第1章 第4节 瓜豆原理-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

以壹学知道中考数学压轴题得高分心 第4节 瓜豆原理 求单线段最值往往需求出动点轨迹，构造辅助圆是一类求轨迹的方法，常见的方法还有由一个 动点轨迹去求另一个相关联的动点轨迹，所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”. ®例2(2023·宜宾)如图，M是正方形 》知识导航 ABCD的边CD的中点，P是正方形内一点，连 接BP,线段BP以点B为中心逆时针旋转90° 彦1.圆型轨迹 得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则 ®例1(2022·内蒙古)如图，在等腰直角三 MQ的最小值为 角形ABC中，AC=BC=1,点P在以斜边AB 为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿 半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径 P 长是 M C ○解析如图，连接BM,并将BM绕点B逆时 针旋转90°得BM',则点Q的轨迹是以点M'为 圆心、1为半径的圆，MQ+QM'≥MM'= M 2/10,.MQ≥210-1，.MQ的最小值为 2√10-1. B A ○解析如图，取AB的中点O,连接CO,取CO 的中点Q,过点Q作EF∥AB分别交AC、BC 于点E、F,则点M的轨迹是以点Q为圆心、 EF为直径的半圆（或理解为△CQMp D 从运动角度来看，点P在⊙M的任意位 △COP),点M运动的路径长是号×元× 置，都绕点B逆时针旋转90°得到一个对应的 点Q,将⊙M上的每一个点都绕点B作旋转， √2√2π 2 4 即将⊙M绕点B作旋转 模型归纳 再举两例： (1)如图，P是⊙O上的一个动点，将点 P向右平移2个单位长度得点P',试画出点 P的轨迹. 从运动角度来看，M为PC的中点，即以点 C为位似中心，将点P的轨迹缩小为原来的 半，即为点M的轨迹. 26 第1章) 几何最值 如图，将⊙O向右平移2个单位长度即 旋转化为绕定点旋转，可描述为“将BC绕点B 为点P的轨迹. 顺时针旋转45°并延长为原来的√2倍即得 BD”,则将⊙A绕点B顺时针旋转45°并以点 B为位似中心，扩大为原来的√2倍，即为点D 0 的轨迹. (2)如图，P是⊙O上的一个动点，将点 (2)作图：如图，作等腰直角三角形ABA'(将点 P关于直线1对称得点P',试画出点P'的 A绕，点B顺时针旋转45°并延长为原来的√2倍 轨迹 得点A'),以点A'为圆心、3√6为半径作圆， ⊙A'即为点D的轨迹. 如图，将⊙O关于直线1对称即为点P' 的轨迹. S)E明：8-8哪∠AC-∠ABD △CMa△BDA,2-8C -2, 动点P作几何变换得点P',则可由点P .DA'=√2AC=3√6 的轨迹推出点P'的轨迹，类似“种瓜得瓜，种 (4)得出结果：AD≤AA'+DA'=8+3√6. 豆得豆”，有“种圆得圆，种线得线” ≥2.直线型轨迹 令例3(2022·沈阳改编)如图，若AB=8,C 是线段AB外一动点，AC=3√3，连接BC.若将 ®例4(2022·日照)如图，在平面直角坐标 CB绕点C逆时针旋转90°得到CD,连接AD, 系xOy中，点A的坐标为(0,4)，P是x轴上 则AD的最大值是 一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到 线段PF,连接OF,则线段OF长的最小值是 ○解析(1)点C的轨迹是以点A为圆心、33 为半径的圆.条件中有“将CB绕点C逆时针旋 转90°得到CD”,重新解读点的运动，将绕动点 解析法1（瓜豆探究轨迹）：连接AF,则 M27 壹学知道中考数学压轴题得高分 △AFP是等边三角形，可理解为线段AP绕点 ®例5(2022·南通改编)如图，在矩形ABCD A逆时针旋转60°得AF.当点P与原点重合 中，AB=4,AD=3,点E在折线B-C-D上运 时，对应F1的坐标为(2√3,2)；当点P的坐标 动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF,旋转角 为-4o)时，对应R:的坐标为450叭， 等于∠BAC,连接CF、DF,点E从点B运动到 点D的过程中，DF的最小值是 直线F1F2即为点F的运动轨迹.由题意得直 B 线F1F2的函数表达式为y=√3x一4，当OF⊥ E EF,时，OP取到最小值，此时OP=3OP2 ×43=2,即线段0F长的最小值为2， 2 3 V C解析将AB、AC、AD绕点A顺时针旋转∠BAC 的度数，则点F的轨迹即为折线B一C'一D', ∴.当DF⊥C'D'时，DF取到最小值，延长FD 交AC于点H,Dr-FH-DH-3号多， 法2（动静互逆）：以AO为边，在y轴左侧构造等 边三角形AOQ,连接PQ,可得△AQP≌ 即DF的最小值为 △AOF,.QP=OF.当QP⊥x轴时，QP取到最 小值，即OF取到最小值.由题意得点Q的坐标 为（一23,2），∴.PQ的最小值为2(P'Q的长)， D ∴.线段OF长的最小值为2. D 思考：你能用“动静转换”的思想再给出一 种解法吗？ 零模型归纳 从运动的角度，将瓜豆原理归纳为“动点 的变换，即动点轨迹的变换”，与动点轨迹是 什么图形无关.需注意的是确定特定图形的 条件. 确定圆：圆心和半径； 确定直线：“两点”或“k值和一点”. 如果轨迹是其他图形，如三角形、双曲 线，可作几何变换，分析确定图形的条件. 28X )第1章) 几何最值 》真题演练 1.(2020·连云港)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A,B 是⊙0上一到点，C为弦AB的中点，直线y=-3与z葡y轴分别交于点D,E,则△CDE 面积的最小值为 W B x+2 E (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2023·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=3√5，C为平面内一动点，BC= 含连接AC.M是线段AC上的一点，耳满足CM:MA=1:2.,当线段OM取最大值时，点M的 坐标是 () A(层) B32,6 c(当 ,6√512√5 D.(5,5 3.(2020·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=一 2x十2上的一个动点，将点Q绕点 P(1,0)顺时针旋转90°，得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为 ) 人号 B.√5 心号 n5 4.(2024·大庆)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=6,M是边AB的中点，N是边AD上任意一 点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N',则△MBN'周长的最小值为() A.15 B.5+55 C.10+5,2 D.18 D D M (第4题) (第5题) 5.(2022·广州)如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时 针旋转60°得到线段BP',连接PP'、CP'.当点P落在边BC上时，∠PP'C的度数为 ;当线 段CP'的长度最小时，∠PP'C的度数为 29 么壹学知道中考数学压轴题得高分 6.(2024·泰安)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是边AB上的点，AE=4,BE=8,F是BC上 的一点，△EGF是以点G为直角顶点、∠EFG=30°的直角三角形，连接AG.当点F在直线BC 上运动时，线段AG的最小值是 () B A.2 B.43-2 C.2√3 D.4 7.(2024·宜宾)如图，抛物线y=x2十bx十c与x轴交于点A(一1,0)和点B,与y轴交于点 C(0,-4),其顶点为D (1)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标. (2)若点E在以点P(3,0)为圆心、1为半径的⊙P上，连接AE,以AE为边在AE的下方作等边 三角形AEF,连接BF,求BF的取值范围. B D 30M 第1章) 几何最值 8.(2021·盐城)学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度 α，能得到一个新的点P',经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图像上运动时，点P 也随之运动，并且点P'的运动轨迹能形成一个新的图形 试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度α的大小来解决相关问题. 【初步感知】 如图1，设A(1,1),a=90°，P是一次函数y=x十b图像上的动点，已知该一次函数的图像经过 点P1(-1,1). (1)点P:旋转后，得到的点P1的坐标为 (2)若点P'的运动轨迹经过点P(2,1),求原一次函数的表达式 【深入感悟】 如图2，设A(0,0),a=45°，P是反比例函数y=-1 (x<0)的图像上的动点，过点P'作二、四象 限角平分线的垂线，垂足为M,求△OMP'的面积. 【灵活运用】 如图3，设A(1,-),a=60,P是二次函数y=2+2x+7图像上的动点，已知点B(2, 0)、C(3,0),试探究△BCP'的面积是否有最小值.若有，请求出该最小值；若没有，请说明理由。 P O() ·A 图1 图2 图3 31口中点H,当O、P、H三点共线时，△AOB的面积最大. AB-6.PH-TAB-3.OP-AP-32. ∴.OH=3√2+3，.SAA0B= 2AB·0H=}×6× (3√2+3)=9√2十9，∴.当点A、B运动到OA=OB 时，△AOB的面积最大，最大值为9√2十9. 10.解析：(1)①2②2十√3(2)如图1，延长BA'交 圆弧于点P,连接CP,则∠BPC=∠BAC=30°， ∴.∠BA'C=∠BPC+∠PCA'>30°. 30 图1 (3)0V97-5 4 解析：如图2，取CD的中点M,过点 M作MNLcD,且MN=,点P的轨迹是以点N 为圆心、ND为半径的圆弧，连接BN,与圆弧交于点 P,此时PB取到最小值.连接ND、NC,过点N作 NQLBC-于点Q.:MC=2CD=1,QC=MN= 4 NP=NC=景，BQ=,PB=BN-NP +()厂--75，即线度Pg的长的数小 值为97-5 4 图2 图3 ②72 4 解析：，AD=3,CD=2,.若S△rCD= 3 SAFAD,则点P到AD、CD的距离相等.如图3，作 2 中考数学压 ∠ADC的平分线，与圆弧交于点P,连接PC,过点C 作CH1PD于点H.:∠HDC=2∠ADC=45, CD-2,CH-DH=2.tan ZDPC-CH_4 PH=3, PHCHPD-PH+DH 4 4,即线 度PD的长为3 第4节瓜豆原理 1.2解析：由题意可知点E的坐标为(0，一3)，点D 的坐标为(4,0).如图，取OA的中点M(1,0),则点C 的轨迹是以点M为圆心、1为半径的圆.过点C作 CH⊥DE,连接MC,则当M、C、H三点共线且点C 在线段MH上时，CH最小，此时△CDE面积最小.易 得△MDHO△ED0,-0.即=号 3=5 ∴MH=号，CH=MH-Mc=号-1=手， 4 :△CDE面积的最小值为号×5×号=2. 4 2.D解析：如图1，在边AB上取点P使得BP: PA=1:2,则点P的坐标为(W5,2√5)，OP=5,且可 得△APM△ABc,-A0-号PM- C=1,“点M的轨迹是以点P为圆心、1为半径 的圆.如图2，当O、P、M三点共线且点M在线段OP 的延长线上时OM取到最大值，由80-号可得点M 轴题得高分 /6W512W5 的坐标为(5,5) 图1 图2 3.B解析：如图，将点Q的轨迹绕点P顺时针旋转 90°即可得点Q'的轨迹为直线y=2x一5.过点O作 OH⊥QQ'于点H,则OH=√5，即点O到直线y= 2x一5的距离为√5，.OQ'的最小值为√5. 4.B解析：过点M作MH⊥AB且MH=5=MA,连 接HN',则△MAN≌△MHN',可得点N'的轨迹是 一条与AB平行的线段，且点N'到AB的距离为5.作 点B关于HN'的对称点B',当M、N'、B'三点共线 时，△MBN'的周长取到最小值为MB+MB'=5+ 55. M H 5.120°75°解析：当点P'落在边BC上时，如图1， ∠PP'C=180°-60°=120°.以BC为边，在BC上方作 等边三角形BCE,连接EP,则△BPE≌△BP'C, ∴.EP=CP'.当EP⊥AD时，如图2，EP取到最小值， 即CP'最小，此时∠BP'C=∠BPE=∠APB+ ∠APE=45°+90°=135°，.∠PPC=-∠BP'C- 中考数学压 ∠BP'P=135°-60°=75°. 图1 图2 6.C解析：如图，过点E作EH∥AD且EH= 2AE=8,连接AH、FH,可得△EAH∽△EGF, △EAGO△EHr,e-g-,AG 百正BC时，HF取到最小值4B 的最小值为2√3. H 7.解析：(1)将A(-1,0)、C(0,-4)代入y=x2+ 1-b+c=0, 1b=一3， bx十c,得 解得 抛物线的函数 c=-4, c=-4 表达式为y=x2-3x-4.又，y=x2-3x-4=x一 )-5顶点D的坐标为(，-)， (2)将 ⊙P绕点A顺时针旋转60°得⊙P',即为点F的轨迹. 易证△AEP≌△AFP',可得P'(1,-23).BP' P'F≤BF≤BP'+P'F,.W√2I-1≤BF≤√2I+1. 8.解析：【初步感知】(1)(1,3)(2)将P2(2,1)绕点A 轴题得高分 逆时针旋转90°可得点P2,.点P2的坐标是(1,2)， 直线P,P的函数表达式为y7十2即原一次 1,3 函数的表达式为y=2x十2 【深人感悟】如图1，过点P作PN⊥x轴于点N,连接 OP、OP'.,∠MON=∠POP'=45°，.∠PON= ∠P'OM.又.∠PNO=∠P'MO,PO=P'O, APNOAP'MO, 22’ 即△OMP'的面积是2 NO( 图1 【灵活运用】如图2，将点B、C绕点A逆时针旋转60° 得点B'、C',则△PB'C'≌△P'BC.过点P作PQ∥ B'C交x轴于点Q,当PQ与抛物线只有1个交点时， △PBC的面积最小由题意得友C的坐标为合，》， ∴.直线B'C的函数表达式为y=√3x.设直线PQ的函 数表达式为y=3x+b,联立，得？x2+23x+7= 5x+b,邀理，得2x+3x+7-6=0,3)2- 4X号×(7-b)=0,解得6-号直线PQ的函数表 达式为y=5x+号点Q的坐标为-115 6°，0， BQ-1g3Sae-Saw-x×号 6 、2 ∴S，即△BCP'面积的最小值是日 图2 中考数学压 第2章几何变换 第1节对称的性质 1.4a十2b解析：∠B=80°，∴.∠BCD=100°. ,∠ACE=2∠ECD,∴.∠ACB=∠ACE=40°， ∠DCE=20°.∠D=∠B=80°，.∠CFD=80°， ∴.CD=CF=a..AD∥BC,∴.∠DAC=∠ACB= ∠ACE,.AF=CF=a,∴.AD=a十b,.平行四边形 ABCD的周长为2(a+a+b)=4a+2b. 2.A解析：由题意得∠ADB=∠B,∠EDC=∠C, .∠ADB+∠EDC=∠B+∠C=90°，∴.∠ADE= 90°.设AE=x,则DE=CE=3-x,又AD=AB=2, 由AD2十DE2=AE2,得22+(3-x)2=x2,解得x= AE的长是8 13 9 3.2 解析：AC=BC,∴.∠A=∠B,又∠B'= ∠B,∠A=∠B',又，∠AFD=∠B'FG, △AFDO△BFG,小器-8器， 8 7 4=FG 79 EG=7,·.CG=AC-AF-FG=16-8-2-2 4.2-k解析：·AD=DF,·∠A=∠DFA, :∠BDE=号∠BDF=号（∠A+∠DFA)=∠A, 2 .DE∥AC..AD=DF=BD,∴.BE=CE.设AC= AB=a,则BC=a,BE=CE=2a.由题意得 1 ka △CEF∽△CAB,CE-CF, CA-CB,代人得2 CF ,解 a ka 得CF= ka,FA =AC-CF=a- 1 CF 6a k2 a-2kia 2-k2· 5.25°或115°解析：如图1，当点B′在BC下方时， 轴题得高分