第3章 第4节 中点的构造-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分● 第4节 中点的构造 中点是几何综合题中常见的条件，与中点相关的内容有倍长中线、直角三角形斜边中线、三角 形中位线等，结合具体条件灵活选择方法。 ∠EFA=∠BFG,.∠G=∠BFG,∴.BF= 》知识导航 BG,又.BG=AC,.BF=AC 彦1.倍长中线 ®例1(2020·德州改编)问题探究： 小红遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中， AB=6,AC=4,AD是中线，求AD的取值范 围.她的解法是：延长AD至点E,使DE=AD, 连接BE,证明△BED≌△CAD,经过推理和计 算使问题得到解决。 (1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是 模型归纳 当三角形中给出中线时，可将中线延长 (2)AD的取值范围是 一倍，构造一组旋转型全等，转移线段和角的 (3)如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取 位置，由新的位置关系探寻数量关系等. 一点F,连接BF并延长交AC于点E,使 如图1，AD是△ABC的一条中线.延长 AE=EF.求证：BF=AC. AD至点E使得DE=AD,可得△ADC≌ △EDB,则有AC=BE,AC∥BE. B D B 图1 图2 C解析(1)SAS. (2)1<AD<5. 图1 图2 (3)如图，延长AD至点G使得DG=AD,连接 如图2，在△ABC中，E是AB边一点， AD=GD, D是BC的中点，连接ED并延长至点F使 BG,在△ADC和△GDB中，{∠ADC=∠GDB, 得DF=DE,可得△BDE≌△CDF,则有 DC=DB, BE=FC,BE∥FC. ∴.△ADC≌△GDB(SAS),.AC=BG, 不仅是中线，过中点的线段都可考虑倍 ∠DAC=∠G..AE=EF,∴.∠EAF= 长，同样达到转移边、角位置的目的 98 第3章 几何模型 ∠ACB=60°，AC=1,D是边AB的中点，E是 ≥2.直角三角形斜边中线 边BC上一点.若DE平分△ABC的周长，则 ®例2(2023·凉山州)如图，边长为2的等 DE的长是 边三角形ABC的两个顶点A、B分别在两条射 线OM、ON上滑动，若OM⊥ON,则OC的最 大值是 D B ○解析如图，延长BC至点F使得CF=CA, 连接AF..DE平分△ABC的周长，∴.E是 B BF的中点，又D是AB的中点，DE= A M 2AF,:∠ACB=60,·∠ACF=120,又 C解析如图，取AB的中点P,连接OP、PC, 则0P=2AB=1,PC=BAP=3,0C≤ 女AC=1AF=3,DE= 2. OP+PC=1+√3，当O、P、C共线时，OC取到 最大值1+3. B D 模型归纳 (1)中位线定理：三角形的中位线平行于第三 《模型归纳 边，且等于第三边的一半。 如图，M是Rt△ABC斜边AB的中点， 如图1，在△ABC中，E、F分别是边 则MC 2AB. AB、AC的中点.则EF∥BC,EF=2BC. E M B 反之，若△ABC的中线CM=。AB,可 图1 2 (2)中位线构造 证得△ABC是直角三角形， 如图2，在△ABC中，E是边AB的中点. 彦3.三角形中位线 构造：取AC的中点F,连接EF.则 ®例3(2018·武汉)如图，在△ABC中， EF∥BC,EF-=2BC 99 以壹学知道中考数学压轴题得高分m C解析如图，连接BD,则OE=BD=3,过 点F作FN⊥CD于点N,则∠NFD= ∠EDG=∠ABG,又.BG=DF,∴.△ABG≌ B 图2 △NFD,DN=AG=号AB=E,PN= 如图3，在△ABC中，B是AE的中点，C AB=BC,可得△BCM≌△FNM,.CM= 是AF的中点. NM-,FM-BM-2/5,.0M-DF- 构造：连接EF.则BC∥EF,BC=2EF. 5,EM-BF-BM-2/5,CAoR-OE+ EM+OM=3+3√5. B 图3 如图4，在△ABC中，B是AE的中点 构造：延长AC至点F使得CF=AC,连 接EF.则BC∥EF,BC= 。EF 彦4.中点四边形 例5(2024·山西)在四边形ABCD中， E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中 B 点，EG、FH交于点O,若四边形ABCD的对角 线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为 图4 () A.