第3章 第1节 K字型与一线三等角模型-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

在R△CFQ中，CQ-&CF,QF=VT,CF,则EM=DN=8-,SAE=2x·(8-x) .BF=k·AF+√R2+1·CF 2x2十4x,当x=4时，SADe取到最大值8. 1 第3章几何模型 D 第1节K字型与一线三等角模型 6.一2+2√5解析：过点A作x轴的垂线，垂足为C, 1.(-4,8) 过点B作AC的垂线，垂足为D,则△AOC≌△BAD, 2.D解析：a+b=AB十BC=AC<ED=c,故结论∴.AC=BD=2,AD=OC=m,.点B的坐标为(m十 ①正确；a+b=AB+AE>BE=√a2+b,故结论②2,2-m),.2m=(m+2)(2-m),解得m1=-1十 正确：a十6-AB十AE>BE=BDE=臣c, √5，m2=-1-√5（舍去），.k=2m=2×(-1+ 2 2c, √5)=-2+2√5. ∴√2(a十b)>c,故结论③正确.综上所述，所有正确结 7.解析：(1)4√2(2)√2(3)证明略(4)①当点F 论的序号是①②③， 在△ABC内时，延长EF交BC于点M,若点E到BC 36解折：由短张得△CDE△EA,小架器·的距商是点F到C距商的：解，熙古 EM2,由题意 设BC=r,则DE=r-3,CD=AB=r十1，代人得 字3，解得=5CD=十1=6. 得△DAEn△EBM.小能-需=名，BE 3 2AD=4,.AE=AB-BE=4√2-4；②当点F在 4.B解析：由题意得当点E与点A重合时，DF= DB=2-.aD分∠BC品指-方 △ABC外时，记EF交边BC于点N,可得 FN=2,由 题查得△DAE△FBN小记-B5-多：BE CD-号BD=反-1BC=2-E+6w5-1)=1. 号AD-号AE=AB-BE-4-合综上所述， ∠CEF=45°=∠BAC=∠ABC,可得△AEC∽ △BFE,部-E代人得2= 1 AE的长为42-4或42- Γ31 2-√2-y√2-x y=-区十2-厄，当红-时y-8厄 该图很上最低点的坐标为停，号一) 8.解析：（1)由题意得△CBMp△MEH,. BC EM 5.8解析：如图，分别过点C、E作BA的垂线，垂足 BM 分别为N、M.由题意得△DNC≌△EMD,由 EH,设BM=x,则EM=BE-BM=10-x,代人得 Sin∠ABC=Cd=,得CN=4,BN=8.设BD=x, 2一=工 10-x-12,解得x1=4,x2=6,点M与点B之间 中考数学压轴题得高分 ·17 的距离是4或6.(2)由题意得△CBM∽△MEH,作AQ⊥AC交CM的延长线于点Q,过点Q作 BC BM EMEA设BMx,则EM-BE=BME0=C,QHLz销于点H,则△COA∽△AHQ,&品 、∥ 代人得10-2EHE=-2x2+5x,当x=5 2 x 1 HQAQ2…AH=10,HQ=2,点Q的坐标为 OA CA 1 时，HE取到最大值，最大值为.。(3)22 （一1，一2)，…直线CQ的函数表达式为y=一2 3 9.解析：【感知】：∠DAE十∠AED=90°，∠CEB+ 5,联立得-1-6x-5=吕c-5,解得1= 63 11’ ∠AED=90°，∴.∠DAE=∠CEB.又：∠D=∠C, AE DE △ADED△ECB,EB-CB· 【探究】如图1，过 x=0(舍去)，点M的横坐标为-3 111 点G作GM⊥DC于点M.由(1)得△ADE∽△ECB, EF ED ∴.Ag-DE,同理可得△FDE∽△EMG,GEGM B 既铝0E-0cB-GM,:BC1cD. N GM⊥CD,∴.∠C=∠GMH=90°.又·∠BHC= ∠GHM,∴.△BCH≌△GMH(AAS),∴.BH=GH.11.解析：(1)∴.∠AHE=∠ECF.,AB=BC,BH= 【拓展】如图2，在FG上取点M使得∠EMB= BE,∴.AH=EC.,∠5+∠AEB=90°，∠6+ ∠EFA=∠AEB,可得△AFEO△EMB,:AE=EE ∠AEB=90°，∴∠5=∠6.在△AHE和△ECF中， EB BM' ∠5=∠6， 在FG的延长线上取点N使得∠N=∠DEC= AH=EC, ∴.△AHE≌△ECF(ASA), DE EF..AE ∠EFD,可得△DFEn△ENC,EC=NC·EB ∠AHE=∠ECF, .AE=EF.(2)如图1，在AB上取点H使得BH= DE·EF_EF ECBM-NC,BM=CN.'∠AEB+∠DEC= BE=号BC,则∠AHE=135=∠ECR.又 180°，∴.