第5章 第5节 菱形存在性间题-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

.点N的横坐标为2；②若∠ABN=90°，如图2，过点 B作BN⊥AB交抛物线于点N,则直线BN的函数表 达式为y=-x十3，联立方程-x2-2x十3=-x十3， 解得x3=-1,x4=0(舍去)，.点N的横坐标为一1； ③若∠ANB=90°，设点N的坐标为(n,-n2-2n+ 3),当点N在AB上方时，如图3，构造△APN △NQB,则G-8器aP=:2+3,PN n-(-3)=n+3,NQ=-n,BQ=-n2-2n+3- 3=-n2-20,-n2-2m+3-m+3 -n -n2-2n,解得n1= -1-√5 ,,2=一1十5（舍去），“点N的横坐标为 2 。5,当点N在AB下方时，如图，的范 △APN△NQ,则GAp-a3. PN=-n2-2n+3,NQ=3-(-n2-2n+3)=n2+ 2m,BQ=n,n十3=二n-2n+3,解得m, n2+2n -1+√5 4=-15(舍去)，“点N的横坐标为 2,n4= 2 -1十5综上所述，点N的横坐标为2或-1或 2 =15或1+5 2 2 VA (FN B 图1 图2 B O E O PC 图3 图4 中考数学压 第5节菱形存在性问题 4 1.解析：(1)将x=0代人直线y=3x十4得y=4, “点C的坐标为0，，将y=0代入直线y=号x十4 得x=一3，∴.点A的坐标为（一3,0）.抛物线对称轴 为直线x=一1，则A、B关于直线x=一1对称，.点 B的坐标为(1,0)，设抛物线的函数表达式为y= a(x+3)(x-1),将(0,4)代人得-3a=4,解得a= 一3，心抛物线的函数表达式为y=一2-8 4 4 3x+4. (2)存在..AC是对角线，∴AP=CP,设点P的坐 标为(-1，t),则AP2=(一1+3)2+(t一0)2=t2+4, CP2=(-1-0)2+(t-4)2=t2-8t+17,.t2+4= -8十17，解得4-号点P的坐标为(-1，号)： 3 取AC的中点M,则点M的坐标为（一2,2），而M是 PQ的中点，∴点Q的坐标为（一2，器）。 2.解析：（1)对称轴是直线x=-1,且B(1,0), ∴.A(一3,0)，∴.二次函数的表达式为y=(x-1)(x十 3)=x2+2x-3.(2).点Q在y轴上，.MN∥CQ, 即MN与CQ是一组对边，连接CN,则△CMN是等 腰三角形.将x=0代入抛物线的函数表达式得y= -3,.点C的坐标为(0，-3)，由(1)得，点A的坐标 为(-3,0)，.直线AC的函数表达式为y=-x一3， 设点P的坐标为(m,0),则点M的坐标为(m,一m 3),点N的坐标为(m,m2+2m-3),.MN= |m2+3ml,MC=W2m.①若MN=MC,则|m2+3m= W2m,解得m=-3十√2或m=-3-√2或m=0(舍 去).当m=一3十√2时，点M的坐标为（一3十√2， 一√2)，点N的坐标为(-3+√2,2-4W2),.CQ= MN=-2十3W2,.点Q的坐标为(0，-1-3W2);当 m=一3一2时，点M的坐标为（一3一√2，W2),点N 轴题得高分 5· 的坐标为(-3-√2,2+4√2)，.CQ=MN=2+3√2， ∴.点Q的坐标为(0，-1十3W2).②若MN=CN,则 ∠NCM=∠NMC=45°，∴.∠MNC=90°，∴.△MNC 是等腰直角三角形，∴.点N的坐标为（一2，一3），点M 的坐标为(-2，一1)，.CQ=MN=2,∴.点Q的坐标 为(0，-1).综上所述，点Q的坐标为(0，一1-3√2)或 (0,-1+3√2)或(0，-1). 第6章坐标系中的角 第1节特殊角的构造 1.D解析：如图，过点N作NH⊥AB交AB于点 H.:an∠ABM=号，∴tam∠ABN=是，∴NH 6X318 5=5,BH=6X4=24 5 =号过点N作NQ⊥AD交 AD于点Q,则DQ=AD-AQ=6-S-号，NQ AH AB BH =6-24= 5 DN v@+@-√借+(T-65 D H B 2.6解析：由题意可得tan∠EDC=tan∠AED= ,AB=5,∴BF=10,∴.CF=BF-BC=10-4=6. 3.解析：(1)如图1，∠a+∠3=45°.(2)如图2， ∠a十∠g=90.(3)如图3，tan0=2 图1 图2 中考数学压 图3 4.解析：(1)由题意，得C(0,一3)、D(2,-3),故可求 得抛物线的函数表达式为y=x2一2x一3，点E坐标 为(1，-4).(2).A(-1,0)、C(0,-3), iam∠0CA-82-3,又Z0AP+∠0A-46,可 1 得tan∠OAP=2,lP:y=2(x+1)或lP:y= -2x十1D.将x=1代入y=2x+1),得y=1:将 1 x=1代人y=号(x+1D,得y=-1点卫的坐标 为(1,1)或(1，-1). 5.解析：(1)将B(3,0)代入y=mx2+(m2+3)x一 (6m+9)得9m+3(m2+3)-6m-9=0,∴.3m2+ 3m=0,解得m1=一1，m2=0(舍去)，.m的值为-1. 抛物线的函数表达式为y=一x2十4x一3，可得点C 坐标为(0，一3)，.直线BC的函数表达式为y=x一3. (2)如图，过点A作AM⊥AC交CQ于点M,过点M 作MH⊥x轴交x轴于点H.令y=-x2十4x-3=0, 解得x1=1,x2=3,.A(1,0),.OA=1;C(0, -3),.OC=3.∠ACQ=45°，∠CAM=90°， ∴.∠AMC=45°=∠ACQ,∴.AM=AC.,∠1+∠3= 90°，∠2+∠3=90°，.∠1=∠2.又.∠MHA=90°= ∠AOC,∴.△MHA≌△AOC(AAS),∴.HM=OA= 1,AH=OC=3,.点M的坐标是(4，一1)..直线 CM的函数表达式为y-号4-品联立得方程x 1 7 3=一x2+4x一3，解得x1=2x2=0(舍去)，将x1= 名代人y=-3,得y=-点Q的坐标为 轴题得高分 6·以壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 第5节 菱形存在性问题 除了平行四边形的性质外，菱形还满足四边都相等以及对角线互相垂直，因此坐标系中的菱形 的点坐标需满足更多要求，从这一点出发探究菱形的存在性问题. 4a-2+c=0, 炒知识导航 a.x2+x十c,得 解得 16a+4+c=0, 1 两定两动 a= 2’抛物线的函数表达式为y= 2x21 c=4, ®例1☐(2023·邵阳改编)如图，在平面直角 x+4. 坐标系xOy中，抛物线y=ax2十x十c经过点 (2)将x=0代人抛物线的表达式得y=4,∴.点 A(-2,0)和点B(4,0),且与直线1：y=一x一1 C的坐标为(0,4)，连接BC、BM、CM,则 交于D、E两点（点D在点E的右侧），M为直 △BCM是等腰三角形，由题意得点M的坐标 线l上的一个动点，设点M的横坐标为t. 为(t,-t-1),.BM2=(t-4)2+(t+1)2, (1)求抛物线的函数表达式. CM2=t2+(t+5)2,BC2=32.①若BM=CM, (2)抛物线与y轴交于点C,R为平面直角坐标 如图1，即(t-4)2+(t+1)2=t2+(t十5)2，解 系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是 得1=-2点M的坐标为(-2，-2)， 菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标. .BC与MR互相平分，由题意得BC中点的坐 标为(2,2点R的坐标为(2，：@若 BM=BC,如图2，即(t一4)2十(t十1)2=32，解 得，=3十39，t2=339 二，.点M的坐标为 2 3+,,-5,)或(3， -5+√39 21 2 2 2 .MR∥BC且MR=BC,可得点R的坐标为 (丽，9j5西，3+) ③若CM=CB,如图3，即t2+(t+5)2=32,解 符61=-5。丽=-5丽点M的坐 备用图 ⊙解析(1)将A(一2,0)、B(4,0)代入y= 标为(5面，3+)或(54丽 72 第5章 特殊图形存在性问题 3-√39 ,,MR∥CB且MR=CB,.点R的 思路归纳 3-39,-5+3）或 对于构成菱形的4个顶点A、B、C、D,任 坐标为（2 3+√39 ，2 2 意连接其中3个顶点，可得等腰三角形，常见 -5-√39 题型的设计为“已知两个定点，有一动点在抛 2 物线或直线上，还有一点在坐标系中”，可先 签上所述，点R的坐标为(8)或 考虑抛物线上或直线上的动点，与已知两个 画)成(5面，+ 定点构成等腰三角形，再确定坐标系中的点. 2 2 思路概括：先等腰，后菱形 此外，若是“一定三动”类型，则可在平行 四边形的点坐标关系基础上，由邻边相等再 加一个等式，解三元方程组求得结果 思路概括：先平四，后菱形 ≥2.一定三动 D ®例2(2021·鄂尔多斯改编)如图，抛物线 y=x2十2x一8与x轴交于A、B两点(，点A在 图1 点B左侧)，与y轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标. (2)点M在y轴上，点N在直线AC上，P为抛 物线对称轴上一点.是否存在点M,使得以C、 M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直 接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 图2 B B M B 备用图 ○解析(1)A(-4,0)、B(2,0)、C(0,-8), (2)设点M的坐标为(0，m),点N的坐标为 图3 (n,一2n一8)，点P的坐标为（一1，p).按如下 173 以壹学知道中考数学压轴题得高分m 情况分类讨论： ③当CP为对角线时，由题意得 ①当CM为对角线时，由题意得 0-1=0+n, 0+0=n-1, m=-12, -8+p=m-2n-8, 解得 一8十m=一2n-8+p,解得 n=1, 点 (0-0)2十(m+8)2=(n-0)2+(-2n)2, -2n-8=p, b=-10, m=-8+√5， m=-8-√5， M的坐标为(0，-12)； n=-1, 或n=-1, .点M的坐 ②当CN为对角线时，由题意得 力=-6+5， =-6-√5， 0+n=-1+0, 标为(0，-8+5)或(0，-8-5) -8-2n-8=饣+m, (0-0)2+(-8-m)2=(0+1)2+(-8-p)2, 综上所述，点M的垒标为0，-12》或0,2) m、22 4 或(0，-8+5)或(0，一8-√5) 解得a=-1,六点M的坐标为0，一2贸)： 29 174M C)第5章 特殊图形存在性问题 》真题演练 1.(2022·烟台改编)如图，已知直线y=3x十4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y= 4 ax2+bx+c经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=一1. (1)求抛物线的函数表达式 (2)若点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标系内，是否存在点P、Q,使以点A、C、P、Q为顶点的 四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. V 2.(2023·广安改编)如图，二次函数y=x2+bx十c的图像交x轴于点A、B,交y轴于点C,点B 的坐标为(1,0)，对称轴是直线x=一1，P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M,交抛 物线于点N. (1)求这个二次函数的表达式. (2)在y轴上是否存在点Q,使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有 满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 175