互相垂直平分 令例4(2022·南通)如图，点O是正方形 B.互相平分且相等 ABCD的中心，AB=3√2.在Rt△BEF中， C.互相垂直且相等 ∠BEF=90°，EF过点D,BE、BF分别交AD、 D.互相垂直平分且相等 CD于点G、M,连接OE、OM、EM.若BG= C解析AC=BD,EF-AC=GH,EH= DF,tan ∠ABG= 3,则△OEM的周长 2BD=FG,EF=HG=EH=FG,∴四边形 为 EFGH是菱形，∴.EG与FH互相垂直平分. 00 )第3章 几何模型 》真题演练 1.(2022·广州)如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE=1,∠ABE的平分线交 AD于点F,M、N分别是BE、BF的中点，则MN的长为 () 1 3 B. 2 C.2-√3 D.6-2 2 F D E O E B (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2021·泰州)如图，在四边形ABCD中，AB=CD=4,且AB与CD不平行，P、M、N分别是 AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S,则S的取值范围是 3.(2022·滨州)正方形ABCD的对角线相交于点O(如图1)，如果∠BOC绕点O按顺时针方向旋 转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F(如图2)，连接EF,那么在点E由点B运动到点A 的过程中，线段EF的中点G经过的路线是 () A.线段 B.圆孤 C.折线 D.波浪线 4.(2023·沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3,点D在直线AC上，AD=1,过 点D作DE∥AB交直线BC于点E,连接BD,O是线段BD的中点，连接OE,则OE的 长为 D E B D (第4题) (第5题) 5.(2022·安顺)如图，在△ABC中，AC=2√2，∠ACB=120°，D是边AB的中点，E是边BC上一 点，若DE平分△ABC的周长，则DE的长为 () 5 A.2 B②+1 C.√2 2 D.3 101 么壹学知道中考数学压轴题得高分 6.(2024·泰安)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=CB,点D、E分别在AB、 CB上，DB=EB,连接AE、CD,取AE的中点F,连接BF. (1)求证：CD=2BF,CD⊥BF. (2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置 ①请直接写出BF与CD的位置关系： ②求证：CD=2BF. 图1 图2 7.(2023·东营)(1)用数学的眼光观察 如图1，在四边形ABCD中，AD=BC,P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的 中点.求证：∠PMN=∠PNM. (2)用数学的思维思考 如图2，延长图1中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点 F.求证：∠AEM=∠F. (3)用数学的语言表达 如图3，在△ABC中，AC<AB,点D在AC上，AD=BC,M是AB的中点，N是DC的中 点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°，试判断△CGD的 形状，并进行证明. E D D G D D M B M M B 图1 图2 图3 102M(2)m=n.理由如下：，OH=OB,∴.OC平分∠BCD, ∴∠ODC+∠OCD=2(∠ADC+∠BCD)=9O, ∴∠COD=90,可得△DA0△OBC,:DA-A0, OB BC, 2=ab十 ab 代人得ab=2,.m=2十a十2+bab十aab十b月 1+b十1十a=m.(3)记AD=a,BC=b,由(2)同理 b a 可得ab=1,由相似可得。十方=，即x=a6 a a+b 1 1 ,1 a十b,同理FG- 。十，即FG=EG=x； 4 4 1 AR:BE-AB.ER-CD-0+6- B距+记+cD+甘+2 4 xxxx 12.解析：(1)证明：在□ABCD中，∠ECQ+∠B 180°..∠EFP+∠AFE=180°，∠B=∠AFE, ∴.∠ECQ=∠EFP.