∠EMB+∠N=180°，∴.∠BMG=∠N.又 .∠BGM=∠CGN,∴.△BMG≌△CNG(AAS), :∠EAH=∠FEC,△AHED△ECF,:.AE EF ,∴.BG=CG AH 2 BC-2BC EC =k1,的值为1， 图 图2 10.解析：(1)设抛物线的函数表达式为y=a（x+ 1)(x+5),将(0，-5)代入得5a=-5,.a=-1,.抛 物线的函数表达式为y=-x2-6x-5.(2)过点A 图 图2 中考数学压轴题得高分 ·18 )由(2)可得，当为=3时，A5=2,记BE=EC=a,EF=43.设AB=x,则DC=x一4.在Rt△ADC中 则AB=3a.如图2，延长AP、EF交于点Q,过点Q作AD+DG2=AG2,代人得x2+(z-4)=(4V3),解 QM⊥BC交BC的延长线于点M.:∠PAE=45°，得x1=2+2W5,x2=2-25(舍去)，AB=2+25. ∴.△AEQ是等腰直角三角形，可得△ABE≌△EMQ, ∴.MQ=BE=a,EM=AB=3a,∴.CM=2a,∴.BC= CM,..AP=PQ,.AE=EQ=2EF,..EF=FQ= 2EQ,PF是△AEQ的中位线，AE=2PF= B“产 25.,AE=√AB2+BEz=√10a,.√10a=2√5， 解析：.BM=3,BC'=4,∴.CM=C'M=5.连 ∴.a=√2，∴.BC=2√2. 接CC',过点N作NH⊥BC于点H,则△NHM∽ 第2节十字架模型 1.C解析：由题意得DC=D △CBC沿-代入得名- OP GC -1,:.DQ-QP- 8=4,HM= 2DN-CH-BC-BM-HM=3 21 2CN=CP,又DC=5,∴DQ= √5，由题意得四边形MNPQ是正方形，∴.面积S= 0 PQ=5. 2.D 3.4√34解析：设正方形ABCD边长为x.,BE=5, CE=x-5.CN=8,∴.DN=x-8.如图，过点G6.解析：(1)易证∠DAE-∠CDF,又：∠ADE= 作GH⊥BC于点H.:AN⊥EF,可得△ADN≌∠DCF,△ADEO△DCF.(2)易证△ADE≌ AGHE,.EH DN=x-8,:DG CH=(a- △DCF,∴.DE=CF,.CF=CH..DC⊥FH,.DF= 5)-(x-8)=3.由题意得△FDGO△FCE,FP DH,.∠DFC=∠H..AD∥BC,.∠ADF=∠DFC, FC .∠ADF=∠H.(3)CF=3. C,代入得写=：3解得z=20,AN=7.解折：(D AF DE,∠ADE十∠DAF=90 :∠BAF+∠DAF=90°，∴.∠ADE=∠BAF,又 √JAD2+DNz=√/202+12=434，即AN的长为 :∠DAE=∠ABF,DA=AB,△DAE≌△ABF 4√34. (ASA),AE=BF.(2)如图1，连接AQ,过点Q作 MN⊥AD交AD于点M,交BC于点N,则MN⊥ G BC.在正方形ABCD中，∠ADB=45°，∠MQD= M 45°，∴.MD=MQ,∴.AM=QN.:PQ垂直平分AF, ∴.QA=QF.又，∠AMQ=90°=∠QNF,∴.△AMQ≌ E H △QNF(HL),∴.∠MAQ=∠NQF.:'∠MAQ+ 4.2+2√5解析：连接AG,则AG⊥EF,可得AG=∠AQM=90°，∠NQF+∠AQM=90°，∴.∠AQF= 中考数学压轴题得高分 ·19以壹学知道中考数学压轴题得高分心 第3章 几何模型 》》》》 第1节 K字型与一线三等角模型 K字型是经典的几何模型之一，也称为“三垂直模型”，模型本身并不复杂，更重要的是在于构 造模型解决其他几何问题，以及模型一般化得一线三等角模型的应用. 》知识导航 《模型归纳 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC, 彦1.K字型 ∠ACB=90°，分别过点A、B向一条过点C 的直线作垂线，垂足分别记为D、E.则 ®例1(2022·东营)如图，△OAB是等腰直 △ADC≌△CEB. 角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在反比例函数y=一(x>0)的图像上，则经过 点A的函数图像表达式为 证明：，∠ACD+∠DAC=90°= ∠ACD+∠ECB,∴.∠DAC=∠ECB, |∠ADC=∠CEB, 在△ADC和△CEB中， ∠DAC=∠ECB, C解析如图，分别过点A、B作x轴的垂线， AC=CB, 垂足分别为C、D,则△ACO≌△ODB,∴.AC= ∴.△ADC≌△CEB(AAS). OD,OC=BD.