2026年中考复习必备 数学试卷（八）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 涵盖代数、几何、统计核心知识，解答题突出探究性与实际应用，如综合实践题从特殊到一般的旋转放缩探究，函数应用题结合爬山情境，培养创新意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|实数、图形性质、分式方程、概率|跨学科情境（化学溶液混合概率），基础概念辨析| |填空题|6题/18分|科学记数法、菱形性质、圆锥计算、反比例函数|几何作图与性质综合（角平分线与中垂线），规律探究（一次函数与等边三角形）| |解答题|8题/72分|二次函数综合、圆的切线证明、统计分析、动态几何|函数应用（爬山运动），综合实践（四边形旋转放缩），注重推理能力与空间观念|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（八） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 实数的倒数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示方式放置于同一平面内，其中，． 若，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由5个完全相同棱长为1的小正方体搭成，其主视图和俯视图的面积和是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 小红去商店购买A，B两种玩具，共用了30元钱，A种玩具每件3元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量少于B种玩具的数量，则小红的购买方案有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 9. 如图，矩形中，，，E为边上一点，，动点P，Q同时从点C出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着折线运动到点B时停止，它们的运动速度都是，设P、Q同时出发时，的面积为，则y与t的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②方程必有一个根大于且小于；③若是抛物线上的两点，那么；④； ⑤对于任意实数，都有，其中错误结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 国家提倡“低碳减排”，某风能发电站年均发电量约为213000000度，将数213000000用科学记数法表示为______． 12. 如图，在中，平分．按如下步骤作图：第一步，分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，F；第二步，作直线分别交，于点G，H；第三步，连接，．若，，，则的长是________． 13. 若圆锥的侧面展开图半径是10，面积是，则这个圆锥的底面半径是________． 14. 如图，A，B是反比例函数图象上的两点，过点A作轴，垂足为C，交于点D．若D为的中点，则的面积为______． 15. 已知正方形的边长为6，作的中垂线l，垂足为E，Q为直线l的点，作点D关于的对称点P（点P不与正方形的顶点重合），当是等腰三角形时，的长度为________． 16. 如图，在第一象限内的直线l：上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；…依此类推，则点的横坐标为________． 三、解答题（本题共8道大题） 17. 计算、分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组： 19. 解方程：． 20. 某学校在实施德智体美劳“五大行动”中，计划在实施“美育熏陶”课程中开设书法、音乐、绘画，舞蹈四种项目供学生选择．为了合理安排课程，美育王老师从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查(规定每个学生必须且只能选择一个项目)，并把调查结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）求出参加这次调查的学生人数，并补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数； （3）若该校共有3000名学生，试估计该校选择“舞蹈”项目的学生有多少人． 21. 如图，是的直径，点是的中点，过点作射线的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（用含有的式子表示）． 22. 小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，出发晚了8分钟，为追赶小江，小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶．两人距出发地路程y（米）与小江登山时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）． （1）小江休息前登山的速度为______米/分钟，小北减速后登山的速度为______米/分钟． （2）求a的值． （3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米/分钟？ 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 24. 综合与探究 如图，抛物线与y轴交于点D，与某一次函数的图象交点为，，连接，． （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）点B是x轴上的动点，连接，当时，求点B的坐标； （3）点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点E的坐标； （4）若抛物线与x轴正半轴的交点为M，F为抛物线对称轴上一点，则的最大值为________． 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（八） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据定义计算即可求解． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，设的倒数为， ∴ ，解得 ． 故选：D． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据平方差公式、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．主视图是从物体的前面看得到的视图；俯视图是从上面看得到的视图． 【详解】解：主视图：，俯视图： ∴面积和是． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解与参数范围，掌握先化分式方程为整式方程求，再根据解的符号和分母不为零列不等式求解参数是解题的关键． 先解分式方程，用表示出，再根据解为正数和分式分母不为0两个条件列不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵ 方程两边同乘去分母，得 整理得. ∵ 方程的解是正数， ∴ ，即，解得. 又∵ 分式分母不为，即， ∴ ，解得 综上，的取值范围是且 故选：C． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案， 【详解】解：氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，分别用表示， 画树状图如图： 四种溶液中随机取出两种溶液，共有12种可能，其中两种溶液混合后产生气体的有：（）碳酸氢钠溶液和稀盐酸溶液、（）碳酸氢钠溶液和稀硫酸溶液4种情况，所以有气体生成的概率是． 故选：C． 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解与不等式应用，掌握根据实际问题列方程，结合约束条件枚举正整数解是解题的关键． 设种玩具数量为，种玩具数量为，根据总花费列出二元一次方程，结合，，，且，均为正整数，枚举即可得到方案数． 【详解】解：设种玩具购买件，B种玩具购买件，根据题意得 ，整理得 ， ∵，均为正整数，且满足，，， ∴由得，不等式变形得 ，即，得， ∵为正整数， ∴为偶数， ∵是偶数， ∴为偶数，即为偶数， ∵且为正整数， ∴可取，，当时，，符合条件； 当时，，符合条件； ∴共有种购买方案， 故选：． 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．分类讨论：①当，即点在线段上，点在线段上；②当，即点在线段上，点在线段上时；③，即点在线段上，点在线段上时；④当，即点在线段上，且与点重合，点在线段上时；这四种情况下的函数图象，根据函数图象的性质进行判断． 【详解】解：矩形中，，， ①当，即点在线段上，点在线段上，则，此时该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分．故B选项是错误； ②当，即点在线段上，点在线段上时，，该函数图象是随增大而增大的直线的一部分，故A选项是错误； ③，即点在线段上，点在线段上时； ， 如图，过点Q作， 则，即， ∴，此时该函数图象是开口向下的抛物线，故 C 选项是错误； ④当，即点在线段上且与点重合，点在线段上时，，该函数图象是直线的一部分，故D正确； 综上所述，D正确， 故选：D． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； 由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∵抛物线关于直线对称， ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确； ∵， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴；故③错误； ∵ ∴， 由图像知：，， ∴；故④正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为：， ∴对于任意实数m，都有， 即：， ∴；故⑤正确； 综上：错误的有2个． 故选：A． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将213000000用科学记数法表示为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，，判定四边形是菱形是解此题的关键． 设，交于点，根据已知得出直线垂直平分线段，推出，，，，根据可判定，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，可得到，根据相似三角形的性质得出，代入数据即可求出． 【详解】解：设，交于点， 如图，根据尺规作图可知，直线垂直平分线段， ，，，， ， 平分， 在和中， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ， 设，则，， 又， ， 解得， ． 【13题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积与扇形面积的关系，掌握圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于底面圆周长，结合扇形面积公式求解是解题的关键． 先利用扇形面积公式求弧长，再根据弧长等于底面圆周长求底面半径． 【详解】解：设扇形弧长为，圆锥底面半径为. 由题意得，扇形半径，扇形面积. 根据扇形面积公式，得 解得. 因为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长， 所以 解得． 故答案为：6． 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据题意可以分别表示出点的坐标，然后根据的面积为，即可求解． 【详解】设点的坐标为则点的坐标为 ∴点的坐标为纵坐标为横坐标为：， ， 的面积为， 故答案为：． 【15题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形分类讨论，掌握利用轴对称确定点P轨迹，分等腰三角形三边相等情况讨论，结合中垂线性质求线段长度是解题的关键． 根据轴对称性质得，即在以为圆心，长为半径的圆上，将为等腰三角形分三种情况讨论，结合中垂线性质和一次函数性质计算的长度，舍去与正方形顶点重合的情况． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设，，则正方形中，，  是的中垂线，垂足为， ，直线的方程为，在上，设，则  点与点关于对称， ， 在上，为等腰三角形，分三种情况讨论： 当时，， ，，得， 联立， 解得，，即，，均不为正方形顶点，符合题意.  是的中垂线，的斜率为， 的斜率为， 过原点，方程为，将代入得， . 当时，在的中垂线上，为，端点为，， 的中垂线为， 联立， 解得， 即，，均不为正方形顶点，符合题意. 对，的斜率， 的斜率， 方程为， 将代入得， . 对，的斜率， 的斜率，  方程为，将代入得， . 当时，， ，，得， 联立， 解得或，对应点和点，均为正方形顶点，不符合题意，舍去. 综上，的长度为、或. 故答案为、或． 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及正比例函数的性质，解题的关键是找出规律．根据一次函数图象上的坐标特征及等边三角形的性质，找出规律性即可求解． 【详解】解：，是等边三角形， ，， 过作轴交轴于点， ， ∴的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∵过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点， ， ∴的横坐标为， ∴以此类推：的横坐标为， 的横坐标为． 三、解答题（本题共8道大题） 【17题答案】 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简算术平方根与绝对值，计算特殊角的三角函数值与零指数幂，再计算加减法即可得； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集为：． 【19题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．首先提取公因式，再用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：． 或 解得：，． 【20题答案】 【答案】（1）60人，见解析 （2）108度 （3）300人 【解析】 【分析】（1）根据选择“绘画”项目的学生人数占，可知选择其余项目的学生人数占，再根据条形统计图求出其余项目的总数，从而求出参加这次调查的学生人数和选择绘画”项目的学生人数，从而补全条形统计图； （2）用“书法”项目所占比例乘以即可求得所对应扇形的圆心角度数； （3）用该校学生数乘以调查中选择“舞蹈”项目的学生比例即可得解． 【小问1详解】 解：由扇形图可知：选择“绘画”项目的学生人数占， ∴选择其余项目的学生人数占， 由条形统计图可知：选择其余项目的学生人数是：(人) ∴参加这次调查的学生人数为：(人)， ∴选择绘画”项目的学生人数为：(人)， 补全补全条形统计图如下： 【小问2详解】 ， 答：扇形统计图中“书法”项目所对应扇形的圆心角度数为108度； 【小问3详解】 (人) 答：估计该校选择“舞蹈”项目的学生有300人． 【21题答案】 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，证明，即可得到结论； （）连接，，，证明，从而可得，代入求出，由，则，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，即可证明，从而可得，求出扇形的面积即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 如图，连接，，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，切线的判定，解直角三角形以及扇形面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【22题答案】 【答案】（1）10，12 （2） （3）小江加速后的速度至少要比原来提高米分钟． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）由图象可以直接求出小江休息前的速度；先求出小北减速前的速度，再求出他到达半山腰所用时间，再用路程除以时间求出他减速之后的速度； （2）由两人的路程相等列方程，解方程即可； （3）先求出小江到达山顶最多所用时间，再求出加速后的最小速度即可． 【小问1详解】 解：小江休息前登山的速度为（米分）， 小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍， 小北减速前的速度为20米分， 小北到达半山腰所用时间为：（分， 小北减速后登山的速度为（米分）， 故答案为：10，12； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得； 【小问3详解】 解：若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后到达山顶所需时间最多为（分钟）， 小江的速度至少为（米分）， （米分）， 小江加速后的速度至少要比原来提高米分钟． 【23题答案】 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【24题答案】 【答案】（1）， （2）或 （3）点E的坐标为或或 （4） 【解析】 【分析】（1）结合题意利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式，进而当时，求出函数值，即可得到点D的坐标； （2）根据题意得到，设，结合建立等式求解，即可解题； （3）根据点E是坐标平面内的点，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，分情况①当、为边时，②当为对角线、为边时，③当为对角线、为边时，结合平行四边形性质，已经全等三角形性质和判定求解，即可解题； （4）由二次函数解析式及对称性得到函数的对称轴，点坐标，以及点关于对称轴对称的点为点，结合对称的性质得到，当、、三点共线时，最大，即时取最大值，最后结合勾股定理求出，即可解题． 【小问1详解】 解：抛物线与某一次函数的图象交点为，， ， 解得， ， 当时，， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， 设， ， ， 解得， ， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形， ①当、为边时， 有，且， 此时坐标为， ②当为对角线、为边时， 有，且， 此时坐标为， ③当为对角线、为边时， 有，且， 作轴于点， ， ， ，， ， ，， ， 此时坐标， 综上所述，若以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，则点E的坐标为或或； 【小问4详解】 解：， 对称轴为直线， ，点与点关于直线对称， ， 点关于直线对称的点为点，且F为抛物线对称轴上一点， 连接，，有， 当、、三点共线时，最大， 即时取最大值， ， 则最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，二次函数与面积综合，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，对称的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识，灵活利用数形结合、分类讨论的数学思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $