第2章 第1节 对称的性质-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

逆时针旋转90°可得点P2,.点P2的坐标是(1,2)， 直线P,P的函数表达式为y7十2即原一次 1,3 函数的表达式为y=2x十2 【深人感悟】如图1，过点P作PN⊥x轴于点N,连接 OP、OP'.,∠MON=∠POP'=45°，.∠PON= ∠P'OM.又.∠PNO=∠P'MO,PO=P'O, APNOAP'MO, 22’ 即△OMP'的面积是2 NO( 图1 【灵活运用】如图2，将点B、C绕点A逆时针旋转60° 得点B'、C',则△PB'C'≌△P'BC.过点P作PQ∥ B'C交x轴于点Q,当PQ与抛物线只有1个交点时， △PBC的面积最小由题意得友C的坐标为合，》， ∴.直线B'C的函数表达式为y=√3x.设直线PQ的函 数表达式为y=3x+b,联立，得？x2+23x+7= 5x+b,邀理，得2x+3x+7-6=0,3)2- 4X号×(7-b)=0,解得6-号直线PQ的函数表 达式为y=5x+号点Q的坐标为-115 6°，0， BQ-1g3Sae-Saw-x×号 6 、2 ∴S，即△BCP'面积的最小值是日 图2 中考数学压 第2章几何变换 第1节对称的性质 1.4a十2b解析：∠B=80°，∴.∠BCD=100°. ,∠ACE=2∠ECD,∴.∠ACB=∠ACE=40°， ∠DCE=20°.∠D=∠B=80°，.∠CFD=80°， ∴.CD=CF=a..AD∥BC,∴.∠DAC=∠ACB= ∠ACE,.AF=CF=a,∴.AD=a十b,.平行四边形 ABCD的周长为2(a+a+b)=4a+2b. 2.A解析：由题意得∠ADB=∠B,∠EDC=∠C, .∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，∴.∠ADE= 90°.设AE=x,则DE=CE=3-x,又AD=AB=2, 由AD2十DE2=AE2,得22+(3-x)2=x2,解得x= AE的长是8 13 9 3.2 解析：AC=BC,∴.∠A=∠B,又∠B'= ∠B,∠A=∠B',又，∠AFD=∠B'FG, △AFDO△BFG,小器-8器， 8 7 4=FG 79 EG=7,·.CG=AC-AF-FG=16-8-2-2 4.2-k解析：·AD=DF,·∠A=∠DFA, :∠BDE=号∠BDF=号（∠A+∠DFA)=∠A, 2 .DE∥AC..AD=DF=BD,∴.BE=CE.设AC= AB=a,则BC=a,BE=CE=2a.由题意得 1 ka △CEF∽△CAB,CE-CF, CA-CB,代人得2 CF ,解 a ka 得CF= ka,FA =AC-CF=a- 1 CF 6a k2 a-2kia 2-k2· 5.25°或115°解析：如图1，当点B′在BC下方时， 轴题得高分 ∠ADB=∠ADB'=135°，.∠B=20°，.∠BAD= 25°；如图2，当点B′在BC上方时，∠ADB= ∠ADB'=45°，∴.∠BAD=115°.综上，∠BAD的度数 为25或115°. 图1 图2 6.22.5°或45°或67.5° 7.D解析：由题意得DE=AE=A'E,设∠EDA'= ∠EA'D=a,则∠AEA'=2a,∴∠A'EB=a=∠EA'D, .A'D∥BE,故A选项不符合题意；连接AA',过点 A'作MN⊥CD分别交AB、CD于点M、N,不妨设正 方形的边长为2，则A'D二，A'C N+CW-2AC=EAD,故B选顶不 符合题意：Sam=号cD·AN=×2X号-号， S△A'DE= DE·DN=2 .42 2X1X5=5,S△A= 1 S△A'DE,故C选项不符合题意；S四边形ABD=2X (25+5)×25-sa-×2× 2W57 66 D选项符合题意. M 8.C解析：AE=PE≥√3，故C选项符合题意. 9.√2十√6解析：由题意可知∠E=30°，∠APE= 45°，AP=2.如图，过点A作AH⊥PE于点H,则 中考数学压 PH=AH=√2，EH=√6，.PE=√2+√6. 49 10.75 解析：如图，过点A作AH⊥DE于点H,不 妨设AC=20,则AG=15,CG=5,AH=12,EH= 16,.GH=9,.GE=16-9=7.由△AGE∽△DGC 可得AG·GC=DG·GE,nG=空能-得 ,S△AGE_GE_49 ·SADG DG-75 11.解析：(1)2(2)当0<t≤5时，BP=5-t;当5< t<8时，BP=t-5.（3)DA'=DA=2,∴.点A'的 轨迹是以点D为圆心、2为半径的圆弧.