设点B的坐标为(m,),则点 模型变式1：K字型相似 若将条件中“等腰直角三角形ABC”改 A的坐标为（一m小一经过点A的函数图像 为“直角三角形ABC”,可得“K字型相似”. 如图，当∠D=∠ACB=∠E时，有 表达式为y= △ADC∽△CEB. D D 特别地，若C是DE的中点，则△ADC∽ 72 第3章 几何模型 △CEB∽△ACB. ®例3(2018·遵义)如图，在菱形ABCD B 中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落 在对角线BD上的点G处（不与点B、D重合）， 折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为 D 模型变式2：一线三等角模型 D 如图，∠D=∠ACB=∠E=a,AC= BC,则△ADC≌△CEB. B B ○解析由题意可得∠FDG=∠FGE G D ∠GBE=60,.△FGDD△GEB,B 若条件仅有∠D=∠ACB=∠E=a,则 C△FGD 可得△ADCP△CEB, CAGEB 8+6=7DG=2,BE=14, 8+25 ,即 令例2(2024·苏州)如图，A为反比例函数 BE的长为5： 14 y=- (x<0)图像上的一点，连接AO,过点 x 彦2.模型构造 0作OA的垂线与反比例函数y=4(x>0)的 例4(2024·南通)如图，在Rt△ABC中， 图像交于点B,则识的值为 ∠ACB=90°，AC=BC=5.正方形DEFG的边 长为5，它的顶点D、E、G分别在△ABC的边 上，则BG的长为 B A. B 3 C解析过点G作GH⊥AC交AC于点H,则 C解析分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分 △GHD≌△DCE,设AH=HG=DC=x,则 别为M,N,可得△AM0O△ONB,B0 AO DH=5-2x,在Rt△GHD中，DH2+HG2= DG2,代人得(5-2x)2+x2=(√5)2，解得x= S△AMO 11 2,∴.AH=2,AG=2√2，.BG=AB-AG= ANS△BNO V4 2 5√2-2√2=3√2. A D 73 么壹学知道中考数学压轴题得高分 ®例5(2024·达州)如图，在Rt△ABC中， C作PQ的垂线，垂足为P,则△CPMp ∠C=90°，点D在线段BC上，且∠BAD= 45°，若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 A0宽-0-高cp-店×号 32 6,∴m=2Cp=53 5 D C解析过点D作DE⊥AD交AB于点E,过 B 点E作EF⊥BC于点F,可得△ACD≌ 图1 △DFE,.EF=CD=1,DF=AC=4,由题意 法2：如图2，作∠OAP=60°，且AP=OA,连接 EF/AC,△BPEO△BCA, CP,过点P作NM⊥y轴于点M,过点C作 设BF=则BC=x十5，代A得千5-号解 MN的垂线，垂足为N,则△AOB≌△APC, AM=1,MP=√3，CN=2,由△AMP∽ 得x=号BC=9Sae=号c· △PNC,得-代人府一哥 2 AC=40 3 PN=23,m=MN=√5+2=53 33 D ®例6(2022·苏州)如图，点A的坐标为 (0,2),B是x轴正半轴上的一点，将线段AB 图2 绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若 ®例7(2023·丽水)如图，在四边形ABCD 点C的坐标为(m,3),则m的值为() 中，AD∥BC,∠C=45°，以AB为腰作等腰直 V 角三角形BAE,顶点E恰好落在边CD上，若 AD=1,则CE的长是 () B B C. 3 D.4/21 3 B C○解析法1：如图1，取AC的中点M,连接 BM,过点M作PQ⊥x轴交x轴于点Q,过点 A.√2 B. 2 C.2 D.1 74 第3章 几何模型 CD解析如图，过点A作AG⊥AD且AG= ∠AEB=∠AEB+∠CEF,∴.∠BAE=∠CEF. AD=1,则∠G=45°=∠AEB=∠C,可得 (2)如图，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于 △BCn△EAG÷g蛋-既=，GE 「∠ABE=∠EHF, 点H.在△ABE和△EHF中， ∠BAE=∠HEF, √2AG=√2. AE=EF, .△ABE≌△EHF(AAS),∴.BE=HF, AB=EH.又.AB=BC,∴.BC=EH,.BE= CH,.FH=CH.