第3章 第3节 常见相似模型-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分m 第3节 常见相似模型 相似三角形是初中几何的重要部分，也是解决其他几何问题的一种重要方法，在前面的章节中 已经出现了部分相似的模型，另有一些常见的模型以及基本结论，本节将逐一介绍. B 》知识导航 彦1.A字型与8字型 令例1(2022·镇江)如图，点A、B、C、D在 C解析由题意得∠A=∠BDE,'.△BDE∽ 网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点 △BAC.,△BDE与四边形ACED的面积比 O,小正方形的边长为1，则AO的长等于() 为4：21，小SAMc S△BDE 4.BE 2.BE 2 25…BC=5·CE=3 B 等模型归纳 (1)“A”字型 D A.2 C62 D92 C解析连接AB、CD,则△AOB∽△DOC, 在△ABC中，若DE∥BC,则△ADE∽ ÷80-88-号AD=5a0-号AD=2 AD AE DE △ABC,AB-ACBC 恩例2(2023·成都)如图，在△ABC中，D (2)“8”字型 E D 是边AB上一点，按以下步骤作图： ①以点A为圆心、适当长为半径作弧，分别交 AB、AC于点M、N; ②以点D为圆心、AM长为半径作弧，交DB 若ED∥BC,则△ABC∽△ADE, AD 于点M'; AB ③以点M'为圆心、MN长为半径作弧，在 AE DE AC BC ∠BAC内部交前面的弧于点N'; ④过点N'作射线DN'交BC于点E. 22.反A字型与反8字型 若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21， 奥的值为 ®例3(2025·苏州)如图，在△ABC中， AC=3,BC=2,∠C=60°，D是线段BC上一 88 第3章)几何模型 点（不与端点B、C重合），连接AD,以AD为 90°，如图，可得AC2=AD·AB;BC2= 边，在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE BD·BA;DC2=DA·DB.(射影定理) 与线段AC交于点F,则线段CF长度的最大值 为 B B DC 变式3：连接BE、CD交于点O,则图中 C解析，∠ADF=60°=∠C,.△AFD∽ 有哪些相似三角形？ AF AD △ADC.AD-AC,AF·AC=AD,即 AF-号AD2,当AF最小时，CF最大，当 DLBC时，AD取到最小值33，AF最小 C⊙解析△ADE∽△ACB>AD·AB= 值为}×(3)-，此时CF=AC-AF AE·AC→ABAE AC AD →△AEBD△ADC→ ∠ABE=∠ACD△BOD∽△COE→OB· 色，CF长度的最大值为是 0E=OD·OC→ OB OC →△B0C∽ 号模型归纳 △DOE. (1)反A字型： A字型与反A字型：将△ADE对称得 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、 △AD'E',即由A字型得反A字型. AC上.若∠ADE=∠C,则△ADEn △ACB,可得AD·AB=AE·AC.(共边之 积相等) D B (2)反8字型： 将8字型中的△ADE作关于∠DAE平 分线对称的△AD'E',即得反8字型， 变式1：若点E与点C重合，如图，可得 AC2=AD·AB.(平方式，找母子) E B B 如图，点D、E分别在CA、BA的延长线 B C(E) 上，若∠D=∠B,则△BACP△DAE,可得 变式2：在“变式1”的条件下，若∠ACB= AB·AE=AC·AD.(共边之积相等) 89 以壹学知道中考数学压轴题得高分m B4 变式：连接BD、CE,则△DABU∽△EAC. C解析法1：如图，过点E作EG∥AD,则 8蛋-認邵-8肥- CG CE B ®例4(2018·常州)如图，在三角形纸板 ABC中，AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一 点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小 D G 三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是 法2：△BEC被AD所截，：BD.CA.EP DC AE FB 1,代入程×× =1,CD BD 3 2 A B 模型归纳 C解析如图，其中有三组始终存在：△CPQ∽ 在三角形中，若已知两组比例关系，可通 △CAB,△APQ∽△ACB,△APQp△ABC. 过构造平行线求得第三组比例关系，或可运 用梅涅劳斯定理直接解决问题， 梅涅劳斯定理 如图，△ABC被直线Dr所藏，则识 ‘-1. BF CE 若ACP0△cBA,则器得当点Q与分 即顶点到截点.顶点到截点。 截点回顶点截点回顶点 重合时，AP取到最小值，代入得CP=1,此时 顶点到截点-1. 截点回顶点 AP=3,∴.AP的取值范围是3≤AP<4. A顶点 ≥3.构造平行线与梅涅劳斯定理 截点D E截点 ®例5(2021·连云港)如图，BE是△ABC 顶点B F截点 的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点 顶点 BD D,若BF=3FE,则 DC 证明：法1：如图，过点C作CP∥DF交 90M 第3章) 几何模型 BF BD CE PD.AD CF 2 AB于点P,则FC DP'EA-DA'DB DF- 4CD 品×号-瑞 BF CE AD BD PD FCEA-DB'DP·DA=1. 谚4.三平行模型 ®例7(2024·南通改编)如图，已知△ABC 的角平分线AD=1,∠BAC=60,求B+C 的值. 法2：连接BE,AF,DB AD_S△AFE BF SABFE'FC SABFE CE SACFE AD BF CE B SACFE'EA S△AFE DB FC EA C解析法1：如图，延长BA至点N使得 S△AFE S△BFE S△cFE=1. S△BFE S△CFE S△AFE AN=AC,延长CA至点M使得AM=AB,连 接BM、CN,∴.△CDA∽△CBM,△BDA D DA CD DA BD.DA+ △BCN,·BM-CB'CN-BC,·BM DA CD BD 1 1 B CN CB BC上1，+CNAD卫 梅涅劳斯定理的运用，关键在于确定哪 .∠BAC=60°，∠BAM=∠CAN=120°，可 个三角形被哪条线所截，描出条件与问题中 得BM=3AB,CN=3AC,代入得1十 的线段，三角形即显现.除了求线段比例本身 √5AB 外，也可以通过比例求线段的长 1 =1,即+=。 1 3AC 令例6(2020·山西)如图，在Rt△ABC中， M ∠ACB=90°，AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足 为D,E为BC的中点，AE与CD交于点F,则 DF的长为 B 法2：如图，过点D作DH⊥AB于点H,则 C解折：CDAB,.CD-号，AD- 9 sin∠BAD= AD,即DH=AD·sin∠BAD, D 5 AD 9 BD=8,BD16△BCD被AE所截J ∴.SAABD= 2AB·DH=9AB·AD· 器器附1代人若1 Sin∠BAD,同理可得S△Acn=2AC·AD 91 以壹学知道中考数学压轴题得高分 sin∠CAD,S△ABc= 2AB·AC·sin∠BAC. A.36 cm B.40 cm C.42 cm D.45 cm :SAABC=SAABD十SACD,Sin∠BAD C解析由题意可得动+0怎得OH= AC 36cm. mAD_BAC,代入得AB+C= 1 AB AD 彦5.三角形内接矩形 AD=3. ®例9(2022·东营)如图，在△ABC中，点 F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边 形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是△ABC的 高，BC=8,AD=6,那么EH的长为 模型归纳 如图，AB∥CD,AD交BC于点E,过点 E作EP∥AB交BD于点F,可得AB DG D解析设EF=x,则EH=2x,记AD与EH 1 1 CD EF 交点为M,由题意得△AEH)△ABC, ..AM_EH 职代入得后-行解得=吕 即EH=24EH的长为器 由【例7】的“法2”可知：在△ABC中，D是 零模型归纳 边BC上一点，则m∠BAD+sin∠CAD AC AB 如图，在△ABC中，D、E在边BC上， sin∠BAC G、F分别是AB、AC上的点，且四边形 AD DEFG是矩形.作AN⊥BC分别交GF、DE AM GF 于点M、N.则有ANBC y ®例8(2023·南京)如图，不等臂跷跷板 AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的 B 高度为60cm;当AB的一端B碰到地面时，另 D 一端A到地面的高度为90cm,则跷跷板AB 特别地，若矩形DEFG是正方形，记边 的支撑点O到地面的高度OH是 () 长为d,则AN-dd A B 11 A B 理得 AN十BC=d 92 第3章) 几何模型 ≥6.黄金分割 ®例10(2024·南充)如图，已知线段AB,按 以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB,使BC= (2)常用比例：AC=AB BC_AC_√5-1AB 号AB连接AC;②以点C为圆心，BC长为半 ACW5+1BC3-√5 BC 2 AB 2 径画弧，交AC于点D;③以点A为圆心、AD (3)相关构图：如图，在正方形ABCD 长为半径画弧，交AB于点E.若AE=mAB,则 中，E是边AD的中点，CF平分∠BCE交 m的值为 AB于点F.则F是线段AB的黄金分割点. E A.5-1 B.5-2 2 2 C.W5-1 D.5-2 证明：延长CF与DA的延长线交于点 C解析设BC=a,则AB=2a,AC=√5a. G,设AD=2m,则AE=m,CE=√5m. ,∠G=∠BCF=∠ECF,∴.EG=EC= .'CD=CB=a,..AD=AC-CD=(5-1)a, AE√5-1 5m,可得A5-AG5-1 ∴.AE=AD=(5-1)a,∴.m= FB BC 2 AB 2 G 号模型归纳 (1)黄金分割点：如图，点C在线段AB ,若BC=AG,则称C为线段AB的黄金分 B 割点 93 以壹学知道中考数学压轴题得高分● 》真题演练 1.(2025·广东)如图，在矩形ABCD中，E、F是边BC上的三等分点，连接DE、AF相交于点G, 连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是 () A细 .3 C.30 2 10 0.3 NP E B (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2023·济南)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，以点C为圆心、BC为半径作弧交AC 于点D,再分别以点B和点D为圆心、大于2BD的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线CP 交AB于点E,连接DE.下列结论不正确的是 () A.∠BCE=36° B.BC=AE C.BE-5-1 D SAAFC=5十1 AC 2 S△BEC 2 3.(2025·连云港)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB,BE⊥AD,E 为龙，则品的值为 () A.23 C53 2 u号 4.(2025·宿迁改编)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D在边AB上，过点A作 AELCD交CD的延长线于点E,则SD 别DE的最小值是 M B D (第4题) (第5题) (第6题) 5.(2025·南通)如图，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线，把网格图分 成了两个部分，其中△BMN的面积为3，则sin∠MNB的值为 6.(2018·深圳)在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点 F,且AF=4,EF=√2，则AC= 94 )第3章) 几何模型 7.(2025·成都)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在边AC上，AD=3,CD=2,∠CBD=45°，则 tan∠ACB的值为 ;点E在BC的延长线上，连接DE,若∠CED=∠ABD,则CE的长 为 A O Q D F B C (第7题) (第8题) 8.(2024·武汉)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个 全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形 ABCD的两边于点E、F,记正方形ABCD的面积为S1,正方形MNPQ的面积为S2.若BE= kA正(>1，则用含为的式子表示的值是 9.(2025·广东)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称 此线段被分为中外比，这个点称为中外比点. (1)如图1，P是线段MN的中外比点，MP>PN,MN=2,求PN的长 (2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y=(>0,x>0)的图像分别与矩形OABC的边 AB、BC相交于点D、E,与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究D、 E、F是否分别为AB、BC、OB的中外比点，并证明. D M P N B A 图1 图2 图3 95 壹学知道中考数学压轴题得高分● 10.(2025·连云港)一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长为2m,面积为1.5m2. (1)甲、乙两人分别用它按图1、图2设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大， (2)丙、丁两人分别用它按图3、图4设计一个长方形桌面.请分别求出图3、图4中长方形的面积 y(m)与DE的长x(m)之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值. G F E 图1 图2 图3 图4 11.(2025·长沙)如图1，点O是以AB为直径的半圆的圆心，AD与BC均为该半圆的切线，C、D 均为直径AB上方的动点，连接CD,且始终满足CD=AD十BC. (1)求证：CD与该半圆相切. 2 2 2)当半径r三2时，令AD=a,BC=b,m2.2+bn142十1比较m与n的天 小，并说明理由. (3)在(1)的条件下，如图2，当半径r=1时，若E为CD与该半圆的切点，AC与BD交于点G, 4 1 连接EG并延长交AB于点F,连接AE、BE,令EG=x'AE·BE十FG十CD=y,求y关 于x的函数表达式.（不考虑自变量x的取值范围） O万 图1 图2 96M 第3章 几何模型 12.(2025·成都)如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点B关于直线AE的对称点F落在平行 四边形ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交边CD于点Q. 【特例感知】 (1)如图1，当CE=BE时，点P在BC的延长线上，求证：△EFP≌△ECQ. 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长. 【拓展延伸】 (3)如图2，当CE=2BE时，点P在边BC上，若0-，求CC 求DG的值.（用含m的代数式表示） D E 图1 图2 9790°，∴.△AQF是等腰直角三角形，∴.∠AFQ=45°. 为MN,脚巼-兴当EN的延长线过AC的巾点 0时，EN取到最大位此时器-=3,6是的 最小值是3. 图1 图2 ():AD∥B球，器=铝=受：AB∥cD, 小器器营如图2过点E作EH1CD于点， 5.y6-2 4 解析：设BM=a,BN=b.,S△BMN= 则△ABF≌△EHG,.GH=BF=x,.DG+BE= 2BM·BN=3,∴BM·BN=6,即ab=6.取格点C DG+CH=2-x,∴.BE=CH=2-x-y,代入得 2-x一y=x 2整理得y=x十2·y与x之间的关 如图所示，则△MAC△MNB,AC=MC, “NBMB,代人得 系式为y=42红 1=a-1,整理得a十b=ab=6,∴.a、b是一元二次方 b a x+2· 第3节常见相似模型 程x2-6x十6=0的两个实数根，解得a=3一√3，b= 1.B解析：过点G作MN⊥AD分别交AD、BC于点 3+√3，.MN=√BM+BN=2√6，.sin∠MNB= MN,可特8微器=号GN=2iam∠GCF= BM_3-3_√6-√2 MN 2/6 4 GN 21 CN 63 D 6.8v10 解析：在Rt△ABC中，∠BAC十∠ABC= EN F 5 2c解新器-325 90,:(∠BAC+∠ABC)=45,即∠BAF+ ∠ABF=∠AFE=45°.如图，连接CF,则CF平分 3.A解析：如图，延长AC、BE交于点F.,AD平分 ∠ACB,∴.∠ACF=45°，△AEF△AFC, ∠BAC,可得△AEB≌△AEF,即BF=2BE.由题意 ∴，AF2=AE·AC.过点E作EH⊥AD于点H,则 得ACDABCF,架-C-3,即0-， △EHF是等腰直角三角形..EF=√2，AF=4, 8品-28 ..EH=FH =1,AH=3,.AE=10,..AC= AF242=8W10 AE√/10 5· 4.3解析：如图，分别过点C、E作AB的垂线，垂足 中考数学压轴题得高分 ·20· 7.4217 解析：如图，分别过点A、D作BC的垂 k /S△OCE CE CE·BC 3 √S矩形OABC NS△OCB BC BC2 线垂足为M,N,则-识-设CN=a,则 BE BE BP OB-OE0器161E √BC=BC'OF OF BE一BEOB=OF,F是OB的中外比点； MN=3g.DN BN =8a,:tan ZACB=CN=4.E=CE OFBF :∠CED=∠ABD,且∠CED+∠CDE=∠ACB=②若∠ODE=90°，同理可证. ∠ABC=∠ABD十∠DBC,·∠CDE=∠DBC=10.