第1章 第2节 PA+kPB型最值-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

第2节“PA十kPB”型最值 1.6解析：如图，过点P作PH⊥AB于点H,则 PH=3BP,CP+号BP=CP+PH,当CP、H 三点共线时取到最小值.⊙O的半径为4，AB= 45,CP+号BP的最小值为6. 2.B解析：由AE=BF可得△DAE≌△ABF, AF⊥DE,即∠DOF=90°.：M是DF的中点， OM=合DF,dOM+号FG=合(2OM+FG) DF+PG).如图，作点G关于BC的对称点G,则 DF+FG=DF+FG/>DG=10,OM+2FG的最 小值是5. M 3.解析：1)y=8-2文-4(2)①E(6,3,在抛 5 1 物线上.②P(o,一) 4.解析：(1)由题意得点A的坐标为(1,0)，点B的坐 标为(5,0)，可得直线AD的函数表达式为y=x一1. 将A(1,0)、B(5,0)代入抛物线的函数表达式，得 a+b+5=0, a=1, 解得 ∴抛物线的函数表达 25a+5b+5=0,b=-6. 式为y=x2-6x十5.(2)如图，在x轴上取点M(4, 0):BM=1,BP=2.BA =4.Bp-BA 又 中考数学压 '∠MBP=∠PBA,△BMPO△BPA,:.PM ·PA 邵名…PM-名PA.南题意得C06PC+ PAPC+PM≥CM=√④红，当C,P,ME点共线 时，PC+2PA取到最小值V. B 5解析：(1)抛物线的函数表达式为y=是x-号 x- 1 2.(2)由题意得直线AB的函数表达式为y= 22 2,设点P的坐标为(a,m-号m-2小，记PD与 1 AB的交点为Q,则点Q的坐标为(m,2m-2): 2PK=PQ-m-2-(m:-m-2）= m+m+ PD=PQ+PD=-m+m+2,当m=时，取 到最大值，最大值为罗此时点P的坐标为(， 25 35) 16 第3节构造辅助圆 1.√1一2解析：由题意得点B'的轨迹是以点A为 圆心、AB为半径的圆弧，.当A、B'、C三点共线且点 B'在线段AC上时，CB'取到最小值，此时CB'=AC一 AB′=√1I-2,∴.CB'的最小值为√11-2. 2.√29-2解析：∠ADF=∠BAE,∴.∠ADF+ 轴题得高分 3·第1章】 几何最值 第2节 “PA十kPB”型最值 形如“PA十PB”型最值的问题，较为经典的有“胡不归”模型和“阿氏圆”模型，虽解法不同，但 思想均是将PB转化为具体的线段，从而将问题转化为线段和最值.此外，也需学会结合具体条件 和图形结构灵活转化PB.而在二次函数背景下，亦可考虑列表达式求最值. 》知识导航 根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻的 位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无 ≥1.“胡不归”模型 反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气， 小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子 ®例1(2019·南通)如图，在口ABCD中， 说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不 ∠DAB=60°，AB=6,BC=2,P为边CD上的 归？…”(“胡”同“何”，意同“咋还不回 一动点，则PB+PD的最小值等于 来呢”) D 而如果先沿着驿道AC先走一段，再走 砂石地，会不会更早些到家？ B C解析考虑如何构造出 2PD,结合sinA= 砂石地 3 ,以PD为斜边构造出含有60°角的直角三 驿道 A V,C 角形，则较长的直角边即为 PD. 【模型建立】如图，动点P在直线MN外的运 如图，过点P作PH⊥AD交AD的延长线于 动速度为V1,在直线MN上的运动速度为 点H,即可得PH= V2,且V1<V2,A、B为定点，点C在直线 PD.过点B作AD的垂 2 MN上，确定点C的位性俊C+C的值 线，垂线段BH的长即为PB+PD的最小 最小 值，最小值为 AB-3V3. M- A V,C 密“胡不归”模型 【问题分析】 C+-(ac+Aac1.记 【故事背景】从前有个少年外出求学，某天不 V 幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家. b=?,即求BC+AC的最小值， 以壹学知道中考数学压轴题得高分m 【问题解决】如图，过点A作射线AD使得 线BC上，对于定方向的线段可通过三角函 sin∠CAD=k,过点C作CH⊥AD于点H, 数构造出DC,且0<k<1,所以本题可构造 则CH=kAC,∴.BC+kAC=BC+CH,当 出“DC但无法构造出2AD B、C、H三点共线时取到最小值， B ≥2.“阿氏圆”模型 ®例3(2021·大庆)已知，如图1，若AD是 M- △ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可 符8-品同是，若AE是△ABC巾∠BAC 阅例2(2020·新疆)如图，在△ABC中， 的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你 ∠A=90°，∠B=60°，AB=2,若D是边BC上 根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 的动点，则2AD十DC的最小值为 △ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的 A 内角平分线，则△ABC的边BC上的中线长l 的取值范围是 的 ⊙解析2AD+DC=2(AD+2DC),如图，过 点C作射线CE使得∠BCE=30°，过点D作 B DH LCE于点H,则DH=号DC,AD+ 图1 图2 ○解析如图，作∠BAC的外角平分线交CB DC=AD+DH≥AC=3,当A,D,H三点 的延长线于点P,则∠PAD=号×180°=90.由 共线时等号成立，.2AD十DC的最小值为6. 内角平分线定理帮铝-部-号南外角平分 线定组得8-8限-台又：C=5 PB=10(即P、D均为定点)，∴.点A的轨迹 是以PD为直径的圆弧（不与点P、D重合），取 BC的中点M,中线长l=AM,由图可知DM< $深入思考 问题中出现的是“2AD”,但解题时构造 AM<PM,又：DM=PM-答，号< 25 的是DC,想明白这一步是解题的关健， “胡不归”模型中的两条动线段，如本题 中的AD与DC,随着点D位置的变化，AD 与DC的长度均在变化，但线段DC始终在直 8☐ 第1章】 几何最值 思考感悟 ③证明：如图，PA：PB=k,作∠APB 如果了解过“阿氏圆”的概念，便能快速 的平分线交AB于点M,根据角平分线定理， 领悟本题的考点以及确定解题方向这也是模 MA_PA=k,故M为定点，即∠APB的平 MB PB 型存在的意义. 分线交AB于定点， “阿氏圆”模型 (1)定义：如图，已知A、B两点，点P满足 PA:PB=(k≠1)，则满足条件的所有的点 B P构成的图形是圆. 作∠APB的外角平分线交直线AB于 A MB O N 点N,根超外角平分我定现，心沿B路- 故N为定点，即∠APB的外角平分线交直 (2)证明 线AB于定点. ①内角平分线定理：如图，在△ABC中， AD是∠BAC的平分线，则AB_DB ,∠MPN= 2X180°=90（定边对直角）， AC DC ∴.点P的轨迹是以MN的中点O为圆 心、MN为直径的圆. (3)性质 MA 性质1：A、B、O、M、N共线，且 B MB D S△ABD 证明：SAACD DBS△ABD NA PA AB·DE NB PB -k. DC'SAACD AC·DF 性质2：连接OP,则△OBP∽△OPA, AB·AB_DB AC·AC=DC: 808R册即-0A·0B ②外角平分线定理：如图，在△ABC中， 关于△OBPc∽△OPA的证明： 外角∠CAE的平分线AD交BC的延长线于 点D,则ABDB 设∠APM=∠BPM=a,∠OPB=B,则 ACDC· ∠OMP=∠OPM=a+B,又.'∠OMP= ∠APM+∠A=a+∠A,.∠A=B= ∠OPB,∴.△OBP∽△OPA. D B D C S△ABD 证明：SAACD DB S△ABD AB·DE DC'S△AcD AC·DF B AB 、ABDB ACAC-DC 9 壹学知道中考数学压轴题得高分 ®例4如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠P0A△cQP△cPA贤-8器- AC=4,BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆， 1 分别交AC、BC于D、E两点，P是⊙C上的一 即PQ=)PA,)PA+PB=PQ+PB≥ 个动点，则2PA十PB的最小值为 BQ=√/10. B ○解析考虑到点P的轨迹是一个圆，联系“阿 《深入思考 氏圆”模型的相关内容，猜想在平面内存在一点 PT Q使得Q-方PA,即股号确定点Q的位 若在平面内确定一点T,使得PB一，如 何确定点T的位置及的值？ 置即可解决问题， 不难发现在“阿氏圆”模型中，两个定点、 法1：由“阿氏圆”模型性质1确定点Q. 圆以及的值都是配套存在的.由题意得 由性质1可知点A、Q与圆心C共线，且点Q 2 在圆内，点Q在线段CD上，当点P与点D PT Rc2 PB一C8一号即=专，相应地，点T的位置 重合时，8设-名n0DA=1,即 也可确定 点Q在CD的巾点处，PA+PB=PQ+ 彦3.几何构造 PB≥BQ=√10，当B、P、Q三点共线时取到最 ®例5(2024·广元)如图，在△ABC中， 小值√/10. AB=5,tanC=2,则AC+5BC的最大值 为 B 法2：由“阿氏圆”模型性质2确定点Q. C解析如图，过点B作BH⊥AC于点H. 由性质2可知CP2=CQ·CA,.CQ=1.取 CD的中点Q,连接PC、PQ..CQ=1,CP=2, tnC=2,CH-5BC.延长HC至点Q使 cA-4,器--又：∠cp 得CQ=CH,则AC+5BC=AC+cQ=AQ 10 第1章) 几何最值 .HQ=2HC=HB,∴.∠Q=45°.由“定边对直 C解析(1)将B(8,0)代入y=ax2+ 4x-6, 角”（详见本章第3节内容）可作出点Q的轨迹 1 圆，得AQ≤，2AB=52,AC+5C的最 得a=- …抛物线的表达式为y=一 11 4x 6,t=3,k=4 3 大值为5√2. (2)如图，过点P作PN⊥x轴交BC于点N, H 则点P的坐标为a,一+ 4m-6),点N 的坐标为(m,m-6)PN=-m十 m-6-(m-6)=-m2+2m,Cv= 11 $思路点拨 既要了解一些常见的模型，也要避免被 4m.由△PQN∽△BOC可得PQ=4 N, 模型束缚了思维，需结合条件具体问题具体 3 NQ= 1 分析，避免盲目套用模型. PN,CQ+7 PQ CN +NQ+ 2 彦4.代数计算 2rQ=cN+gN+号nN=cN+PN ®例6(2022·济南改编)如图，抛物线y= 1 4m,当m=13用 时取到最大值，最大值 x2+ 4x-6与x轴交于A(u,0)、B(8,0)两 为 点，与y轴交于点C,直线y=kx一6经过点B. 点P在抛物线上，设点P的横坐标为m (1)求抛物线的表达式和t、k的值. (2)若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P 作PQ⊥BC,垂足为Q,求CQ+2PQ的最 大值. 思路点拔 在二次函数背景下，对于斜线段的长度 计算，可考虑“化斜为直”，即用锐角三角函数 或相似三角形把斜线段转化为竖直线段的倍 数计算. 以壹学知道中考数学压轴题得高分● 》真题演练 1.(2023·湘西州)如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点 E,P为线段BE上一动点（点P不与点B,E重合），则CP+BP的最小值为 (第1题) (第2题) 2.(2024·泸州)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足 AE=BF,AF与DE交于点O,M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB,则OM+号FG 的最小值是 () A.4 B.5 C.8 D.10 3(2022·梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-4分别与x轴、y轴交于A、B两点， 抛物线y=8r+bx十c恰好经过这两点. (1)求此抛物线的表达式. (2)若点C的坐标是(0,6)，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF,点A的对应点是 点E. ①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上； ②若点P是y轴上的任一点，求BP十EP取最小值时，点P的坐标 0 B 12M )第1章) 几何最值 4.(2023·烟台改编)如图1，抛物线y=ax2十bx十5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C, AB=4.抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=x一1交于点D,与x轴交于点E. (1)求直线AD及抛物线的函数表达式. (2)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PC+2PA的最小值。 y B 图1 图2 5.(2023·内江改编)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B(4,0)、 C(-2,0)两点，与y轴交于点A(0,-2). (1)求该抛物线的函数表达式. (2)若P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K,过点P作 y轴的平行线交x轴于点D,求？PK+PD的最大值及此时点P的坐标 D B A 13