2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数的图象与性质》考前选择题专题提升训练

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过20道选择真题构建“概念-性质-应用”逻辑链，融合代数推理与几何直观，提炼平移对称、最值分析等8类解题技巧，适配中考高频热点突破。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|1-5题|开口方向与对称轴判定、函数值比较（点距法）|从二次函数定义出发，通过顶点式转化建立参数与图象关系| |变换应用|6-8题|平移规律（反向法）、对称性质（顶点对称）|结合坐标变换深化对函数解析式的理解，体现数形结合思想| |几何综合|9-16题|最短路径（对称化归）、圆与函数综合（中位线）|以二次函数为载体，融合几何图形性质，培养空间观念| |结论判断|17-20题|参数符号判定（图象分析法）、最值不等式证明|通过多结论辨析强化推理能力，构建知识网络体系|

2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数的图象与性质》 考前冲刺常考热点选择题专题提升训练（附答案） 1．关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（   ） A．对称轴在轴左侧 B．顶点坐标 C．时，随的增大而减小 D．与直线有唯一公共点 2．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象开口向上，与轴交于和，则下列关系正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的图象经过，，其中，且当时，y值随x值的增大而增大，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（   ） A． B． C． D．0 7．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 8．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，且当时，y随着x的增大而增大，当时，a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 10．二次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 11．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表（其中）： x …… 0 …… y …… 10 10 …… 根据表格提供的信息，下列说法正确的是 A．该抛物线与x轴的交点坐标为 B．该抛物线的对称轴是直线 C．该二次函数存在最大值 D．点是该抛物线上一点，则 12．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是（   ） A．图象的对称轴是 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则（m为任意实数） 13．为了实时规划路径，北斗卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项不正确的是（    ） A． B．点的纵坐标为250 C． D．点在该函数图象上 14．如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，点，在该抛物线的对称轴上（点在点的上方），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 16．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 17．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④；⑤若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 19．如图，抛物线与x轴交于，交y轴负半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论∶①；②；③（m为任意实数）；④若点是第三象限内抛物线上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的有（　　）个． ①； ②； ③； ④； ⑤（m为任意实数）． A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案 1．解：∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，在轴右侧，顶点坐标为， ∴选项A，B错误； ∵开口向下，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大， 又∵， ∴ 时，随的增大而增大， ∴选项C错误； 联立二次函数与直线方程， ∴， ∵判别式， ∴该一元二次方程只有一个实数根，即二次函数与直线有唯一公共点， ∴选项D正确． 2．B 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据开口向下的二次函数的性质：点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，通过比较三个点到对称轴的距离，得到函数值的大小关系． 【详解】解：∵ 抛物线中，， ∴ 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 抛物线对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：， ∵， ∴． 3．B 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于和， ，对称轴为直线，关于的一元二次方程的两根为，， ，， ， ． 4．C 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 5．D 【分析】先对抛物线配方得到对称轴和顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再计算两点到对称轴的距离，结合开口向下抛物线的性质比较函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，顶点纵坐标为， ∵当时，随的增大而增大，在对称轴左侧， ∴抛物线开口向下，， ∵开口向下时抛物线顶点为最高点， ∴抛物线上所有非顶点的点纵坐标都小于， 设点A，B到对称轴的距离分别为和， ∵， ∴，， ∵， ∴，即点离对称轴更远， ∵抛物线开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小， ∴． 6．C 【分析】将化为顶点式，确定顶点坐标，再反向平移得到原抛物线的顶点坐标，继而得到原抛物线的解析式，求出，，．代入计算即可． 【详解】解：． ∴其顶点坐标是， ∴将其向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到． ∴原抛物线的解析式是：． 所以，，． 所以． 7．D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 8．