又EC=EF,∠CEQ=∠FEP, .△EFP≌△ECQ(ASA).(2)设DQ=x,则AF= AB=CD=x+8.△EFP≌△ECQ,.∠P= ∠EQC,EP=EQ,EF=EC,∴.EP-EC=EQ-EF, 即CP=FQ,又∠CGP=∠FGQ,.△CGP≌△FGQ (AAS),∴.FG=CG=3,PG=QG=5.由题意得 △P0 GAPBA货-祭代A得28=iE 5 解得x=4,.DQ=4.(3)由题意得△EFPC∽ PF EF 1.BE AB n+1 △ECQ,心CQ=EC=2,Ep=AP +2 8e-器 n十2 2n+1 CG 2m十2 4n+5,六DG 2n+1 2n+1 (2n+1)+(4n+5)6n+6 第4节中点的构造 1.D解析：正方形的面积是3，∴.BC=√3.CE= 1,∴tan∠CBE=3,.∠CBE=30.BF平分 ∠ABE,∴.∠ABF=∠EBF=30°，∴.AF=1,∴.DE= 中考数学压 DF=√3一1，如图，连接EF,则EF=√2DE=√6一 VE.“MN分别是BE、BF的中点，MN=2EF= √6-√2 21 F A D B 2.0<S≤2解析：由题意得PM=2AB=2,PV= =2,:APMN是腰长为2的等腰三角形 PM1PN时，S取到最大值，此时S=号×2X2=2, 2 ∴.S的取值范围是0<S≤2. 3.A解析：连接OG,BG,则BG=号EF=0G点 G在线段OB的垂直平分线上. 4或 解析：如图1，当点D在线段AC上时， 取CE的中点F,连接DF,则EF=BE=CF=1, ∴.DF=√CD2+CF?=√5..O、E分别是BD、BF的 中点20E=2DF=写 :如图2，当点D在线段CA 的延长线上时，同理可得OE=2DF=综上所 述，0E的长为我 图1 图2 5.C解析：如图，延长BC至点F使得CF=CA. .DE平分△ABC的周长，且D是边AB的中点，∴.E 是BF的中点，∴.DE∥AF.:∠ACB=120°， 轴题得高分 2 ∠ACF=60°，且CF=CA,.△ACF是等边三角 形AF=AC=2EDE=2AF=E。 D 6.解析：(1)在Rt△ABE中，，F是AE的中点， BF-AE.BA BC,BE BD./ABE- ∠CBD,∴.△ABE≌△CBD(SAS),.CD=AE, ∴.CD=2BF.△ABE≌△CBD,∴.∠BAE= ∠BCD,:BF=2AE=AP,∠BAF=∠ABF, .∠ABF+∠CBF=90°，∴.∠BCD+∠CBF= ∠BAE+∠CBF=∠ABF+∠CBF=9O°，记CD与BF 交于点G,则∠BGC=90°，.CD⊥BF.(2)①BF⊥ CD②如图，延长BF至点G使得FG=FB,连接 AG,则△AFG≌△EFB,∴.AG=BE=BD,∠G= ∠EBF,∴.AG∥BE,∴.∠GAB+∠ABE=180°，又 :∠DBC+∠ABE=180°，∴.∠GAB=∠DBC.在 (AG=BD, △GAB和△DBC中，∠GAB=∠DBC,∴.△GAB≌ AB=BC, △DBC(SAS),∴.CD=BG=2BF,∴.CD=2BF. D 7.解析：(1)证明：P、M分别是BD、BA的中点， PM=号AD.:P、N分别是BD,CD的中点， PN=2BC.又：AD=BC,PM=PN, .∠PMN=∠PNM.(2)证明：.P、M分别是BD、 BA的中点，∴.PM∥AD,.∠PMN=∠AEM.'P、 中考数学压 N分别是BD、CD的中点，.PN∥BC,∴.∠PNM= ∠F,又∠PMN=∠PNM,.∠AEM=∠F. (3)△CGD是直角三角形.证明如下：如图，取BD的 中点P,连接PM,PN,则PM=方AD=BC=PN, PM∥AD,.∠PMN=∠ANM=60°，.△PMN是等 边三角形，∴.∠PNM=60°，PN∥BC,∴∠CGN= 60°，，∠CNG=∠ANM=60°，.△CGN是等边三角 形，∴.DN=CN=GN,.∠DGN=∠GDN= z∠CNG=30,∠CGD-∠cGN+∠DGN=90, .△CGD是直角三角形. 第5节尺规作图 1.解析：(1)作图思路：以点B为圆心、BC为半径作圆 弧交AD于点C',作∠CBC'的平分线与CD的交点即 为点E,(2)CE=5 D 2.解析：(1)如图1，作线段AC的垂直平分线，与AQ 交点即为点O.(2)如图2，作∠CBQ的平分线，与射 线CP的交点即为点M.(3)如图3，过点M作 MH⊥AQ于点H,则MH=MC=12,,'sinA= AMM120,.AH16,设BH=BC sin A 3a,则AB=5a,.AH=8a=16,.a=2,∴.BM= √/BH2+MH=6√5， M 图1 轴题得高分 3·