a=-子综上所述，a的值为4或 1 2· 4.一1一√3解析：由题意得，抛物线开口向下，对称 1 7 轴为直线x=一1，当x=2时，)=4心当x=a时， y取到最小值1，令-x2-2x十3=1，解得x1=-1 √3，x2=-1十√3（舍去），∴.a的值为-13. 5.解析：(1)由题意得b=1,将（一2,5）代入得4-2+ c=5,c=3,.二次函数的表达式为y=x2+x十3. 2)当x=-2时，y=4-2+3=5,当x=一2时， 取到最小值子一司+8是此时芮足5一呈-是， .当-2≤x≤n时，函数的最大值、最小值分别是5、 4,（一2,5)关于对称轴对称的点的坐标为(1,5)，n 11 的取值范围是-<≤1 6.解析：①当0<-名<分即-1≤6<0时，当x= 合时y取到最小值气+c,当=1时，y取到最 大值1+6+c,1+6+c)-(-+c)=6解得 6=-号成6=-名（会去）：当<-名<1，即 ≤6<1时，当x=时，y取到最小值号 c,当x=0时y取到最大值cc-(-行+c）= 解得6=-号或6=名（含去），图当-名>1，即6<-2 3 时，当x=1时，y取到最小值1十b+c,当x=0时，y 9 到最大值c,“c-(1+b+C6,解得b=一名（舍 去)综上所述6的值为弓或》 7.解析：m= 2号 轴题得高分 7·第4章 二次函数 第2节 抛物线的交点探究 在二次函数综合题中，抛物线与直线或其他几何图形的交点是一类常见题型，可以结合函数图 像，利用函数与方程的关系解决问题 2)x十s总有两个交点，令(t+1)x2十(t十 》知识导航 2)x十s=2x,整理得(t+1)x2+tx十s=0,由 题意得t2一4s(t十1)>0.构造y1关于t的函数 彦1.抛物线与直线交点探究 y1=t2一4st一4s,由题意得对任意的实数t,都 例1(2023·郴州)已知抛物线y=x2 有y1>0,∴.(-4s)2+16s<0,解得-1<s<0. 6x十m与x轴有且只有一个交点，则m= ≥2.抛物线与线段交点探究 C解析由题意得b2-4ac=(-6)2-4m=0, ®例3(2024·德州改编)已知抛物线y= ∴.m=9. x2-4mx+2m十1，m为实数，点O(0,0), 多方法归纳 A(1,0),如果该抛物线与线段OA(不含端点) 恰有一个交点，则m的取值范围是 对于二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的 f(0)=2m+1<0, 图像， ○解析①如图1，由题意得 f(1)=-2m+2>0 (1)与x轴的交点情况，即令a.x2+bx+ c=0,分析b2-4ac与0的大小关系； 或f0)=2m+10, 解得m< f(1)=-2m+2<0, 2或m>1. (2)与直线y=t的交点情况，即令ax2十 bx十c=t,分析b2-4a(c一t)与0的大小 关系； (3)与直线y=mx十n的交点情况，构造 方程，即令ax2十bx十c=mx十n,分析(b 图1 m)2-4a(c-n)与0的大小关系. ②如图2，当△=16m2-4(2m+1)=0时，解得 ®例2(2023·岳阳)若一个点的坐标满足 度m1,代人@1 4 2 (k,2k),我们将这样的点定义为“倍值点”.若关 于x的二次函数y=(t+1)x2+(t十2)x+s 度合 (s、t为常数，t≠一1)总有两个不同的倍值点， 则s的取值范围是 ( A.s<-1 B.s<0 C.0<s<1 D.-1<s<0 图2 ○解析“倍值点”所在图像的表达式为y=2x, 即直线y=2x与抛物线y=(t+1)x2+(t+ 综上所述，m的取值范围是m<- 2或m>1. 119 以壹学知道 中考数学压轴题得高分● 多方法归纳 (3)若抛物线与线段存在1个以上交点 对于二次函数y=ax2+bx十c(以a>0 时，分析已知条件，确定与抛物线相关的定 为例)， 量，结合函数图像，再寻求抛物线需要满足的 (1)已知点A(m,0)、B(n,0),若二次函 条件，解决问题。 数图像与线段AB有且只有1个交点. ®例4(2023·菏泽)若一个点的纵坐标是横 ①当b2-4ac>0时，当x=m时，记y= 坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, y1,当x=n时，记y=y2,若y1·y2<0,符 3),B(-2,一6)，C(0,0)等都是“三倍点”.