第3章 第2节 十字架模型-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

D 第3章 几何模型 第2节 十字架模型 十字架模型是正方形及矩形中的一个常见模型，学习几何模型，从一般条件出发，到等价条件 的归纳，再由部分条件联想构造模型，层层递进，需要不断加深对模型的理解. 》知识导航 CD上，记AM与BN交于点H. D 彦1.十字架模型 ®例1☐(2023·黄石)如图，在正方形ABCD B 中，点M、N分别在AB、BC上，且BM=CN, AN与DM相交于点P. (1)若BM=CN,可得△ABM≌ (1)求证：△ABN≌△DAM. △BCN,且AM=BN; (2)求∠APM的度数. (2)若AM⊥BN,可得△ABM≌ △BCN,且AM=BN; (3)若AM=BN,亦可得△ABM≌ △BCN. 模型变式1 如图，点M、Q、N、P分别在正方形 C解析(1)在正方形ABCD中，AB=BC. ABCD的边AB、BC、CD、DA上. .BM=CN,∴.AB-BM=BC-CN,即 D AM=BN.在△ABN和△DAM中， (AB=DA, M ∠ABN=∠DAM,∴.△ABN≌△DAM(SAS). BN=AM, B (2),△ABN≌△DAM,.∠1=∠2.∠1+ 若MN⊥PQ,则有MN=PQ. ∠3=∠BAD=90°，.∠APM=∠2+∠3=90° 证明如下：平移PQ、MN或分别过点P、 M向对边作垂线，证明全等即可. 2 D D N B M B B 模型归纳 在正方形ABCD中，点M、N分别在BC、 反之，若MN=PQ,那么MN⊥PQ吗？ 83 壹学知道中考数学压轴题得高分 不一定，如图，MN=PQ=PQ',显然 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕 MN与P'Q'不垂直. 迹，写出必要的文字说明， C解析(1)如图1，取适当位置作点G,作 GH⊥EF交AD于点H. 模型变式2 图1 如图，在矩形ABCD中，M、N分别是 (2)法1：如图2，连接QS,作RT⊥QS且RT= BC、CD边上的点.若AM⊥BN,则△ABMC∽ △BCN,AMAB QS,连接PT,即为所求； 'BN BC' B M 图2 法2：如图3，连接PS、QR,分别取中点M、N, ®例2(2024·南京)(1)如图1，点E、F分 分别以PS、QR为直径作⊙M、⊙N,作MG⊥ 别在正方形ABCD的边AB、CD上，连接EF. PS交⊙M于点G,作NH⊥QR交⊙N于点 求作GH,使点G、H分别在边BC、AD上（均 H,连接GH并延长交⊙M于点T,连接PT即 不与顶点重合)，且GH⊥EF. 为所求， D E 图1 图3 (2)已知点P、Q、R、S的位置如图2所示，若它 们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同 ≥2.模型构造 的方法求作该正方形过点P的边所在的直线. ®例3(2023·扬州)如图，已知正方形 P ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC Q 上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在边 S CD上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形 R EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 图2 84M 第3章) 几何模型 E D 1-x-(-)--2,BC=EH=号 2x.由题意得CF2+B'C2=B'F2,代入得x2+ B (停-2a)=(1-x,解得z=8C的长 B F ○解析如图，连接BB',则BB'⊥EF,过点F 作FH⊥AD于点H,则△BCB'≌△FHE.设 CF=x,则BF=1一x.,四边形ABFE与四边 形EFCD的面积比为3：5，.四边形ABFE的 面积是，即E十)：AB-代人得 AE---EH-AH-AE- 85 以壹学知道中考数学压轴题得高分● 》真题演练 1.(2024·广西)如图，在边长为5的正方形ABCD中，E、F、G、H分别为各边中点.连接AG、BH、 CE、DF,交点分别为M、N、P、Q,那么四边形MNPQ的面积为 () A.1 B.2 C.5 D.10 F D G D M N E E (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2021·黔西南)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE、DF交于点G,连接 AG.现有下列结论：①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF.其中正确的结论是 （) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.(2022·山西)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且 BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF,垂足为M,交边CD于点N.若BE=5, CN=8,则线段AN的长为 4.(2025·济南)如图，在正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使 点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F.若CG=4,EF=4√3，则 AB= D B H (第4题) (第5题) 5.(2024·威海)将一张矩形纸片（四边形ABCD)按如图所示的方式折叠，使点C落在AB上的点 C'处，折痕为MN,点D落在点D'处，CD'交AD于点E.若BM=3,BC'=4,AC'=3,则DN= 86M 第3章) 几何模型 6.(2023·菏泽)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，AE⊥DF,垂足为G.