D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 9．A 【分析】先求出二次函数与x轴、y轴的交点坐标，得到、的长度，结合得到a的可能取值，再根据二次函数的增减性判断a的符号，即可得到a的值． 【详解】∵ 二次函数为 ， 令，得， ，等式两边同除以得， 因式分解得 ， 解得或， 在轴正半轴， ，得， 令，得， ，得 ， ，即，得或， 二次函数对称轴为， 时，随的增大而增大，且，说明对称轴右侧随增大而增大， 二次函数开口向上， ， ． 10．A 【分析】先推导出，得到，再根据二次函数的图像求解即可． 【详解】解：由二次函数的图象，得， 则， ∴二次函数的图象开口向上，顶点在第三象限，只有选项A符合． 11．D 【分析】根据表格信息确定抛物线的对称轴和增减性，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相同，该抛物线与轴的交点坐标为， ∴抛物线的对称轴为， 又∵在对称轴的左侧，随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向上，二次函数存在最小值， ∵点是该抛物线上一点，且， ∴； 综上，只有选项D正确． 12．C 【分析】根据图像与轴交点求对称轴排除A，由图像分析函数性质排除B，由对称轴得、代入特殊值判断符号确定C正确，再利用二次函数的最值性质判断不等号方向排除D． 【详解】解：A、由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线， 故选项A错误，不符合题意； B、当或时，函数值随值的增大而增大， 故选项B错误，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴由图可知，当时，，当或时，， ∴当时，， ∴， ∴， 故选项C正确，符合题意； D、∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴(为任意实数)， ∴， ∴， 综上，若，则（m为任意实数）， 故选项D错误，不符合题意． 13．C 【分析】过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，，由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，，求出，再由勾股定理求解，即可判断A；当，设此时点Q运动到点，即，由勾股定理求解，即可求解，即可判断C；当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，再由勾股定理求解，即可判断B；设点Q运动到点K时，此时，可求，再由勾股定理求解，即可判断D． 【详解】解：过点作于点，当点运动到点时，最小，即为，则由图象可得，， 由图象可得，当时，，设此时点运动到点H的位置，则，， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 当，设此时点Q运动到点，即， ∴， ∴，故C错误，符合题意； 当点与点重合时，此时点C的纵坐标即为，故B正确，不符合题意； 设点Q运动到点K时，此时 ∴， ∴此时， ∴点在该函数图象上，故D正确，不符合题意． 14．B 【分析】根据抛物线，得对称轴是直线，得出点坐标为，将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长，可得，，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：． 抛物线的对称轴是直线． 点关于对称轴直线的对称点为． 当时，， 点坐标为， 将线段向上平移1个单位长度到的位置（此时点，重合），当点，，在一条直线时，有最小值，即有最小值，即线段的长， ，， ，即的最小值为． 故选B 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15．A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 16．B 【分析】根据题意求出，得到，证明是的中位线，根据即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 对称轴为，当时， ， ， 是线段的中点， 故是的中位线， ， 是以点为圆心，为半径的圆上的动点， ， 17．C 【分析】根据二次函数的图象以及对称轴得到，再根据当时，和当时，分别进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，， 对称轴为直线， ， ， ，①错误； 函数与轴有两个交点，故，②正确； 当时，，③正确； ， ， ， 当时，， ，④正确． 18．B 【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断． 【详解】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则，故①错误； ②函数的对称轴是，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故②错误； ③当时，方程有一根在和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0， 则，故③正确； ④∵抛物线对称轴为，则， ∴，故④正确； ⑤抛物线的顶点为， ∴方程没有实数根时， ∴抛物线顶点在x轴下方, ∴， ∴，故⑤正确， ∴正确的选项有③④⑤共3个． 19．C 【分析】根据二次函数的图象与性质，抛物线的对称轴、开口方向、与坐标轴的交点，即可判断①②，根据当时，取得最小值，即可判断③，先求得所在的直线方程为，过作轴的垂线，交于点，则点的坐标为，进而根据三角形的面积公式得出的面积，根据二次函数的性质，即可判断④． 即可求解． 【详解】解：结论①：∵抛物线与x轴交于， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴公式为， 故， ，因此①正确． 结论②：由于抛物线开口向上，故， ， ， ∵抛物线与y轴交于负半轴，故， ，②错误． 结论③：当时，得最小值， ∴对于m为任意实数，都有，即，故③正确． 结论④：设抛物线解析式为，则， ∴所在的直线方程为． 点在抛物线上，故． 过作轴的垂线，交于点， 则点的坐标为， ． 当时，取得最大值．故④正确． 综上，①③④正确，共3个． 20．C 【分析】根据开口方向可得，根据对称轴公式得到，则，根据抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据当时，，可判断③；由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，利用一元二次方程根的判别式，可判断④；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线的开口向下，则， ∵对称轴为直线， ∴， ，即，故②正确； ∵抛物线与轴交于正半轴， ， ，故①不正确； 由图象可知，当时， ，故③正确； 由图象可知，抛物线与轴有两个不同的交点，即关于x的一元二次方程有两个不同的实数根， ∴， ，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴该函数的最大值为， （m为任意实数） （m为任意实数），故⑤正确， 综上所述，不正确的只有① ． 学科网（北京）股份有限公司 $