在 合题意；若x=m,y=0或x=n,y=0,则还 一3<x<1的范围内，若二次函数y=-一x2一 需判断抛物线与线段AB是否还有其他交点， x十c的图像上至少存在一个“三倍点”，则c的 取值范围是 1 A.-4≤c<1 B.-4≤c<-3 ∠n,符 b ②当b2-4ac=0时，若m<- D.-4≤c<5 合题意 C解析由题意得抛物线y=一x2一x十c与函 (2)若抛物线与坐标系中的线段AB有 数y=3x(一3<x<1)的图像至少有1个交点， 且只有1个交点，分析同上。 抛物线对称轴始终为直线x= 2,如图1，当 ①若(f(xA)-yA)·(f(xB)一yB)<0, 符合题意；若抛物线过点A或点B,则还需判 抛物线与函数y=3x(一3<x<1)的图像相切 断抛物线与线段AB是否还有其他交点， 时，令-x2一x十c=3x,整理得x2+4x一c= 0,△=42一4·（一c)=0,解得c=一4；如图2， 当抛物线y=一x2一x+c经过点(1,3)时，代 入得-1-1+c=3,解得c=5. 综上所述，c的取值范围是一4≤c<5. ②将抛物线表达式与直线AB表达式联 立方程，计算△=0并验证唯一交点是否在线 段AB上. 若抛物线仅有常数项未确定，可从平移 抛物线的角度分析范围.（参考例4） 图1 图2 120 第4章 二次函数 (3)当a=0时，函数y=一2x+3与x轴的交 形3.抛物线与射线的交点探究 点坐标为（含0，符合题意。 ®例5(2022·永州)已知关于x的函数y= 当a≠0时，函数y=ax2-2x十3过定点(0， ax2+bx+c. 3).①当a<0时，如图1，需满足当x=1时， (1)若a=1,函数的图像经过点(1，-4)和点 y=a-2十3>0，解得a>-1,∴.-1<a<0; (2,1),求该函数的表达式和最小值， ②当a>0时，如图2，若（一2）2一12a>0,即a< (2)若a=1,b=一2，c=m十1，函数的图像与 x轴有交点，求m的取值范围. 3,需满足当x=1时，y=a-2+3<0,解得 (3)阅读下面材料： 设a>0,函数图像与x轴有两个不同的交点 a<-1,与0<a<}矛盾，不符合题意；如图 A、B,若A、B两点均在原点左侧，探究系数a、 3,若(-2)2-12a=0,即a= b、c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三 3,此时抛物线 个方面： y= 32-2x十3与x轴仅有1个交点，交点坐 ①，函数的图像与x轴有两个不同的交点， 标为(3,0)，符合题意 ∴.b2-4ac>0; ②A、B两点在原点左侧，∴.x=0对应图像 综上所述，a的取值范围是-l<a≤0或a=】 上的点在x轴上方，即c>0; ③上述两个条件还不能确保A、B两点均在原 点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来 b∠0. 进一步限制抛物线的位置，即需一 综上所述，系数a、b、c应满足的条件可归纳 a>0, 图1 图2 b2-4ac>0, 为：c>0, b∠0. 2 请根据上面阅读材料，类比解决下面问题： 若函数y=ax2一2x十3的图像在直线x=1的 右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值 图3 范围。 C解析(1)函数表达式为y=x2+2x一7，当 形4.抛物线与几何图形的交点探究 x=一1时，函数取到最小值一8. ®例6(2022·南通)定义：函数图像上到两 (2)表达式为y=x2-2x十m十1，令x2-2x+ 坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫作这个 m+1=0,则b2-4ac=(-2)2-4(m+1)≥0， 解得m≤0，.m的取值范围是m≤0. 函数图像的“n阶方点”例如，点(3,3)是函数 121 以壹学知道 中考数学压轴题得高分● y=x图像的“2阶方点”；点(2,1)是函数y=召 (3)由表达式得抛物线y=-(x一n)2-2n十1 顶点坐标为(n,一2n+1),在函数y=-2x+1 图像的“2阶方点”， (x≥0)的图像上，若函数y=-(x一n)2 (1)在①(-2，-2)②(-1，-1D.③1,10三 2n+1图像的“n阶方点”一定存在，即图像与 以点O为中心，2n为边长的正方形一定有交 点中，是反比例函数y=图像的“1阶方点”的 点.