又.∠H=90°，∴.∠FCH= 45°，.∠ECF=135. D $思路点拔 结合以上例题，你能说说在什么条件下 如何构造K字型或一线三等角吗？ 当存在等腰直角三角形或正方形时，可构 (3)设BE=x,则EC=4一x.由题意得 造K字型全等；若有特殊角，可先构造包含特 △ABE△ECG,. 记铝代入得，文 AB BE 殊角的直角三角形，再构造K字型；若特殊角 两边比例确定，可尝试构造一线三等角. 云，“.CG=无当x=2时，CG取到最 x 4 形3.当半角遇上三垂直 大值，此时BE=2,则CF=√2FH=√2BE= 2√2 令例8(2022·阿坝)如图，正方形ABCD的 模型归纳 边长为4，E是边BC上的点，将EA绕点E顺 在【例8】中，若连接AF,可得△AEF是 时针旋转90°得EF,交CD于点G,连接CF. 等腰直角三角形，即∠EAF=45°，可与半角 (1)求证：∠BAE=∠CEF. 模型结合 (2)求∠ECF的度数 若变换条件与结论，如下描述：如图，在 (3)当CG的长最大时，直接写出CF的长 正方形ABCD中，E是边BC上的点，过点E 作EF⊥AE交∠BCD外角平分线于点F.求 证：AE=EF C解析(1)在正方形ABCD中，∠B=90°， B E .∠BAE+∠AEB=90°.∠AEF=90°， 法1：在边AB上取点G使得BG=BE, ∴.∠AEB+∠CEF=90°，∴.∠BAE+ 可证△AGE≌△ECF,可得AE=EF. 75 以壹学知道中考数学压轴题得高分m 结论①正确；由正方形的半角模型可知EG= AE+CG,故结论②错误；设CG=x,则DG= 4-,EG-号十x,在R△EDG中，ED+ B DG2=EG2,代入解得x=2,故结论④正确；对 法2：过点F作FH⊥BC交BC的延长 于结论③：设AE=x,则DE=4一x, 线于点H,则△ABE∽△EHF,. AB EH ∴.S△DEF= )(4x)·x二x十4x,当x=2 2 F,设BE=a,EC=b,则AB=BC=a+6, BE 时，可得△DEF面积的最大值为2，故结论③正 设CH=FH=m,代人得十b-,化简得 确综上所述，正确结论的序号是①③④. b+mm m=a,∴.AE=EF. a+b B a E b C m H ≥4.模型应用：定角的构造 令例9(2025·眉山)如图，正方形ABCD的 例10(2023·新疆)【建立模型】(1)如图1， 边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D B是线段CD上的一点，AC⊥BC,AB⊥BE, 重合)，∠CDP=45°，点F在射线DP上，且 ED⊥BD,垂足分别为C、B、D,AB=BE.求 AE:DF=1:√2，连接BF,交CD于点G,连 证：△ACB≌△BDE. 接EB、EF、EG.现有下列结论：①sin∠BFE= 【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的 ，@AE2+CG2=BG,③△DEF的面积最 2 图像与y轴交于点A,与x轴交于点B,将线段 大值是2，④若AE=AD,则G是线段CD的 AB绕点B逆时针旋转90°得到BC,直线AC 交x轴于点D. 中点.其中正确结论的序号是 ①求点C的坐标； ②求直线AC的函数表达式 【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2-3x一4 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）， B 与y轴交于点C,已知点Q(0,一1)，连接BQ, C解析如图，在边AB上取点Q使得AQ= 抛物线上是否存在点M,使得tan∠MBQ=3? 1 AE,可得△BQE≌△EDF,∴.BE=EF且 ∠BEF=90°，即△BEF是等腰直角三角形，故 若存在，求出点M的横坐标 76 第3章 几何模型 2,过点Q作PQLBQ且PQ-号BQ,延长BP 与抛物线的交点即为点M.过点P作PH⊥ 图1 y轴于点H,则△BOQ∽△QHP,:PH "oQ 图2 OB BQ-3PH=1, QH PQ1 3QH=4 点P的 B B x 坐标为行，-），可得直线PB的函数表达式 为y=引红-0联立得7z-=-x 图3 备用图 4,解得x1=一x:=4(舍去)，点M的横 C解析(1).AC⊥BC,∴.∠ACB=90°， .∠A+∠ABC=90°..AB⊥BE, 坐标为一 当点M在BQ上方时，如图3，过 4 .∠ABE=90°，∴.