第1章 第1节 PA+PB型最值-【中考得高分】2026年中考数学压轴题训练

第1章) 几何最值 第1章 几何最值 》》》 第1节 “PA十PB”型最值 “PA十PB”型最值是几何最值中常见的题型，以解法为标准可分为“几何构造”与“代数最值” 两大类.“几何构造”中可依据条件通过对称、平移、旋转、构造全等等方式将PA与PB拼接成一条 线段；“代数最值”常见于二次函数背景下，表示出PA与PB的表达式，即可求得PA十PB的最值. 物知识导航 彦1.几何构造：“将军饮马”问题 B ®例1(2022·黄石)如图，在等边三角形 ABC中，AB=10,E为高AD上的一动点，以BE 为边作等边三角形BEF,连接DF、CF,则 ∠BCF= ,FB十FD的最小值为 令例2(2022·自贡)如图，在矩形ABCD 中，AB=4,BC=2,G是AD的中点，线段EF 在边AB上左右滑动.若EF=1,则GE+CF的 最小值为 D ○解析，△ABC是等边三角形，AD是高， ∴.∠BAD=30°.由题意可证△BEA≌△BFC, E F ∴.∠BCF=∠BAE=30°.如图，作点B关于CF C解析如图，作点G关于AB的对称点M,连 的对称点G,连接BG、CG、FG、DG.由题意可得 接ME,则有ME=GE,将ME平移至NF,则 △BCG是等边三角形，FG=FB,∴.FB+FD= GE+CF=ME+CF=NF+CF≥CN,当N、 FG+FD>DG..'AB =10,..BD=5,BG= F、C三点共线时取到最小值，即线段CN的长 BC AB 10,.DG =BG2-BD2= 由作图得AM=BH=AG=1,MN=EF=1, √102-5=5√3，.当D、F、G三点共线时， .CH=3,NH=4-1=3,.CN= FB+FD取到最小值5√3. √CH2+NH2=√32+32=3√2，.GE+CF的 1 以壹学知道中考数学压轴题得高分 最小值为3√2. ®例3(2023·齐齐哈尔改编)综合与探究： D 如图，抛物线y=一x2十bx十c上点A、C的坐标 分别为(0,2)、(4,0)，抛物线与x轴负半轴交于 点B,M为y轴负半轴上一点，且OM=2,连接 B AC、CM.将抛物线沿x轴的负方向平移得到新 抛物线，点A的对应点为A',点C的对应点为 C',在抛物线平移过程中，当MA'+MC的值最 多模型归纳 小时，新抛物线的顶点坐标为 ,MA'+ 像例1这样，通过作对称的方式将折线 MC'的最小值为 段转化成直线段，即为“将军饮马”模型，相关 模型如下： B (1)点一点：两定一动 如图，在直线1上取点P,使得PA十PB M 最小 C解析确定抛物线沿x轴负方向移动的距 B 离，即可确定新抛物线的顶点坐标如图，抛物 线位置保持不变，将点M向x轴正方向移动， 点M所在直线为y=一2，作点A关于直线 (2)点一点：一定两动 y=一2的对称点A"(0,一6)，连接A"℃，与直线 在OA、OB上分别取点M、N,使得 y=一2的交点即为点M.设直线A"C的函数表 △PMN周长最小. 达式为y=x+m,将A"(0,-6)、C(4,0)代 A 入，得 m=-6, k= 1 解得 2’ A"℃的函数 4k+m=0, m=-6. (3)点一线：点与直线的连线中，垂线段最短 表达式为y=-6.令y=-2,可得点M的 在OA、OB上分别取点M、N,使得 坐标为(，一2)，即点M向右平移了个单位 PM+MN最小. 长度“若抛物线向左平移，则同样平移8个单 位长度时，MA'十MC'的值最小.由题意得原抛 物线的顶点坐标为(416 781 ,.新抛物线的顶点 像例2这样当两条线段分离时，可通过 1181 平移的方式，将其转化成共端点的折线段. 坐标为（一12'16 ,MA'+MC'的最小值即为 2 第1章) 几何最值 A"℃=√OC2+OA?=√42+62=2√/13. ,AF+EC-AF+FC>AC=25 2AF+ FE+EC的最小值为25+55 2 $动静转换 运动是相对的，当把动点看成静止时，定 点便成了动点，动两点不如动一点，灵活转换 思路点拔 动点与定点，即动静转换，可简化问题. 对于位置分离的两条线段，若有一组点 ≥2.几何构造：巧构平移 存在固定的相对位置，可通过平移将两条线 段拼接成一条折线段。 令例4(2022·滨州)如图，在矩形ABCD 中，AB=5,AD=10若E是边AD上的一个动 ≥3.几何构造：构造旋转 点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直 ®例5(2023·济南改编)在矩形ABCD中， 线BC于点O、F,则在点E移动的过程中， AB=3,AD=3√3，点E在边BC上，且EA= AF+FE十EC的最小值为 EC,平面内有一动点P,满足PE=6,连接 PA、PC,则PA+PC的最小值是 C解析由EF⊥AC可知EF是定值，如图，过 点E作EH⊥BC于点H,则△EHF∽△ADC, B 5FH= 能-4c-5 C解析由题意可得BE=3,EA=EC=2√3， ∠AEC=120°，点P是以点E为圆心、6为半径 令另知EF相对位置固定，“将C向下移 的圆上的一个动点.如图，将△EAP绕点E顺 时针旋转120°得到△ECP',则PA+PC= 动5个单位长度，再向左移动个单位长度至 PC+PC≥PP',当P、C、P'三点共线时等号 FC',连接AC',作CM⊥AB交AB的延长线于 成立，即满足∠EAP+∠ECP=180°时等号成 立，此时∠APC=60°，.∠P'PE=30°，.PP'= 点M,则AC'=AM+CM=10+( √3PE=6√3，∴.PA十PC的最小值是63. 3 壹学知道中考数学压轴题得高分m● 形5.代数最值 ®例7(2022·贵港改编)如图，已知抛物线 y=-+2x中3经过A(0,3)和B叫名，) 3 两点，直线AB:y=一2x十3与x轴相交于点 C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点， 思路点拨 PD⊥x轴交AB于点D,PE∥x轴交AB于点 如何想到构造旋转？ E,求PD十PE的最大值. (1)在三大变换中排除了对称与平移，还 可考虑旋转， (2)本题存在构造旋转的基本条件：邻边 相等. 彦4.几何构造：“逆等线”问题 ®例6(2024·宜宾)如图，在平行四边形 ○解析设点P的坐标为(m,一m2+2m+3), ABCD中，AB=2,AD=4,E、F分别是边CD、 则点D的坐标为(m,一2m十3)点E的坐标 3 AD上的动点，且CE=DF.当AE十CF的值最 小时，CE= 为（m2-m,-m2+2m十3}，PD= 4 m+2m+3(2m+3)=-m 2n, PE=m-(m- ）=-号m+m, C解析如图，延长BC至点G使得CG=DC= PD+PE=-m+n0<m<)当 2,又.'CE=DF,∠ECG=∠FDC,∴.△CEG≌ △DFC,.CF=EG,∴.AE+CF=AE+EG≥ m= 名时.FD+PE取到最大伯智 AG,当A、E、G三点共线时，AE十CF的值最 (对于线段PE,还可通过相似三角形求得.由 小此时品-8S-名cE-新 2 AB=- 31 人DPE0入AC,母器-8货=号中PE= F 思路点拔 $思路点拔 在二次函数背景下，竖直线段可由点坐 “逆等线”问题的典型条件是“动点等线 标所得，水平线段或斜线段，可转化成对应竖 段”，以等线段为一边构造全等，转移线段位置. 直线段的倍数计算. 4 )第1章) 几何最值 》真题演练 1.(2022·德州)如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边BC上，CE=2.M是对角线BD上的一个动 点，则EM十CM的最小值是 ( A.62 B.35 C.2√13 D.4√/13 y=x+4 D M D B M B E B (第1题) (第2题) (第3题) 2.(2022·聊城)如图，一次函数y=x+4的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,C(一2,0)是x轴 上一点，E、F分别为直线y=x十4和y轴上的两个动点，当△CEF周长最小时，点E、F的坐标 分别为 () AE(-2引-ro2 B.E(-2,2),F(0,2) c.E(-8,ro, D.E(-2,2),F0,) 3.(2021·连云港)如图，正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上运动.若⊙O的面积 为2π，MN=1,则△AMN周长的最小值是 () A.3 B.4 C.5 D.6 4.(2020·荆门)如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动， A(0,2),B(0,4),连接AC、BD,则AC+BD的最小值为 () A.25 B.210 C.6√2 D.35 M D B P A D C DX OBA (第4题) (第5题) (第6题) 5.(2021·广西)如图，已知点A(3,0)、B(1,0),C(一3,9)、D(2,4)两点在抛物线y=x2上，向左或 向右平移抛物线后，C、D的对应点分别为C'、D'.当四边形ABC'D'的周长最小时，抛物线的表 达式为 6.(2023·日照改编)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P在对角线BD上，过点P作MN⊥ BD,分别交边AD、BC于点M、N,连接BM、DN,则BM+MN+ND的最小值是 5 么壹学知道中考数学压轴题得高分● 7.(2023·南通)如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，AC=4,BD=6,则AD十 BC的最小值是 D B (第7题) (第8题) 8.(2020·南通)如图，在△ABC中，AB=2,∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线1经 过点D,AE⊥L,BF⊥L,垂足分别为E、F,则AE十BF的最大值为 9.(2024·连云港改编)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、 AE、BD.若AC+CD=5,BC+CE=8,则AE+BD的最小值是 A D C 10.(2022·遵义)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，M、N分别为BC、AC上的动点，且 AN=CM,AB=√2.当AM+BN的值最小时，CM的长为 B M 11.(2023·黄冈改编)如图，在△ABC中，已知A(1,3)、B(0,一4)、C(4,0),D、E分别是边AB、 BC上的动点，且AD=BE,连接CD、AE,则AE十CD的最小值是 B 6K参考 第1章几何最值 第1节“PA+PB”型最值 1.C 2.C解析：如图，作点C关于直线y=x十4的对称点 C1,作点C关于y轴的对称点C2,连接C1C2,与直线 y=x十4和y轴的交点即为所求点E、F.由题意得点 C的坐标为（一2,0），点C1的坐标为(-4,2)，点C2 的坐标为(2,0)，.直线C1C2的函数表达式为y= y=x十4， 日十名，联立方程组 1 y=一1+2解得 -3x+3, x=- 2 ∴点E的坐标为（号，2）把x=0代入 3 y 2, 322 y、 得y=号∴点F的坐标为0，) /y=x+4 E A C OC 3.B解析：如图，连接CM,将线段CM平移至CN, 连接CC',则四边形C'NMC为平行四边形，∴.C'N= CM=AM,CC'=MN=1,连接AC、AC',则 ∠ACC'=90°，当A、N、C'三点共线时，AN+NC'取 到最小值..⊙O的面积是2π，.OA=√2，AC=2√2， ∴.AC=√AC2+CCz=√(2√2)2+12=3， ∴.△AMN周长的最小值为3+1=4. 中考数学压 答案 4.B解析：如图，作点A关于x轴的对称点A',再将 A'向右移动2个单位长度得点A”,则有A"D=A'C= AC,∴.AC+BD=A"D+BD≥A"B,当A"、D、B三点 共线时，即可取得最小值.A(0,2),B(0,4),∴.OA'= OA=2,∴.A'B=-6,.A"B=√AA%+AB2= √22+62=2√10，.AC+BD的最小值为2√/10】 解析：将点C向右平移2个单位长 度得C1(一1,9)，作点D关于x轴的对称点D1(2, 一4)，连接C1D1,与x轴的交点即为A1.由题意可得 直线CD,的函数表达式为y=一x点A, 32+ 的坐标为 普），曲点A向左平移个单位长度得 到，抛物线应向右平移铝个单位长度，表达式为y 6.20解析：如图，过点M作MH⊥BC于点H,易证 △MHNn△BcD,÷d--8:A5=6, AD=8,.∴.MH=CD=6,BC=8,BD=10,.'.MN= HN=BH+CN=子在BN上取点A使得 15 A'N=AM,构造△A'B'N≌△ABM,则B'N=BM, BM+ND=B'N+ND≥B'D=J12+(2)°= 轴题得高分 空BM+MN十ND的最小值为+否-0， 25 7.2√13解析：如图，将CB平移至AB',可得AD十 BC=AD+AB'≥DB'=√DB2+BB=213. D B 8.√6解析：如图，过点A作AH⊥BC交BC于点 H,则BH=1,AH=√3，∴.CH=AH=3,AC=√6 过点C作CM⊥l于点M,.D是BC的中点，.可得 △BFD≌△CMD,∴.CM=BF,将CM平移至C'E,得 AE+BF=AE+CM=AE+C'E≤AC=√6，当 l⊥AC时等号成立，∴.AE+BF的最大值为√6. 9.√89解析：如图，延长BC至点E'使得CE'=CE, 延长AC至点D'使得CD'=CD,连接AE'、BD',则 AE+BD=AE'+BD'.作矩形ACE'M、BCD'N,连接 CM、CN,则AE'+BD'=CM+CN≥MN= 中考数学压 √52+82=√89，.AE+BD的最小值是√89. B 10.2-√2解析：如图，过点C作CP⊥BC且CP= AB,连接MP,则△BAN≌△PCM,∴.BN=PM, .AM+BN=AM+PM≥AP,当A、M、P三点共线 且点M在线段AP上时，AM+BN取到最小值.过点 作AQ⊥BC于点Q,则△AQM∽△PCM,C情 AQ=AB=2BC=2,CQ=1CMM= PC√21 方iCM-2-E,即CM的长为2-2. 1 11.2√17解析：如图，过点A作AF∥BC,构造 △ADF≌△BEA,则AF=AB=5√2，DF=AE,.点 F的坐标为(-4，-2)，.AE+CD=DF+CD≥ CF=2√I7,当C、D、F三点共线时取到最小值， .AE+CD的最小值为2√17. 轴题得高分 2