2026年中考复习必备 数学试卷（三）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 2026年齐齐哈尔市中考复习数学试卷（三），通过唐代花钿图案考对称、双减政策购奖方案等情境，结合旋转重叠面积探究、抛物线综合题，考查数学眼光、思维与语言，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|相反数、对称图形、运算、几何计算、概率等|以花钿考轴对称与中心对称，渗透文化传承| |填空题|6题|科学记数法、圆锥、反比例函数、规律探究等|苏步青星考科学记数法，关联科技前沿| |解答题|8题|统计、圆证明、函数应用、综合实践等|23题旋转与正方形重叠面积探究，24题抛物线综合，培养创新意识与推理能力|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（三） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 4的相反数是（ ） A. 0 B. 4 C. D. 2. 花钿是古时汉族妇女脸上用金翠珠宝制成的一种花形首饰，有红、绿、黄三种颜色，是唐代比较流行的一种首饰．下列四种花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一把直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由5个完全相同棱长为1的小正方体搭成，其主视图和左视图的面积和是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数．将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之积为奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本6元，碳素笔每支5元，共花费72元，则共有几种购买方案？（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，正方形的边长为，点E在边上，且．动点P从点A出发以秒的速度沿运动，当点P出发2秒后，点E以秒的速度沿向点D运动，当点P到达点D时，P，E两点同时停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①；②；③对于任意实数m，都有成立；④若，，在该函数图象上，则；⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 苏步青是中国著名的数学家，被誉为“数学之王”，为纪念其贡献，国际上将一颗距地球21800万公里的小行星命名为“苏步青星”，将21800万用科学记数法表示为_____． 12. 用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为等于____． 13. 如图，在中，，对角线，以点为圆心，的长为半径作弧交于点；再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，射线交于点．若，则的长是_____． 14. 如图，正方形的顶点，在双曲线上，顶点在双曲线上，轴，正方形的面积为，则的值是_______． 15. 在矩形中，的平分线交边于点E，的平分线交直线于点F．若，，则的长为________． 16. 如图，已知直线l：与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，…则点的横坐标为________． 三、解答题（本题共8道大题） 17. 计算、分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组： 19. 解方程：． 20. 为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活动，每个学生必选且只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 参加五个社团活动人数统计表 社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺 人数 40 80 请根据以上信息，回答下列问题： （1）抽取的学生共有______人，______； （2）从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位：)如下： 190，172，180，184，168，188，174，184，则他们身高的中位数是______； （3）若该校有2000人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？ 21. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：； （2）若垂直平分，，求阴影部分的面积． 22. 某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）张强返回时的速度是______米/分； （2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家? （3）请求出张强出发多长时间与妈妈相距米． 23. 综合与实践 问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心处，并绕点旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况． 操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点处，在旋转过程中： （1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______． （2）若正方形的面积为，重叠部分的面积为，在旋转过程中与的关系为______． 类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于，两点，小宇经过多次实验得到结论，请你帮他进行证明． 拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中角的顶点与点重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交于点，斜边交于点，且时，请求出重叠部分的面积． （参考数据：，，） 24. 综合与实践 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与相似，求点D的坐标； （3）如图②，轴与抛物线相交于点E，H是直线下方抛物线上的动点，过点H作与y轴平行的直线与，分别相交于点F，G，连接，试探究当点H运动到何处时，四边形的面积最大，求此时点H的坐标及最大面积； （4）若K为x轴上一点，连接，请你直接写出的最小值（提示：，）． 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（三） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 【详解】A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂除法计算，完全平方公式和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质定理，利用平行线的性质得出是解此题的关键．先根据三角形外角性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴．    ∵，，． ∴． 故选：D． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的知识得出结论即可． 【详解】解：主视图：， 左视图：， ∴面积和是． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程去分母转化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为正数，结合分式分母不为零的要求，确定的取值范围． 【详解】解：去分母，方程两边同乘得， 展开整理得 ， 解得 ． ∵ 分式方程解是正数， ∴ ，即 ． 解得 ． 又∵ 分式方程分母不能为， ∴ ，即 ． ∴ ，解得 ． ∵ 已经满足， ∴ 实数的取值范围为． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率．正确的列表格是解题的关键．先计算投掷两次骰子的所有等可能结果，再利用奇数的乘法性质找出点数之积为奇数的结果数，最后代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意列表格如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由表格可知，共有种等可能的结果，两次掷得骰子朝上一面的点数之积为奇数共有种等可能的结果， ∴ 两次掷得骰子朝上一面的点数之积为奇数的概率为 ． 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，找准等量关系列出方程，结合两种奖品都买，即，均为正整数的条件，即可求出购买方案的个数. 【详解】解：设购买本笔记本，支碳素笔，，均为正整数， ∵ 笔记本每本元，碳素笔每支元，共花费元， ∴ ， 整理得 ， 解得 或 ，两组均符合要求， ∴ 共有种购买方案. 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，掌握分阶段分析点的位置，根据三角形面积公式推导函数表达式，再判断图象形状是解题的关键． 分三段讨论点的位置，分别推导面积与时间的函数表达式，再判断函数图象形状． 【详解】解：当时，点在边上， 此时y关于x的函数图象是一条线段； 当时，点在边上， ∴ 此时y关于x的函数图象是一条与x轴平行的线段； 当时，点在边上，， 此时y关于x的函数图象是一条开口向上的抛物线的一部分． 故选：C． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可判断，即可判断①正确；令，解得，根据图得，，即可求出a的范围，即可判断②错误；由代入变形计算即可判断③错误；由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误；将所求的方程解的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知⑤错误． 【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上， ， ， ，故①正确； 令， 解得， 由图得，， 解得，故②正确； ， 可化为，即， ， 若成立，则，故③错误； 当时，随的增大而减小， ， ， 对称轴为直线， 时与时所对应的值相等， ，故④错误； （，k为常数）的解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标， 则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个， 根据抛物线的对称性可知， 当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4， 当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2， 故⑤错误； 综上，正确的个数为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此即可解答． 详解】解：21800万， 21800万用科学记数法表示为， 故答案为：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的有关计算，圆锥侧面积的有关计算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆周长公式求出弧长，进而求出扇形半径，再根据圆锥侧面积公式求得圆心角即可． 【详解】解：根据题意，扇形的弧长为圆锥的底面周长，底面半径， 设扇形的半径为R， ∴扇形的弧长为， ∴， ∵圆锥侧面积为， ∴圆锥侧面积， ∴． 故答案为：． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，由作图可知垂直平分线，即得，，由平行四边形的性质得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，，设，则点，，根据反比例函数的性质求出，，进而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足为，， 设，易知， 点，， ， 或（舍去）， ， ， 故答案为：． 【15题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等相关知识是解题的关键．由题意得，，，设射线、射线交于点，根据平行线的性质结合角平分线的定义可得到，设，分当点在线段上时，点在线段的延长线上时，两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质和相似三角形的性质得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：，平分， ， ，， 设射线、射线交于点， ， ， 又， ， 设， ①如图，当点在线段上时， ， ， ， 又，， ， ， 解得：； ②当点在线段的延长线上时， ，， ， ，即， 解得：； 综上所述，的长为或． 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次根式的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键． 由直线：可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解． 【详解】解：令，，则， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交轴于点，轴交于点，交轴于点，     由条件可知， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为． 三、解答题（本题共8道大题） 【17题答案】 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）先化简绝对值和二次根式、计算负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算方法是解此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得． ∴不等式组的解集为． 【19题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴ ∴或， ，． 【20题答案】 【答案】（1）200；40 （2）182 （3）400 【解析】 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，求中位数，用样本估计总体等知识，将舞蹈和足球看出整体，并用它们的总数和占比求抽取的学生总数是解题的关键． （1）根据统计表得出舞蹈和足球的总人数，根据扇形统计图得出舞蹈和足球的总占比，再作除法即可得出总人数，继而求出m； （2）将数据按大小关系重新排序，再求中间两数的平均数即可； （1）用全校人数乘以样本中参加舞蹈社团活动的学生占比即可得解． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为：， ∴参加足球社团活动的学生占比为：， ∴， 故答案为：200；40； 【小问2详解】 他们身高按从小到大排列得：168，172，174，180，184，184，188，190， 中间两数是：180，184， ∴他们身高的中位数是：， 故答案为：； 【小问3详解】 (人)， 答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有400人． 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证． （2）如图2，连接．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，再根据，计算求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图2，连接． 图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握相关图形的性质定理、正确添加辅助线是解题的关键． 【22题答案】 【答案】（1） （2）分钟 （3）分钟、分钟、分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）由两点的坐标即可求解； （2）求出点的坐标即可求解； （3）求出直线的解析式、直线的解析式、直线的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知： 张强返回时的速度是：（米/分）， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵（米），（米）， ∴ ∴妈妈原来的速度为：（米/分）， 妈妈按原来的速度回家需要：（分钟）， ∵（分钟）， ∴妈妈比按原速返回提前分钟到家； 【小问3详解】 解：如图所示： 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ， 解得： ， 解得： ， 解得： 综上所述：张强出发分钟、分钟、分钟与妈妈相距米 视频 【23题答案】 【答案】（1）4；4；（2）；类比探究：见解析；拓展延伸： 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，三角形的全等的判定及性质，三角函数的概念等知识点，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 操作发现：（1）根据图形即可判断重叠部分即为（对角线分成的四个三角形中的一个）求出面积即可；当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，证明四边形是正方形，求解面积即可； （2）如图，过点作于点，于点．证明，从而证明，即可求得结论； 类比探究： 先证明，从而证明，即可证明结论； 拓展延伸：过点作于点，于点．先证明，即可证明，，从而证明，根据，即可求得，由重叠部分的面积，即可求得结果． 【详解】解：操作发现：（1）四边形是正方形， ， 当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为； 当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形的面积是4， 故答案为：4，4； （2）如图，过点作于点，于点． 是正方形的中心， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； 类比探究： 证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 拓展延伸： 过点作于点，于点． 同（2）可知四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， 重叠部分的面积 ． 【24题答案】 【答案】（1） （2）点D的坐标为或 （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求； （2）先求点坐标与边长，分两种相似比例情况求点坐标； （3）设点坐标，求直线解析式，用含的式子表示，结合长度求四边形面积的二次函数，求最值； （4）利用三角函数与轴对称转化线段，求的最小值． 【小问1详解】 解：点，在抛物线上， 解得 抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ， ， ， ，． 要使以，，为顶点的三角形与相似，则有或． ①当时，， ； ②当时，， ， ． 综上所述，点D的坐标为或． 【小问3详解】 解：设， 轴， 点E的纵坐标为． 点E在抛物线上， ， （舍）或， ， ． ，， 直线的函数解析式为， ， ． 轴，轴， ， ， 当时，四边形的面积最大为． 当时，， ． 【小问4详解】 解：如图3，作点关于轴的对称点，将绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作轴 ∵点，点 ∴，，， ∵点，点关于轴对称， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴当四点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵ ∴ ∴, 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $