2026年中考复习必备 数学试卷（四）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 2026年齐齐哈尔市中考复习数学试卷（四），通过文化情境（如《九章算术》负数概念）、生活应用（如租车方案、经典诵读统计）及综合探究（如旋转几何、二次函数综合），考查数学眼光、思维与语言，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|负数概念、图形对称、整式运算、概率等|结合地铁标志考对称，等腰直角三角尺与直尺考几何直观| |填空题|6题|科学记数法、圆锥侧面积、角平分线作图、反比例函数等|2025年电影票房考科学记数法，正方形动态问题考分类思想| |解答题|8题|实数运算、不等式组、统计、圆切线证明、函数综合等|统计题结合经典诵读活动，旋转几何题分层探究，二次函数综合考模型观念|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（四） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 以下四幅图案分别为“福州地铁”“郑州地铁”“哈尔滨地铁”“深圳地铁”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的家用热水瓶，从左面看这个家用热水瓶的形状图为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 某景区的一辆观光小火车共有3节相同的车厢，乘客从任意一节车厢上车的可能性相等．某天甲、乙两位乘客同时乘坐这辆小火车，则甲和乙都从同一车厢上车的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某足球迷协会组织72名球迷租乘汽车赶往比赛场地，为中国队加油助威，可利用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘6人，要求租用的车不留空座，也不超载，则租车方案共有（ ） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 9. 如图，等边三角形的边长为6，P为的边上一点（不与端点重合），于点D．点Q在边的延长线上，且，E为外一点，四边形为平行四边形．连接交于点F．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且经过点.下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤对任意实数，都有（其中）其中正确的结论有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 2025年暑期，一部战争历史题材电影《南京照相馆》上映．根据网络平台数据，截至8月11日，电影《南京照相馆》票房超22亿元，刷新中国影史暑期档历史片票房纪录．22亿用科学记数法表示为_____________． 12. 若圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，它的底面半径是5，则该圆锥的侧面积是________． 13. 如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为___________． 14. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点为轴正半轴上一点，过作轴的垂线交反比例函数的图象于点，交正比例函数的图象于点．若，则的面积_______． 15. 已知正方形的边长为4，点E在射线上，点F在直线上，，当时，的长为________． 16. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，再沿平行于的直线运动，到达上的点处，……如此运动下去，则点的纵坐标为________． 三、解答题（本题共8道大题） 17. 按要求解答下面问题． （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组： 19. 解方程：． 20. 某校为了丰富学生的课外生活，开展“雅言颂经典，真情咏中华”经典诵读活动．为了了解学生的参与度，学校随机抽取了一部分学生进行调查，m表示每天诵读时长，把调查学生的诵读时长分为5个等级，每个等级的范围如下表所示，并绘制了条形统计图和扇形统计图． 等级 时长范围/分 A B C D E 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中，等级E所在扇形的圆心角度数是________度； （4）学校为了鼓励学生积极参加该项活动，准备给诵读时长不低于20分钟的同学授予“诵读之星”称号，该校共有2000名学生，则获得“诵读之星”称号的学生约有多少人？ 21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 22. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖________m； （2）当时，求与x之间的函数关系式； （3）请直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 23. 已知，在中，，，将绕点逆时针方向旋转得到，使点的对应点落在边上，射线交于点，连接． 问题初探： （1）如图1，当时，求证：点是的中点； （2）小明在（1）问的条件下继续探究，发现所在直线是的垂直平分线，从而求出的度数，进而得到的度数，因此他说，请你写出小明结论的具体证明过程； 实践探究： （3）如图2，当时，判断，，之间的数量关系，并说明理由；小明认为在的条件下，，也可以写成，所以猜想当时，也成立；小丽在上截取，连接，如图3，通过证明，从而得到小明的结论是正确的． 请你帮助小丽完成证明过程； 问题解决：班级的数学活动小组对上述问题进行研究之后，在原有条件不变的情况下，提出了下面这个问题： （4）若，，直接写出的长．请你直接写出正确答案． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； （3）点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； （4）将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（四） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量．熟练掌握相反意义的量是解题的关键． 根据相反意义的量进行判断作答即可． 【详解】解：∵盈利元记作元， ∴亏本元记作元， 故选：B． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相除，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则计算判定A，根据同底数幂相除的法则计算并判定B，根据积的乘方的法则计算并判定C，根据幂的乘方的法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算正确，符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，即可． 【详解】∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从左面看，看到的图形可以分为三部分，从下到上依次为长方形，梯形，正方形，再结合还有一个手把即可得到答案． 【详解】解：从左面看，看到的图形下面一部分是一个长方形，紧挨着长方形的上面是一个梯形，梯形上面是一个正方形，且长方形中有一条从上而下的竖线，即看到的图形如下： ， 故选：B． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，正确计算是解题的关键．先解分式方程得到含的解，根据解为负数，结合分式分母不为零的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 解得 ∵ 方程的解是负数， ∴ ∵ ， ∴ ， 解得. 又∵ 分式方程分母不能为， ∴ 且. ，分子为，故不可能为. 令，解得. 综上，的取值范围是且． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率，涉及画树状图求概率，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 用树状图表示所有等可能的结果，再求得甲和乙从同一节车厢上车的概率． 【详解】解：将3节车厢分别记为1号车厢，2号车厢，3号车厢，用树状图表示所有等可能的结果， 共有9种等可能的结果，其中，甲和乙从同一节车厢上车的有3可能， 即甲和乙从同一节车厢上车的概率是． 故选：C． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】此题综合考查了方程组和不等式，能够根据不等式组求得未知数的取值范围，从而分析得到所有的情况是解题的关键．设两种车的租用数量为未知数，根据总人数列二元一次方程，求方程的非负整数解的个数，即可得到租车方案的数量． 【详解】解：设租用每辆可乘人的车辆，每辆可乘人的车辆，、均为非负整数． ∵总人数为人，要求不留空座不超载， ∴可得方程 ， 整理得 ， ∵是非负整数， ∴为非负整数， ∵与互质， ∴为的非负倍数． 又∵，即，解得， ∴的可取值为 ，共个不同值，对应种符合要求的租车方案． 即，，，， ∴租车方案共有4种． 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，二次函数的图象与性质，掌握以上知识点是解题的关键．连接，过点作交于点，先证明是等边三角形，然后通过证明，即可得到，根据平行四边形的性质得到，，根据含有角的直角三角形三边之间的关系分别表示出、，根据，代入数据求出，即可得到关于的函数图象． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， 过点作于点，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ， ， ∴关于的函数图象是开口向下，经过原点的抛物线的一段， 故选：C． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，从图象中获取正确的信息是解题的关键． 图象可知，，，当时，随着的增大而增大，则，即，可判断①的正误；由轴对称的性质可知，图象经过，当时，，可判断②的正误；当时，，可判断③的正误；由关于对称轴对称的点坐标为，可知，可判断④的正误；由题意知，当时，，即，进而可得，可判断⑤的正误． 【详解】解：由图象可知，，，当时，随着的增大而增大， ∴， ∴，①错误，故不符合要求； ∴， 由轴对称的性质可知，图象经过， 当时，，②正确，故符合要求； 当时，，③正确，故符合要求； ∵关于对称轴对称的点坐标为， ∴，④错误，故不符合要求； 由题意知，当时，， ∴， ∴，即，⑤正确，故符合要求； 故选：B． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中可以用整数位数减去 1 来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，是正数；当原数的绝对值小于 1 时，是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：22亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，扇形弧长与面积的计算，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键，先根据弧长公式求出展开图扇形的半径，再计算扇形面积即可. 【详解】解：设圆锥的侧面展开图半径为， 则， 解得：， 圆锥侧面展开图的面积为； 故答案为：. 【13题答案】 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到，由作图方法可知，分别平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由作图方法可知，分别平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数解析式可求得点A的坐标，则可求出正比例函数解析式，然后可得点C的坐标，进而可得的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴，解得：， ∴正比例函数解析式为， ∵，即点的纵坐标为， ∴， ∴ 即， 依题意，把代入得 ∴， ∴， ∴； 【15题答案】 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查正方形中的折叠问题，解题的关键是分类画出图形，利用相似三角形的性质列方程解决问题．根据点在直线上的不同位置分两种情况讨论. 利用两角相等证明三角形相似，再根据相似三角形的性质列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到的长. 【详解】解：设， 四边形是正方形，边长为， ，， ， ， 又， ， ， ， 分两种情况讨论： 如图（1），当点在线段上时，，， 代入比例式得：， 整理得， 解得，符合题意. 当点在线段的延长线上时，，点在的延长线上，， 代入比例式得：， 整理得， 解得，（，舍去负根）， 故的长为或. 【16题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，找到坐标规律进行求解．根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，可以发现点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环，由此可以求出点的纵坐标． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接，易知四边形，，都是平行四边形， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴点与点重合，由此可知动点每运动次为一个循环， 又， ∴点与点重合，即点的纵坐标为． 三、解答题（本题共8道大题） 【17题答案】 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）先化简绝对值和特殊角的三角函数值、计算负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集，即可作答． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 该不等式组的解集为． 【19题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键．直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ，． 【20题答案】 【答案】（1）30 （2）见详解； （3）108 （4）1300 【解析】 【分析】（1）结合扇形统计图和条形统计图，先通过等级求出总人数，然后用等级的人数除以总人数求； （2）求出等级的人数，然后补全条形统计图即可； （3）将等级所占比乘以即可求出扇形统计图中等级的圆心角度数； （4）将诵读时长不低于分钟的同学所占比乘以，即可估计出获得“诵读之星”称号的学生约有多少人． 【小问1详解】 解：（人） ， 故． 【小问2详解】 解：（人） 补全条形统计图如答图． 【小问3详解】 解：， 故等级所在扇形的圆心角度数是度． 【小问4详解】 解：（人） 答：获得“诵读之星”称号的学生约有人． 【点睛】本题考查扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用数据是解题的关键． 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线； （2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． 【22题答案】 【答案】（1）10 （2） （3）开挖后或或，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 【解析】 【分析】此题主要考查一次函数的运用，待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键． （1）结合图象，用甲小时挖的长度÷时间，即可得出结论； （2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式； （3）先用待定系数法求出当时与的函数解析式以及与的之间的函数关系式，然后根据他们所挖河渠长度差为，列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据图象可知，甲队在开挖后小时内，每小时挖． 【小问2详解】 解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为（）， 由题图可知，函数图象过点，， 解得 当时，与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：当时， 设与x的函数关系式为（）， 可得，解得，即． 设甲队在的时段内与x之间的函数关系式为（）， 由题图可知，函数图象过点， ，解得， ． 当时，，解得； 当时，，解得或， 开挖或或后，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 【23题答案】 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质求得，再由旋转的性质求得，即，据此即可证明点是的中点； （2）先证明垂直平分线，求得，，在中，利用直角三角形的性质即可证明； （3）在上截取，连接，证明，推出，，再证明是等边三角形，得到，据此可证； （4）作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，， ，分两种情况讨论，当是锐角时，可证明，推出，，结合（3）的结论，求解即可；当是钝角时，同理可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵点落在边上， ∴点是的中点； （2）证明：∵旋转， ∴，，， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； （3）证明：在上截取，连接， ∵旋转， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （4）解：作于点， 在中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 当是锐角时， 则， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴； 当是钝角时， 则， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）先根据对称性，求出，，，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点G作轴于点H，根据，得出，证明，得出，设，则，，得出，求出结果即可； （3）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （4）先求出新抛物线的解析式为：，得出新抛物线的对称轴为直线，连接，，则交y轴于点，先证明四边形为平行四边形，得出，说明当最小时，最小，最小，根据两点之间线段最短，得出当点M在点处时，最小，即最小值为的长，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，与x轴交于点A，，抛物线的对称轴为直线， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴点， 把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点G作轴于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点G的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为， 当时，如图所示： 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴此时点H的坐标为； 当时，过点H作轴于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴此时点H的坐标为； 综上分析可知：点H的坐标为或； 【小问4详解】 解：， ∵， ∴将抛物线射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为：， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴点D的坐标为， 连接，，则交y轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∵点N在直线上，轴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在点处时，最小， 即最小值为的长， ∵点G为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，二次函数平移，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $