第3章 第5节 尺规作图-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

∠ACF=60°，且CF=CA,.△ACF是等边三角 形AF=AC=2EDE=2AF=E。 D 6.解析：(1)在Rt△ABE中，，F是AE的中点， BF-AE.BA BC,BE BD./ABE- ∠CBD,∴.△ABE≌△CBD(SAS),.CD=AE, ∴.CD=2BF.△ABE≌△CBD,∴.∠BAE= ∠BCD,:BF=2AE=AP,∠BAF=∠ABF, .∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠BCD+∠CBF= ∠BAE+∠CBF=∠ABF+∠CBF=9O°，记CD与BF 交于点G,则∠BGC=90°，.CD⊥BF.(2)①BF⊥ CD②如图，延长BF至点G使得FG=FB,连接 AG,则△AFG≌△EFB,∴.AG=BE=BD,∠G= ∠EBF,∴.AG∥BE,∴.∠GAB+∠ABE=180°，又 :∠DBC+∠ABE=180°，∴.∠GAB=∠DBC.在 (AG=BD, △GAB和△DBC中，∠GAB=∠DBC,∴.△GAB≌ AB=BC, △DBC(SAS),∴.CD=BG=2BF,∴.CD=2BF. D 7.解析：(1)证明：P、M分别是BD、BA的中点， PM=号AD.:P、N分别是BD,CD的中点， PN=2BC.又：AD=BC,PM=PN, .∠PMN=∠PNM.(2)证明：.P、M分别是BD、 BA的中点，∴.PM∥AD,.∠PMN=∠AEM.'P、 中考数学压 N分别是BD、CD的中点，.PN∥BC,∴.∠PNM= ∠F,又∠PMN=∠PNM,.∠AEM=∠F. (3)△CGD是直角三角形.证明如下：如图，取BD的 中点P,连接PM,PN,则PM=方AD=BC=PN, PM∥AD,.∠PMN=∠ANM=60°，.△PMN是等 边三角形，∴.∠PNM=60°，PN∥BC,∴∠CGN= 60°，，∠CNG=∠ANM=60°，.△CGN是等边三角 形，∴.DN=CN=GN,.∠DGN=∠GDN= z∠CNG=30,∠CGD-∠cGN+∠DGN=90, .△CGD是直角三角形. 第5节尺规作图 1.解析：(1)作图思路：以点B为圆心、BC为半径作圆 弧交AD于点C',作∠CBC'的平分线与CD的交点即 为点E,(2)CE=5 D 2.解析：(1)如图1，作线段AC的垂直平分线，与AQ 交点即为点O.(2)如图2，作∠CBQ的平分线，与射 线CP的交点即为点M.(3)如图3，过点M作 MH⊥AQ于点H,则MH=MC=12,,'sinA= AMM120,.AH16,设BH=BC sin A 3a,则AB=5a,.AH=8a=16,.a=2,∴.BM= √/BH2+MH=6√5， M 图1 轴题得高分 3· 格点与AB的交点即为点P,AM=2,AB=4√2，可 得AP② 1 图3 3.解析：(1)①如图1.②如图2.(2)矩形ABCD的 面积为4√3. 图1 图2 7.解析：(1)①如图1所示，点M即为所求.②如图2 所示，点P即为所求. 图1 图2 4.解析：(1)如图1，分别延长BA、CA,与半圆分别交 B B 于点F、E,连接EF,则EF∥BC.(2)如图2，分别连 接BE、CF并延长交于点P,连接PA与半圆交于点 Q,连接BQ,则∠QBC=45°. 图1 图2 (2)如图，M、N即为线段EF的三等分点. 图1 图2 P/P2 5.解析：【任务阅读】△OEP≌△OFP【实践操作】如 图所示，以点B为圆心、AP为半径作圆弧与以点P 为圆心、AB为半径作圆弧交于点Q,则PQ∥AB.证 M 明如下：，AP=BQ,AB=PQ,.四边形ABQP是平 (3)如图，提供3种方法供参考. 行四边形，∴.PQ∥AB. B 6.解析：【操作探究】an∠DCE=号 【拓展应用】 (1)如图1，取点N,连接AN并延长与⊙O的交点即 为点P.证明如下：由题意可得AP⊥OM,连接OP,可 B 得OM垂直平分AP,.PM-AM.(3)如图2，连接8.解析：(1)如图1所示.(2)如图2所示.(3)如图 中考数学压轴题得高分 ·24- 3所示.(4)如图4所示. 图1 图2 G 图3 图4 第4章二次函数 第1节二次函数的图像与性质 1.D解析：函数表达式变形为y=a(x-1)2-3,得 顶点坐标为(1，一3)，又由抛物线与x轴有2个交点， 可得开口向上，故A、B、C选项均错误；f(2)=f(0)< 0,故D选项正确」 2.A解析：抛物线对称轴为直线x=-名：3<6< 4,. -<-合<-，可得0-()< 3 -2-(-8)<1-(-名)1<<. 3.①②⑤ 4.C 5.①②④解析：当x=0时，y=3,.二次函数y= x2一2ax+3的图像过点(0,3)，向下平移3个单位长 度后得到的图像经过原点，故结论①正确；将a=一1 代入得y=x2十2x+3,构造函数y=x2+2x+3 （-),得)(+)+>0恒成立y=+ 2x十3的图像在函数y=一x图像的上方，故结论② 正确；由题意得，当x>a时，y随x的增大而增大，故 结论③错误；当x=a时，y取到最小值为一a2+3≤3， 中考数学压 ·2 ,这个函数的最小值不大于3，故结论④正确.综上所 述，正确的是①②④！ 