当抛物线经过点(n,一n)时，顶点即为“n阶 有 (填序号) 方点”，此时一n=一2n十1，解得n=1;当抛物 (2)若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图 线经过点（一n,n)时，代入得一4n2一2n+1= 像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值， n,解得1=4n2=一1（含去）.综上所述，n的 (3)若y关于x的二次函数y=一(x-n)2一 2n十1图像的“n阶方点”一定存在，请直接写 取值范围是}≤n<1. 出n的取值范围. ○解析(1)②③ (2)由表达式可得直线y=ax-3a+1过定点 (3,1),若“2阶方点”有且只有一个，则直线y= ax-3a+1过点(2,2)或(2，-2)，将点(2,2)代 入得a=-1;将点(2，-2)代入得a=3.综上所 述，a的值为一1或3. 3.1 1220 )第4章 二次函数 》真题演练 1.(2022·无锡)把二次函数y=x2十4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位 长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么应满足条件： 2.(2024·达州)抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个 交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是 () A.6+c>1 B.b=2 C.b2+4c<0 D.c<0 3.(2023·泰州改编)二次函数y=x2十3x十n的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的取值 范围是 4.(2022·呼和浩特)在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（一1，一1）和(4，一1)，抛物 线y=x2一2mx十2(m≠0)与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 5.(2021·广州改编)已知抛物线y=x2-(m+1)x十2m十3，点E(一1，一1)、F(3,7),若该抛物线 与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围 6.(2023·德阳改编)已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(一4,0)、B(2,0),与y轴 交于点C(0,-4) (1)求抛物线的表达式. (2)如图，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个 新图像.当平面内的直线y=kx十6与新图像有三个公共点时，求k的值 123 么壹学知道中考数学压轴题得高分● 7.(2023·大庆改编)如图，二次函数y=ax2十bx十c的图像与x轴交于A、B两点，且自变量x的 部分取值与对应函数值y如下表： 0 3 y 0 一4 0 (1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式. (2)若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数 y=}（ax2十bx十c)的图像只有一个交点，其中：为常数，请直接写出：的取值范围. 8.(2025·宿迁)定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于及的点叫“k阶近 轴点”，所有的“阶近轴点”组成的图形记为图形W.如图所示，所有的“1阶近轴点”组成的图形 是以坐标原点为中心、2为边长的正方形区域： (1)下列函数图像上存在“1阶近轴点”的是 ①y=②)=-x+3,0y=x2-2x+3. (2)若一次函数y=2x+m的图像上存在“3阶近轴点”，求实数m的取值范围， (3)特别地，当点P在图形W上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点P是图形W的“k阶完美 点”，若二次函数y=ax2-ax-2a十2的图像上有且只有一个“2阶完美点”，求实数a的取 值范围. 1241