解析：(1)设题图1中正方形边长为Q,由题意得 45°，.△ECD∽△EDB,∴.ED2=EC·EB.又 ,ED2=EN2+DN2,∴.EN2+DN2=EC·EB.设 4ADEn△MCB.祀-2器代人得5-兰】 1.52 CE=x,代人得(x+2a)+(8a)P=x(+10a),解得解得a=9设题图2中正方形边长为b,如图，过点C 34 3a.tan∠ACB=4,CD=2,.CN=2,即作CN⊥AB分别交DE、GF于点M、N,由题 a-gc-×-2 △CDB∽△CAB,小0R脂代人得-名， 3 A 解得6-韶：-器器遥图1的正方形面积 较大 B MNC k2+1 8.k-1)2 解析：设AM=BN=m,AN=BP=n, 由梅涩劳斯定理得能·S·-1,代入得名· EB·PN·MA (2)题图3：DE=x,∴.CD=AC-AD=g-3 24x, n n-m =1,.n=km.S1=AB2=AN2+ n-m m y=子+，当=1时y取 BN2=m2+n2=(k2+1)m2,S2=(n-m)2=(k- 到最大值子；题图4：：DE=x,DG- AD= 1)2·m3=k2+1 S2(k-1)21 -号=号+=号+ 6 5x,当 9解标：①油短意将兴设PV=,则P 4- 时y取到最大值子 2代人得2号。-2，解号x=35,:-3十山解折：(1证男明，如周连接C0并蓝长交DA的延 长线于点P,可得△BOC≌△AOP,∴.AP=BC, √5（舍去），∴.PN=3-5.(2)略(3)显然∠DOE .CD=AD+BC=AD十AP=DP,△CDP是等 ≠90°.①若∠OED=90°，则△OCE≌△EBD,记 腰三角形，连接OD,则OD平分∠ADC,过点O作 CE=BD=a,OC=EB=b,·S△ocE=S△oAD,.ab= OH⊥CD于点H,则OH=OA,∴.CD与该半圆相切. (b+a)(b-a)=b2-a2,∴.b2=a2+ab=a(a+b),即 D ECE·BC,E-CE是BC的中外比点 又.a2=b2-ab=b(b-a),即BD2=AD·AB, 部-0D是AB的中外比点，又8E 中考数学压轴题得高分 ·21 (2)m=n.理由如下：OH=OB,∴.OC平分∠BCD,DF=√3-1，如图，连接EF,则EF=√2DE=√6- ∠ODC+∠0CD=专（∠ADC+∠BCD)=90,2.MN分别是BE,BF的中点，MN=EF= ·∠COD=90,可得△DA0△OBC,:DA-A0, OB BC' √6-√2 2 2 ab ab 代人得ab=2,m三2年2十2十bab十aab十 F A D 中6+1千。=，(3)记AD=a,BC=b,由(2)同理 b N 可得的-1，由相似可得片+石-士即x一6 a+6 。6同理元=日+合即G=G= 1 B 2.0<S≤2解析：由题意得PM=名AB=2,PN= 4 41 1 六AE:BEAB:EF=2,CD=a+b=立，y= a距+记+D-++3 4 之CD=2,△PMN是腰长为2的等腰三角形，当 xxxx 12.解析：(1)证明：在☐ABCD中，∠ECQ+∠B= PMLPN时，S取到最大值，此时S二2×2×2=2 180°.∠EFP+∠AFE=180°，∠B=∠AFE,∴.S的取值范围是0<S≤2. ∠ECQ∠EPP又EC=BF,∠CEQ=∠FEP,3.A解折：连接OG.BG,则BG=号EF=0OG∴点 ∴.△EFP≌△ECQ(ASA).(2)设DQ=x,则AF= AB=CD=x+8.△EFP≌△ECQ,.∠P= G在线段OB的垂直平分线上. ZEOC EP-EE-PC-E9-EF 解析：如图1，当点D在线段AC上时， 即CP=FQ,又∠CGP=∠FGQ,∴.△CGP≌△FGQ 取CE的中点F,连接DF,则EF=BE=CF=1, (AAS),∴.FG=CG=3,PG=QG=5.由题意得 △PCG0△PBA,爵-代A得8=平6 5 ∴.DF=√CD2+CF?=√5.，O、E分别是BD、BF的 解得x=4,.DQ=4.(3)由题意得△EFP∽ 中点0E-号DF-停：知图2，当点D在俊段CA PF EF1.BE AB- △ECQ,CQ=EC=2,EPAP n+1 的延长线上时，同理可得OE-DF-耍综上所 2 器器胎 n十2 述，0服的长为或 2n+1 CG 2m+2 4m+5·0 2m+1 2n+1 (2n+1)+(4n+5)6n+6 第4节中点的构造 图1 图2 1.D解析：正方形的面积是3，.BC=√3.CE= 5.C解析：如图，延长BC至点F使得CF=CA. an∠CBE3,∠CBE=30.BF平分DE平分△ABC的周长，且D是边AB的 ∠ABE,∠ABF=∠EBF=30°，.AF=1,∴.DE=是BF的中点，∴.DE∥AF.:∠ACB=120°， 中考数学压轴题得高分 ·22·