6.B解析：将表达式化为顶点式得y=a(x一1)2十 2,即b=-2a>0,c=a+2,,a<0,∴.不能确定c的 符号，故结论①错误；由题意得，对称轴为直线x=1, ,抛物线开口向下，.当x>1时，y随x的增大而减 小，故结论②正确；将(3,0)代入得a(3一1)2十2=0， 解得a=7,放结论③正确：将y=a(x-1)+2向 左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得y= ax2,故结论④错误.综上所述，正确的结论是②③， 7.C解析：由图像可得a<0,b<0,c<0,∴.abc<0, 结论①正确；对称轴为直线x=二2，：一2f -2,即b=4a,当x=-1时，y=a-b十c>0,将b= 4a代入人得-3a十c>0,故结论②正确；a<0,.当 x=一2时，函数取到最大值，对任意x=t,都有a· (-2)2+b·(-2)+c≥at2+bt+c,即4a-2b≥ at2+bt,.'a<0,∴.a(4a-2b)≤a(at2+bt),即4a2- 2ab≤at(at十b),故结论③错误；.y1=y2,.点A(x1, y)和点B(x2,y2)关于对称轴对称，.1十工=一2， 2 12m<-4, .x1十x2=-4,. 解得一5<m<一2，故 2(m+3)>-4, 结论④正确综上所述，正确的说法有3个。 8.②③④解析：对称轴为直线x=一1十m<0,且 2 a<0,.b<0,故结论①错误；将抛物线y=ax2+十 bx十c向右平移1个单位长度，得新抛物线表达式为 y=a(x-1)2+b(x-1)+c,且过点(0,1)和点(m+ 1,1),抛物线开口向下，∴.当0<x<1时，函数值大 于1，即a(x-1)2+b(x-1)+c>1,故结论②正确； 将a=-1和点(-1,1)代入得c=b+2,代入方程 得-x2+bx十b=0,由对称轴位置得2 -1,+1,.-1<6<0,4=b2+46<0,小方程ax2+ 2 bx十c=2无实数解，故结论③正确；由题意可得点A 轴题得高分 5第3章 几何模型 第5节 尺规作图 作为一类古老的几何问题，尺规作图问题在中考中展现出新的活力，名义上是作图题，实则蕴 藏着推理与计算，了解作图背后的原理，会发现这是个很有趣的话题 》知识导航 (2)作一个角的平分线； B ≥1.基本作图 令例口(2025·无锡)如图，AC为正方形 ABCD的对角线. (3)作一条线段的垂直平分线； (1)尺规作图：作AD的垂直平分线1交AD于 点E,在L上确定点F,使得点F到∠BAC的两 边距离相等.（不写作法，保留痕迹） B (2)在(1)的条件下，求∠EFA的度数.（请直接 写出∠EFA的度数) D (4)过一点作已知直线的垂线； C解析(1)如图所示，作∠BAC的平分线，与 (5)过直线外一点作这条直线的平行线； 直线L的交点即为点F 法1：如图，作∠QCD=∠QOB,得 CD∥AB. D A B (2)∠EFA=22.5°. 法2：如图，在AB上取点M,作MN= $基本作图 MC,作PC=PN=MN,即四边形CMNP 是菱形，得CP∥AB. (1)作一个角等于已知角； A M M 一B 103 以壹学知道中考数学压轴题得高分m B 作平行线还有很多方法，可以从“如何证 平行”的角度思考 (6)已知三边、两边及夹角、两角及夹边 作三角形； (7)已知底边及底边上的高线作等腰三 角形； (8)已知一直角边和斜边作直角三角形； 法3：连接PO并延长，以点P为圆心、PO为半 (9)过不在同一直线上的三点作圆； 径作圆弧，以点O为圆心、⊙O的直径为半径 作圆弧，记两条圆弧交于点C,连接OC交⊙O (10)作三角形的外接圆、内切圆； 于点Q,连接PQ,PQ即为⊙O的一条切线 (11)作圆的内接正方形和内接正六边形； (△POC是等腰三角形，且Q是OC中点，可得 (12)过圆外一点作圆的切线 PQ⊥OQ) 令例2(2021·南京)如图，已知P是⊙0外 一点.用两种不同的方法过点P作⊙O的一条 切线 要求：(1)用直尺和圆规作图；(2)保留作图的痕 迹，写出必要的文字说明， ≥2.推理与计算 ®例3(2023·淮安改编)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°. 尺规作图：作⊙O,使得圆心O在边AB上，⊙O C解析法1：连接PO,作PO的中点M,以点 过点B且与边AC相切于点D.(请保留作图痕 M为圆心、MO为半径作圆，与⊙O交于点Q, 迹，标明相应的字母，不写作法) 连接PQ,PQ即为⊙O的一条切线 B C解析作∠ABC的平分线交AC于点D,过 点D作DO⊥AC交AB于点O,以点O为圆 心、OB为半径作圆，⊙O即为所求。 法2：连接OP交⊙O于点A,过点A作OP的 垂线，与以点O为圆心、OP为半径的圆弧交于 点B,连接OB交⊙O于点Q,连接PQ,PQ即 为⊙O的一条切线.（可证△OQP≌△OAB,得 OQ⊥PQ) 104 第3章 几何模型 思路分析 多方法总结 可先大致画出满足条件的图形，然后分 利用无刻度的直尺和圆规作图，或根据 析其满足的条件，由此得出画图的关键点. 图中线段的位置关系，或根据数量关系，对于 在例3中，由“⊙O过点B且与边AC相 每一个问题，感悟其背后的作图原理，积累会 切于点D”可得BD平分∠ABC,先作出点 有更多收获. D,便可得点O. ®例4(2023·天水)1672年，丹麦数学家莫 彦3.