当DP⊥AB 时，点A'落在边AB上，如图1，此时AP=专AD= 8 t=;当DP⊥AC时，点A'落在边AC上，如图 8 2,此时AP-AB-号综上所述，当点A'落在 △ABC内时，：的取值花围是<号 c() 图1 图2 (4)如图3，当点P在边AB上时，若∠AA'D=∠B 则∠DAA'=∠B,:∠ADP+∠DAA'=90°， ∠DAP+∠B=90°，.∠ADP=∠DAP,.PA= PD,过点P作PMLAC于点M,则AM=AD=1, 轴题得高分 9 AP=AM=号4=号：如图4，当点P在边BC 延长线上时，设AF=5a,则AC'=12a,C'F=13a, 上时，过点D作DH⊥AA'于点H,则∠HAD+ BM+Mr=BM+Mr=12+5a,∴BM=号12+ ∠HDA=90°，.∠DPC+∠PDC=90°，.∠DPC= 6).B25F-B'F-Bc'-BC. ∠DAA'=∠B,∴.AB∥DH,D是AC的中点，∴.P 是BC的中点，BP-号BC-名i-5+号号综 13a12+50=8,12a-,AC-是综上所 5 28.52 上所述，t的值为4或2： 5 13 述，AC'的长为写或写· 4 图3 图4 12.解析：(1)如图1，当点C与点A重合时，易知点N 图2 图3 与点D重合.设B'M=BM=x,则AM=12-x, AB'=BC=8.在Rt△AB'M中，AB'2+B'M2=AM, 第2节矩形的折叠 即8+=12-z,解得-号即BM的长为号 1.△MCB 2.C解析：易证AF=AE=5,又BF=3,∴.AB=4, A(C D(N) BC=8,∴.AC=4√5，.AO=2√5. 3.D解析：由题意可得△AED≌△AEF,∴.AF= M AD=5,DE=EF,.BF=4,∴.CF=1.设EF=x,则 C EC=3-x.在Rt△EFC中，CF2+EC2=EF2,即12+ 图1 （8-)r=,解得x=号DE=Er=号 (2)如图2，过点C作CH⊥AD于点H,则四边形 ABCH是矩形，.AH=BC=8,CH=AB=12, n∠DAE-86-号 DH=AD-AH=5,dan∠ADC=C日=12,4.3,10)解析：设OB=x,则BF=BC=BA=z 2.在Rt△BOF中，OB2+OF2=BF2,即x2+62= tam∠AFC'-am∠ADC-号当点F在线段BA (x十2)2，解得x=8.记DC与y轴交于点G,则FG= 上时，设AF=5a,则AC'=12a,C'F=13a,BF= 4义am∠EFG=1am∠0BF=,EG=3,点 BM+MF=B'M+MF=12-5a,又，sin∠B'FM= E的坐标为(3,10). -号8M-号18-5a,BF-12与， 5 7 5.25 解析：由题意可知，∠AGE=90°，BG=CG=4, :Br+C'F=B'C=BC=8,:1250+13a=8, 5 .△ABG∽△GCE..CE=3,CG=4,.AB= 12a-SAC-9如图3，当点F在线段BA的 号8G-5DB-9-8-3又：AD-8AE 中考数学压轴题得高分 ·10·以壹学知道中考数学压轴题得高分m● 第2章 几何变换 》》》》 第1节 对称的性质 “图形的变换”是图形与几何的重要组成部分，而对称与旋转内容更为丰富，本节从对称的性质 说起，进一步探究在对称问题中的一些方法与思想， 》知识导航 谚1.对应角相等 ®例1(2025·河北)如图，将矩形ABCD沿 B 对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC C解析DE平分△ABC的面积，∴.SAFDE 于点E.将△CDE沿DE折叠，点C落在 △BDE内的C'处，下列结论一定正确的是 S△BDE=S四边形ADEC,∴.S△FGH=S△ADG十S△CEH. ( .∠F=∠B=∠A=∠C,∴.△AGD0 D △FGH,△CHE∽△FHG,. S△AGD S△FGH DG2 S△CHE GH)'SAFHG EHSAAGD SACHE GH)·· SAFGH S△FGH DG 1, GH GH =1,代入得GH= √m2+n2. A.∠1=45°-a B.∠1=a C.∠2=90°-a D.∠2=2a 思路点拔 C解析在矩形ABCD中，AD∥BC,∴.∠1= 由对称轴两旁的图形全等，可知对应角 ∠ADB=∠A'DB,∴.2∠1+a=90°，∴.∠1= 相等，然后呢？可由角度的相等关系进一步 45-方a,:∠DnC'=∠DRC=90-e, 探究是否存在更多的角度关系，由角相等也 可联系是否存在特殊图形（如等腰三角形）或 ∴.∠2+2(90°-a)=180°，.∠2=2a. 