∠DBE+∠ABC=90°， 点B作BF⊥BQ且BF=3BQ,连接QF,过点 1 .∠A=∠DBE.在△ACB和△BDE中， I∠ACB=∠BDE, B作BM∥QF交抛物线于点M,同理可得点 ∠A=∠DBE,∴.△ACB≌△BDE(AAS). AB=BE, M的横坐标为一 3综上所述，点M的横坐标 (2)①如图1，过点C作CH⊥BD于点H.由 4 (1)得△AOB≌△BHC,由题意得点B的坐标 为一 为(-1,0)，点A的坐标为(0,3)，∴.BH=AO= 3,CH=BO=1,∴.点C的坐标为(-4,1). ②设直线AC的函数表达式为y=x+b,将 M C(-4,1)A(0,3)代入，得 4k十b=1, B 解得 RO 6=3, 1 k= 2'“直线AC的函数表达式为y=2x+3. 1 b=3, 图2 图3 ≥5.婆罗摩笈多模型 《模型归纳 图1 如图，分别以AB、AC为边向△ABC外 (3)令y=0,即x2-3x-4=0,解得x1=-1, 侧作正方形ABDE、正方形ACFG.过点A作 x2=4,∴.OB=4.当点M在BQ下方时，如图 AH⊥BC于点H,延长HA交EG于点P. 77 以壹学知道中考数学压轴题得高分m ®例1T(2025·徐州)如图1，将Rt△AOB绕 直角顶点O旋转得到△COD,点A、B的对应 D 点分别为C、D.连接AD、BC、AC、BD,直线 AC与BD交于点E. (1)△AOD与△BOC的面积存在怎样的数量 有以下结论： 关系？请说明理由。 (1)P是EG的中点； (2)如图2，连接OE,若AB、CD、OE的中点分 (2)BC=2AP; 别为P、Q、R求证：P、Q、R三点共线. (3)S△ABc=S△AEG· (3)已知AB=5,随着OA、OB及旋转角的变 证明：(1)如图，分别过点E、G作AP的 化，若存在以A、B、C、D为顶点的四边形，其面 垂线，垂足分别为M、N,可得△BHA≌ 积为S,则S的最大值为 △AME,△CHA≌△ANG,∴.EM=AH= GN,可得△EMP≌△GNP,∴.EP=GP, D ∴P是EG的中点. G 图1 图2 B C解析(1)S△AoD=S△BoC.理由参考【模型 归纳】. (2)由题意得BC=BH+CH=AM+ (2)由旋转性质可得BD⊥AC,连接EQ、EP、 AN=(AP+PM)+(AP-PN)=2AP. (3)过点B作BQ⊥CA交直线CA于点 OQ、OP(请读者自画)，则EQ= 2cn=00. Q,过点E作ET⊥AG交直线AG于点T,可 1 得△AQB≌△ATE,∴.BQ=ET,.S△ABc= EP=2AB=OP.又：AB=CD,四边形 AC BQAG ET 1 EPOQ是菱形，连接PQ,则PQ过OE的中点， 即P、Q、R三点共线， S△AEG· (3)S=2AC·BD≤2(2A0)·(2B0)= 2AO·B0≤OA2+OB2=25.当∠AOC=180° 时等号成立 78 )第3章 几何模型 》真题演练 1.(2022·贺州)如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5,点B到x轴的距 离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA'B',则点B的坐标为 G b B D A aB b (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2023·北京)如图，点A、B、C在同一条直线上，点B在点A、C之间，点D、E在直线AC同侧， AB<BC,∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD,连接DE.设AB=a,BC=b,DE=c,给出下面三 个结论：①a+b<c;②a+b>√a2+b;③√2(a+b)>c.上述结论中，所有正确结论的序号是 () A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.(2025·深圳)如图，以矩形ABCD的顶点B为圆心、BC的长为半径作⊙B,交AB于点F,E为 AD上一点，连接CE,将线段CE绕点E顺时针旋转90°至EG,点G落在⊙B上，且F为EG的 中点.若AF=1,AE=3,则CD的长为 4.(2025·烟台)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD是角平分线.点E从点A出发，沿 AB向点B运动，连接CE,点F在BC上，且∠CEF=45°.