单尺作图 尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆 ®例5(2024·江西)如图，AC为菱形 规可以完成一切尺规作图.1797年，意大利数学 ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求 家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的 完成以下作图.（保留作图痕迹） 著作《圆规的几何学》中.请你利用数学家们发 (1)如图1，过点B作AC的垂线. 现的结论，完成下面的作图题： (2)如图2，E为线段AB的中点，过点B作AC 如图，已知⊙O,A是⊙O上一点，只用圆规将 的平行线 ⊙O的圆周四等分. E 图1 图2 ○解析设⊙0的半径为1，则需由“1”构造出 C解析(1)连接BD,即为所求垂线. “√2”，考虑到（√2）2=(3)2一12，如图所示： ①以点A为圆心、OA长为半径，自点A起，在 ⊙O上逆时针方向顺次截取AB=BC=CD; ②分别以点A和点D为圆心、AC长为半径作 (2)延长CE、DA交于点F,连接BF,则BF∥AC 弧，两弧交于⊙O上方点E; ③以点A为圆心、OE长为半径作弧交⊙O于 G、H两点.即点A、G、D、H将⊙O的圆周四 等分 形4.网格作图 ®例6(2019·金华)如图，在7×6的方格纸 中，△ABC的顶点均在格点上.试按要求画出 线段EF(E、F均为格点)，各画出一条即可. 105 以壹学知道中考数学压轴题得高分● BC的中点F; ②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中， △ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作 △ABC的高AH. 图1EF平分BC 图2EF⊥AC B 图1 图2 图3EF垂直平分AB ○解析如图所示. 图3 B B ○解析(1)如图，连接AO并延长与圆相交，再 图1EF平分BC 图2EF⊥AC 作该直径的垂直平分线，即可得圆内接正方形 图3EF垂直平分AB (2)①如图1，连接AC、BD交于点M,则M是 ®例7(2019·无锡)按要求作图，不要求写 BD的中点，连接BE与CM相交，交点即为三 作法，但要保留作图痕迹 条中线的交点，连接D与该交点并延长，与BC (1)如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不带刻 的交点即为点F.②如图2，先作边AC、AB 度)和圆规作出⊙O的内接正方形 的高，再得边BC的高AH. (2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平 分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点， 三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性 质：三条高所在直线相交于一点， 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图， 图1 图2 ①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作 106M )第3章 几何模型 」真题演练 1.(2025·淮安)如图，已知矩形ABCD. (1)尺规作图：在边CD上找一点E,将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上.（不写作 法，保留作图痕迹) (2)在(1)所作图形中，若AB=3,BC=5,求CE的长. D 2.(2024·扬州)如图，已知∠PAQ及边AP上一点C. (1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ.(保留作图痕迹，不写 作法) (2)在(1)的条件下，以点O为圆心、OA为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺和圆规在射 线CP上求作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等.（保留作图痕迹，不 写作法) (3)在1(2)的条件下，若sinA-号，CM=12,求BM的长. P C 9 107 么壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 3.(2022·准安)如图，已知线段AC和线段a. (1)用直尺和圆规按下列要求作图.（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） ①作线段AC的垂直平分线L,交线段AC于点O; ②以线段AC为对角线，作矩形ABCD,使得AB=a,并且点B在线段AC的上方. (2)当AC=4,a=2时，求(1)中所作矩形ABCD的面积. 4.(2019·江西)在△ABC中，AB=AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻度的直尺分别 按下列要求画图（保留画图痕迹）. (1)在图1中作弦EF使EF∥BC (2)在图2中以BC为边作一个45的圆周角. 