相似三角形 令例2(2023·武汉)如图，DE平分等边三角 形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC 彦2. 对应边相等 分别与DF、EF相交于G、H两点.若DG=m, EH=n,用含m、n的式子表示GH的长是 ®例3(2025·长沙)如图，将△ABC沿折痕 AD折叠，使点B落在边AC上的点E处.若 32 第2章 几何变换 AB=4,BC=5,AC=6,则△CDE的周长为 ( 彦3.对称点连线被对称轴垂直且平分 ®例5(2024·淄博)如图，在矩形ABCD 中，BC=2AB,点M、N分别在边BC、AD上. E 连接MN,将四边形CMND沿MN翻折，点 D C、D分别落在点A、E处，则tan∠AMN的值 是 --B A.5 B.6 C.6.5 D.7 ○解析由题意得AE=AB=4,∴CE=2, .△CDE的周长为CE十CD+DE=CE+ B BC=2+5=7. C解析连接AC,则AC⊥MN,.∠AMN= 令例41(2024·常州)如图，在Rt△ABC中， ∠CMN=∠CAB..BC=2AB,∴.tan∠CAB=2, ∠ACB=90°，AC=6,BC=4,D是边AC的中 ∴.tan∠AMN=2. 点，E是边BC上一点，连接BD、DE.将△CDE 沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则 CE= 令例6(2022·苏州)如图，在矩形ABCD F AB 2 E 中，BC=3动点M从点A出发，沿边AD向 点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC D 向点C匀速运动，连接MN.动点M、N同时出 发，点M运动的速度为o1,点N运动的速度为 ○解析由题意得CD= 2 AC=3,.BD= v2,且1<v2.当点N到达点C时，M、N两点 √BC2+CDz=5.由翻折可知FD=CD=3, 同时停止运动.在运动过程中，将四边形 MABN沿MN翻折，得到四边形MA'B'N.若 六BF=BD-FD=2.:tan∠CBD=CD=3 BC4' 在某一时刻，点B的对应点B'恰好与CD的中 F-3r3 2CE=3 4BF= 点重合，则”的值为 02 B 思路点拨 由对称轴两旁的图形全等，可知对应边 相等，由已知线段尽可能推出更多的线段 长，结合勾股定理与相似，或可解决求线段 M 长的问题. B 33 以壹学知道中考数学压轴题得高分 D解桥由题意可知一记-不刻 CF=4,FB'=1,则BE= 设AB=2,BC=3,B'N=BN=x,则CN=3 x.在Rt△NCB'中，CN2+B'C2=B'N2,代入 得1？+3x)2=x2,解得z=,六B'N与 C解析：CF=4,FB'=1,.BC=BC= BN=号连接BB',则BB'⊥MN,过点M作 CF+FB'=5.在菱形ABCD中，CD=BC=5, MH⊥BC于点H,则△MHN∽△BCB', 小DF=√CD-CF=3,∴tanB=tanD=4 8-号NH=号aC-号×1- .CB'⊥AD,.CB'⊥BC,∴.∠BCE= 台Aw=8H=号-号=108N-是 ∠BCE=45°.如图，过点E作EH⊥BC于点 v2 BN5 4 H.在△BCE中，tanB=3,∠BCE=45,可设 BH=3x,EH 4x,CH EH 4x, .BC-BH+CH-1z5,B- 25 5x= 7· 多思路点拨 压轴题的考点通常不是单一的，既要了 解对称的不同性质，也要学会将这3个性质 综合应用.另外，也要学会与其他几何内容结 思路点拨 合，如勾股定理、相似三角形等 求线段长是几何中常见的问题，除了勾 ≥4.汇集边角，解三角形 股定理、相似三角形外，还可通过解三角形求 线段长，尤其在涉及翻折的问题中，确定线段 ®例7(2023·南京)如图，在菱形纸片 所在的三角形，分析其他边角是否可求，当条 ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折 件里满足“两角一边”或“两边一角”时，即可 叠，点B落在B'处，CB'⊥AD,垂足为F.若 解三角形. 34 )第2章 几何变换 口》真题演练 1.(2021·江西)如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F. 若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则平行四边形ABCD的周长为 (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2022·济宁)如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片 折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为 E,则AE的长是 () A碧 D.S 3.(2023·泰安)如图，在△ABC中，AC=BC=16,点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线 DE的对称点为B',连接DB'、EB',分别与AC相交于F、G两点若AF=8,DF=7,B'F=4,则 CG的长度为 4.(2023·杭州)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A<90°，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，连 接DE,EF,FD,已知点B和点F关于直线DE对称设能=，者AD=DP,测哈胥 (结果用含的代数式表示). B DEB B (第4题) (第5题) (第6题) 5.(2023·辽宁)如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,∠B=20°，D是边BC上的动点，将三角形 纸片沿AD对折，使点B落在点B'处.当B'D⊥BC时，∠BAD的度数为 6.(2023·泰州)如图，△ABC中，AB=AC,∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋 转a(0°<a<75°)，与射线AB相交于点D,将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与 射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则a的度数为 35 公壹学知道中考数学压轴题得高分● 7.(2025·苏州)如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE,将△ABE沿BE翻折，得 到△A'BE,连接A'C、A'D,下列结论不正确的是 () A.A'D∥BE B.A'C=√2A'D C.△A'CD的面积=△A'DE的面积 D.四边形A'BED的面积=△A'BC的面积 D E/D D 4 B (第7题) (第8题) (第9题) 8.(2024·淮安)如图，在□ABCD中，AB=2,BC=3,∠B=60°，P是边BC上的动点(BP>1),将 △ABP沿AP翻折得△AB'P,射线PB'与射线AD交于点E.下列说法不正确的是( ) A.当AB'⊥AB时，B'A=B'E B.当点B'落在AD上时，四边形ABPB'是菱形 C.在，点P运动的过程中，线段AE的最小值为2 D.连接BB',则四边形ABPB的面积始终等于AP·BB 9.(2023·济南)如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处， 折痕CP交AD于点P.若∠ABC=30°，AP=2,则PE的长为 10(2023深圳)如图，在AABC中，AB=AC,amB=号，D为BC上-动 点，连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于点G, D GE<DG,且AG:CG=3:1,则S月 11.(2021·长春)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,D为边AC的中点.动点P从点A 出发，沿折线AB一BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连 接PD.作点A关于直线PD的对称点A',连接A'D、A'A.设点P的运动时间为ts. (1)线段AD的长为 (2)用含t的代数式表示线段BP的长. (3)当点A'在△ABC内部时，求t的取值范围， (4)当∠AA'D与∠B相等时，直接写出t的值. 36 第2章)几何变换 12.(2024·无锡)【操作观察】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，BC=8,AB= 12,AD=13.折叠四边形纸片ABCD,使得点C的对应点C'始终落在AD上，点B的对应点为 B',折痕与AB、CD分别交于点M、N. 【解决问题】 (1)当点C与点A重合时，求B'M的长， (2)设直线B'C'与直线AB相交于点F,当∠AFC'=∠ADC时，求AC的长. A D →BX M B 37