求 证：△ADE∽△DCF. 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，AE=DF,延长BC到点H,使 CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H. 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED= 60°，求CF的长 A B B 图1 图2 图3 7.(2021·淄博)已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F,连接AF,一条与AF垂直的直线l (垂足为P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E. (1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示.求证：AE=BF. (2)当直线1经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q,连接FQ,如图2所示.求∠AFQ的 度数 (3)直线L继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G,如图3所示.设 AB=2,BF=x,DG=y,求y与x之间的关系式. D F 图1 图2 图3 87)由(2)可得，当为=3时，A5=2,记BE=EC=a,EF=43.设AB=x,则DC=x一4.在Rt△ADC中 则AB=3a.如图2，延长AP、EF交于点Q,过点Q作AD+DG2=AG2,代人得x2+(z-4)=(4V3),解 QM⊥BC交BC的延长线于点M.:∠PAE=45°，得x1=2+2W5,x2=2-25(舍去)，AB=2+25. ∴.△AEQ是等腰直角三角形，可得△ABE≌△EMQ, ∴.MQ=BE=a,EM=AB=3a,∴.CM=2a,∴.BC= CM,..AP=PQ,.AE=EQ=2EF,..EF=FQ= 2EQ,PF是△AEQ的中位线，AE=2PF= B“产 25.,AE=√AB2+BEz=√10a,.√10a=2√5， 解析：.BM=3,BC'=4,∴.CM=C'M=5.连 ∴.a=√2，∴.BC=2√2. 接CC',过点N作NH⊥BC于点H,则△NHM∽ 第2节十字架模型 1.C解析：由题意得DC=D △CBC沿-代入得名- OP GC -1,:.DQ-QP- 8=4,HM= 2DN-CH-BC-BM-HM=3 21 2CN=CP,又DC=5,∴DQ= √5，由题意得四边形MNPQ是正方形，∴.面积S= 0 PQ=5. 2.D 3.4√34解析：设正方形ABCD边长为x.,BE=5, CE=x-5.CN=8,∴.DN=x-8.如图，过点G6.解析：(1)易证∠DAE-∠CDF,又：∠ADE= 作GH⊥BC于点H.:AN⊥EF,可得△ADN≌∠DCF,△ADEO△DCF.(2)易证△ADE≌ AGHE,.EH DN=x-8,:DG CH=(a- △DCF,∴.DE=CF,.CF=CH..DC⊥FH,.DF= 5)-(x-8)=3.由题意得△FDGO△FCE,FP DH,.∠DFC=∠H..AD∥BC,.∠ADF=∠DFC, FC .∠ADF=∠H.(3)CF=3. C,代入得写=：3解得z=20,AN=7.解折：(D AF DE,∠ADE十∠DAF=90 :∠BAF+∠DAF=90°，∴.∠ADE=∠BAF,又 √JAD2+DNz=√/202+12=434，即AN的长为 :∠DAE=∠ABF,DA=AB,△DAE≌△ABF 4√34. (ASA),AE=BF.(2)如图1，连接AQ,过点Q作 MN⊥AD交AD于点M,交BC于点N,则MN⊥ G BC.在正方形ABCD中，∠ADB=45°，∠MQD= M 45°，∴.MD=MQ,∴.AM=QN.:PQ垂直平分AF, ∴.QA=QF.又，∠AMQ=90°=∠QNF,∴.△AMQ≌ E H △QNF(HL),∴.∠MAQ=∠NQF.:'∠MAQ+ 4.2+2√5解析：连接AG,则AG⊥EF,可得AG=∠AQM=90°，∠NQF+∠AQM=90°，∴.∠AQF= 中考数学压轴题得高分 ·19 90°，∴.△AQF是等腰直角三角形，∴.∠AFQ=45°. 为MN,脚巼-兴当EN的延长线过AC的巾点 0时，EN取到最大位此时器-=3,6是的 最小值是3. 图1 图2 ():AD∥B球，器=铝=受：AB∥cD, 小器器营如图2过点E作EH1CD于点， 5.y6-2 4 解析：设BM=a,BN=b.,S△BMN= 则△ABF≌△EHG,.GH=BF=x,.DG+BE= 2BM·BN=3,∴BM·BN=6,即ab=6.取格点C DG+CH=2-x,∴.BE=CH=2-x-y,代入得 2-x一y=x 2整理得y=x十2·y与x之间的关 如图所示，则△MAC△MNB,AC=MC, “NBMB,代人得 系式为y=42红 1=a-1,整理得a十b=ab=6,∴.a、b是一元二次方 b a x+2· 第3节常见相似模型 程x2-6x十6=0的两个实数根，解得a=3一√3，b= 1.B解析：过点G作MN⊥AD分别交AD、BC于点 3+√3，.MN=√BM+BN=2√6，.sin∠MNB= MN,可特8微器=号GN=2iam∠GCF= BM_3-3_√6-√2 MN 2/6 4 GN 21 CN 63 D 6.8v10 解析：在Rt△ABC中，∠BAC十∠ABC= EN F 5 2c解新器-325 90,:(∠BAC+∠ABC)=45,即∠BAF+ ∠ABF=∠AFE=45°.如图，连接CF,则CF平分 3.A解析：如图，延长AC、BE交于点F.,AD平分 ∠ACB,∴.∠ACF=45°，△AEF△AFC, ∠BAC,可得△AEB≌△AEF,即BF=2BE.由题意 ∴，AF2=AE·AC.过点E作EH⊥AD于点H,则 得ACDABCF,架-C-3,即0-， △EHF是等腰直角三角形..EF=√2，AF=4, 8品-28 ..EH=FH =1,AH=3,.AE=10,..AC= AF242=8W10 AE√/10 5· 4.3解析：如图，分别过点C、E作AB的垂线，垂足 中考数学压轴题得高分 ·20·