设AE=x,FD=y,若y关于x的函 数图像过点(0,2一√2)，则该图像上最低点的坐标为 ( ) A(哈号-@列 C.(23-22) D.(9-22 B D B B (第4题) (第5题) (第6题) 5.(2019·无锡)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4√5，D为边AB上一动点(，点B除外)，以 CD为一边作正方形CDEF,连接BE,则△BDE面积的最大值为 6.(2023·威海)如图，在平面直角坐标系中，点A、B在反比例函数)y=(x>0)的图像上.点A的 坐标为(m,2).连接OA、OB、AB.若OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 79 么壹学知道中考数学压轴题得高分 7.(2025·长春)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4,D为边AC的中点，E为边AB上一动 点，连接DE,将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF, (1)线段AB的长为 (2)当EF∥AC时，求AE的长. (3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF. (4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2倍时，直接写出AE的长. 8.(2024·扬州)如图，点A、B、M、E、F依次在直线1上，点A、B固定不动，且AB=2,分别以 AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH,∠PMN=90°，直角边MP恒过点 C,直角边MN恒过点H. (1)如图1，若BE=10,EF=12,求点M与点B之间的距离. (2)如图1，若BE=10,当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值. (3)如图2，若BF=22,当点E在点B、F之间运动时，点M随之运动，连接CH,O是CH的中 点，连接HB、MO,则2OM+HB的最小值为 W N G H G ○ P D M E ABM 图1 图2 804 第3章) 几何模型 9.(2020·宿迁)【感知】如图1，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB= AE DE 90°，求证：EBCB 【探究】如图2，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长 线上，∠FEG=∠A5B=90,且器铝，连接BG交CD于点H.求证：BH=-GH. 【折展1如图3，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180,且距-，过点E作Er交 AD于点F,若∠EFA=∠AEB,延长FE交BC于点G,求证：BG=CG B B 、□C C H G E E 口D D 图1 图2 图3 10.(2021·十堰)已知抛物线y=ax2+bx一5与x轴交于点A(一1,0)和B(一5,0)，与y轴交于 点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连接AN交抛物线于点M,连接 AC、CM. (1)求抛物线的函数表达式。 (2)如图，当tan∠ACM=2时，求点M的横坐标. B W M 81 以壹学知道中考数学压轴题得高分● L(2022·襄阳)在矩形ABCD中，A-(k>1),E是边BC的中点，连接AE,过点E作AE的 垂线EF,与矩形的外角平分线CF交于点F. 【特例证明】 (1)如图1，当k=2时，求证：AE=EF.小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整. 证明：如图，在BA上截取BH=BE,连接EH. D k=2, .'.AB=BC. .∠B=90°，BH=BE, .∠1=∠2=45°， B 56 ∴.∠AHE=180°-∠1=135°. .CF平分∠DCG,∠DCG=90°， ∠33∠D0G=45 ∴.∠ECF=∠3+∠4=135°. … 【类比探究】 (2如图2，当2时，求2的值.（月合的式子表示） 【拓展运用】 (3)如图3，当k=3时，P为边CD上一点，连接AP、PE、PF,∠PAE=45°，PF=√5，求BC 的长 图 图2 图3 82M