图1 图2 108M 第3章) 几何模型 5.(2025·宿迁)实验活动：仅用一把圆规作图. 【任务阅读】如图1，仅用一把圆规在∠AOB内部画一点P,使点P在∠AOB的平分线上. 小明的作法如下： 如图2，以点O为圆心、适当长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点E、F,再分别以点E和点F 为圆心、大于2EF长为半径画弧，两弧交于点P,则点P即为所求点。 理由：如图3，连接EP、FP、OP,由作图可知OE=OF,PE=PF,又因为OP=OP,所以 所以∠EOP=∠FOP,所以OP平分∠AOB,即点P为所求点. 【实践操作】如图4，已知直线AB及其外一点P,只用一把圆规画一点Q,使点P、Q所在直线与 直线AB平行，并给出证明.（保留作图痕迹，不写作法） A A F B 图1 图2 A B D B B 图3 图4 109 壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 6.(2022·宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、 B、C、D、M均为格点. 【操作探究】 在数学活动课上，佳佳同学在如图1的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、 CD,相交于点P,并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE. 在R△ABC中，an∠BAC=,在R△CDE中， 所以tan∠BAC=tan∠DCE,所以∠BAC=∠DCE, 因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°， 所以∠APC=90°，即AB⊥CD, 【拓展应用】 (1)如图2是以格点O为圆心、AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在BM上找出一点P,使 PM=AM,写出作法，并给出证明， (2)如图3是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P,使AM2= AP·AB,写出作法，不用证明 B B M B 图1 图2 图3 110 第3章 几何模型 7.(2024·镇江)主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图. 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC,仅用一把无刻度的直尺作DE、 BC的中点. D E D E B 图1 图2 操作：如图2，连接BE、CD交于点P,连接AP交DE于点M,延长AP交BC于点N,则M、N 分别为DE、BC的中点. 理南：由DE∥BC可得△ADM△ABN及△AEMO△ACN,所以-A,-兴所 以DMBN EM-CN,同理，由△DMPD△CNP及△EMPO△BNP,可得PN-MP,EM_MP CN=NP'BN=NP,所以 EMBN,所以BNCN DM CN CN-BN,则BN=CN,DM=EM,即M、N分别为DE、BC的中点. 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹. (1)如图3，l1∥12，点E、F在直线12上. ①作线段EF的中点； ②在①中作图的基础上，在直线12上位于点F的右侧作一点P,使得PF=EF. (2)小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（兔为 正整数)的线段.如图4,11∥12，已知点P1、P2在11上，他利用上述方法作出了P2P3= P3P4=P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点， 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹. (3)如图5，DE是△ABC的中位线.请在线段EC上作出一点Q,使得QE=}CE.(要求用两种 3 方法) PPPP D E F B 图3 图4 图5 壹学知道中考数学压轴题得高分● 8.(2024·武汉)如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC的三 个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过 三条 (1)在图1中，画射线AD交BC于点D,使AD平分△ABC的面积. (2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E,使∠ECB=∠ACB (3)在图2中，先画点F,使点A绕点F顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交BC于点G, (4)在(3)的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画出对应线段MN(点A与点M对应，点B与 点N对应). B 图1 图2 112