2026年中考复习必备 数学试卷（七）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 融合科技（月壤砖主视图）、文化（卷云纹轴对称）、社会热点（抗联纪念馆购饮料）情境，通过A4纸折叠探究、二次函数综合题等设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|有理数比较、轴对称图形、整式运算等|结合卷云纹考轴对称，体现文化传承| |填空题|6题|圆锥体积、反比例函数、矩形折叠等|16题旋转规律探究，考查空间观念| |解答题|8题|统计图表、圆的切线、二次函数综合等|23题A4纸折叠探究，培养创新意识；24题二次函数与矩形存在性，发展推理能力|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（七） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 2. 卷云纹是我国独特的传统装饰纹样，古代玉璧上的卷云纹纹饰优雅，寓意美好，下列四个选项中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一块含有的直角三角板按如图所示放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. “月壤砖”是未来可能用于月球盖房子的建筑材料．如图，这是某种型号的“月壤砖”的示意图，其主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 从正方形四个顶点及其中心这五个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 如图，在中，，点D、E分别为的中点，点P从D点向A点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交于点F，设点P运动的路程为，的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（）与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①，②；③；④若关于x的方程有两个实数根，且满足，则，；⑤直线（）经过点，则关于x的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11. 截至月日，电影《》累计票房突破亿元，数据用科学记数法表示为______． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是________． 13. 如图，等边三角形中，，平分，平分，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交边于点，连接并延长，交边于点，则线段的长为________． 14. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点C，B，与反比例函数（）的图象在第一象限内交于点A，且，则k的值为________． 15. 在矩形中，，，点E为上一点，且，连接，将沿翻折，得到．当射线经过线段的三等分点时，的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，点A在第二象限，，．将绕点O顺时针旋转并扩大，每次旋转120°，扩大后的面积为原来的4倍．例如：将旋转并扩大后，得到，且；将再旋转并扩大后，得到，且，…以此类推，则的顶点的坐标是________． 三、解答题（本题共8道大题） 17. 计算或因式分解 （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组：并写出其最小整数解． 19. 解方程：． 20. 某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，为了解学生对课程的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只选其中一门课程）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）＿＿＿，＿＿＿； （2）补全条形统计图； （3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为＿＿＿． （4）若全校共有3000名学生，请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球． 21. 如图，为等腰三角形，，以为直径的交于点D，过点D作交的延长线于点E，垂足为F． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为6，求线段的长． 22. 四名同学两两一队，从学校集合进行徒步活动，目的地是距学校10千米的前海公园．由于乙队一名同学迟到，因此甲队两名同学先出发．24分钟后，乙队两名同学出发．甲队出发后第30分钟，一名同学受伤，处理伤口，稍作休息后，甲队由一名同学骑单车载受伤的同学继续赶往目的地．若两队距学校的距离s（千米）与时间t（小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： （1）甲队在队员受伤前的速度是　 　千米/时，甲队骑上自行车后的速度为　 　千米/时； （2）当t＝　 　时，甲乙两队第一次相遇； （3）当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米？ 23. 综合实践 纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准某数学兴趣小组通过折叠纸来探究其中的数学奥秘． 【操作与发现】 如图1，矩形是一张标准的纸，取，边的中点M、N，以直线为轴进行对折，同学们发现对折后的矩形与原矩形相似，由此我们得到： 又因为，所以 于是我们得出如下结论：（1）纸的长与宽之比为_______． 【探究与计算】 矩形是一张标准的纸，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，B点的对应点为． （2）如图2，若点在边上时，则的值为_______； （3）如图3，若E为边的中点，连接，求的值． 【拓展与证明】 （4）如图4，矩形纸片中，，E为边上一点，以直线为轴，将进行翻折，C点的对应点落在边上的点，然后把纸片展平，再以为轴，将进行翻折，点D的对应点落在直线上的处，折痕与相交于点O，与相交于点F，若．求的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上、两点之间的距离是　　； （3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； （4）点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（七） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数大小比较的基本法则即可求解． 【详解】解：根据有理数大小比较法则：正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小. ∵选项A的，选项B的都是正数，选项D为，都大于负数， ∴排除ABD． ∵，，且， ∴． 故选：C． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则，需要运用积的乘方、完全平方公式、同类项的概念逐一判断运算是否正确. 【详解】解：A、根据积的乘方法则，==≠，错误，不符合题意； B、根据完全平方公式，=≠，错误，不符合题意； C、根据积的乘方法则，==，符合运算法则，正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，错误，不符合题意； 故选：C． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质得，进而由对顶角性质得，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵ ∴， ∴， ∴， 故选：． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单的几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：“月壤砖”的主视图是：． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解与参数范围，掌握先化分式方程为整式方程求，再根据解的符号和分母不为零列不等式求解参数是解题的关键 先将分式方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合分式方程分母不为零的限制，求出的取值范围即可． 【详解】解：给方程两边同乘去分母，得 化简得 移项整理得 解得，且， ∵分式方程的解是负数， ∴ ∴，即 又∵，即，解得，对恒成立， ∴实数m的取值范围是且 故选：C． 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，先求出任取个点的总情况数，再找出满足距离条件的情况数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设正方形的四个顶点为，中心为， 从这个点中任取个点，一共有种不同的取法：， 其中这个点的距离不小于该正方形边长的取法共有种： 所求概率 ． 故选：A． 【8题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三元一次不定方程的整数解，掌握根据实际问题列方程组，消元得到不定方程，结合正整数约束枚举求解是解题的关键. 设三种饮品的购买数量，根据总人数和总费用列出方程组，消元后得到不定关系，结合每种都要买的正整数条件，统计方案个数即可. 【详解】设购买饮料瓶，矿泉水瓶，奶茶瓶，均为正整数. ∵总共有名学生，总费用为元. ∴可得方程组 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 . 将代入得 . ∵均为正整数. ∴ 解得 . ∵为正整数， ∴可取，共对应种不同的购买方案 故选：A. 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，延长交的延长线于点，利用矩形的判定与性质可得；设，利用相似三角形的判定与性质求得，进而求得，的长，利用求得与之间关系，再利用二次函数的性质和的取值范围解答即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图， 点、分别为，的中点，， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． ，， ． ， ， ． 为等腰直角三角形， ． 设， 由题意得：，则， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得：， ． ． ， ， ， 抛物线的开口方向向上，顶点为 由题意：的取值范围为：， 当时，，当时，， 与的函数图象是以点和为端点的抛物线上的一部分， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题函数的图象，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，二次函数的图象与性质，求得与之间函数关系式是解题的关键． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式等知识．数形结合是解题的关键． 由题意知，图象开口向下，即，对称轴为直线，则，，当时，，可得，可判断①的正误；图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断②的正误；将代入得，，可判断③的正误；由题意知，关于对称轴对称的点坐标为，则关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1，由图象可知，，；可判断④的正误；由，可知过点，如图2，由图象可知，关于x的不等式，即的解集为，可判断⑤的正误． 【详解】解：由题意知，图象开口向下，即， 对称轴为直线，则， ∴， 当时，， ∴，①正确，故符合要求； 图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，②错误，故不符合要求； 将代入得，，③正确，故符合要求； 由题意知，关于对称轴对称的点坐标为， ∵关于x的方程的两个实数根，为图象交点的横坐标，如图1， 由图象可知，，；④正确，故符合要求； ∵， ∴过点，如图2， ∴关于x的不等式，即的解集为，⑤正确，故符合要求； ∴正确结论的个数为4个， 故选：B． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为， 故圆锥的底面圆的半径为， 所以圆锥的高为：， 该圆锥的体积是：． 【13题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，平行线的性质与判定等等，由等边三角形的性质得到，，再由角平分线的定义可得，，由作图方法可知，垂直平分，则，则由等边对等角可证明得到，据此可证明，得到；再证明是等边三角形，得到，则可证明，进而得到，根据，可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 【14题答案】 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，解题关键是通过作辅助线，求出点坐标，由求解． 由直线解析式求出点坐标，作轴于点，由结合相似三角形的性质可求点坐标，进而求解． 【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于点，， ，， ， 过点作轴于点， ， ， ，， ， ，即， 解得， ， ， 将代入，得． 【15题答案】 【答案】或##或 【解析】 【分析】分类讨论射线经过线段的靠近点和靠近点的三等分点，即可求解． 【详解】解：①当射线经过点时，如图： ∵ ∴ 由折叠得： ∴ ∵ ∴ ∴ ②当射线经过点时，如图： 同理可得 ∵ ∴ ∴ 故答案为：或 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题．分类讨论作图是解题关键． 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化-旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法．观察图象可知，射线(为自然数) 旋转次一个循环，利用这个规律结合相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转并扩大，每次旋转120°， ∴在三角形变换的过程中，射线(为自然数) 的位置每次变换(旋转并扩大次为次变换)为一个循环， ， 射线与射线重合， ∴点在轴正半轴上． 由题意得 又， ， 同理，，， ∴的坐标是． 三、解答题（本题共8道大题） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）先计算乘方运算，绝对值，有理数的乘法，再计算加减法即可得； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【18题答案】 【答案】，4． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出最小的整数解即可． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 其最小整数解为． 【19题答案】 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：． ，，， ， ， 解得：，． 【20题答案】 【答案】（1）100，5 （2）见详解 （3）° （4）学校约有名学生喜爱打乒乓球 【解析】 【分析】本题考查了扇形图与条形统计图的综合，用样本估计总体、求扇形的圆心角 ， 正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用了篮球的人数除以它的占比，求出的值，再运用排球的人数除以的值，求出的值，即可作答． （2）用的值减去各个项目的人数，得出足球的人数，即可作答． （3）用足球的占比乘上360°，求出对应的圆心角，即可作答． （4）运用样本估计总体算出学校喜爱打乒乓球的学生人数，即可作答． 【小问1详解】 解：（名）； 故答案为：100，5； 【小问2详解】 解：（名） 如图所示： 【小问3详解】 解： “足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：（名） ∴学校约有名学生喜爱打乒乓球 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质与判定，掌握切线的判定与性质、锐角三角函数，平行线的判定和性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边对等角及等量代换易证，从而证得，再由，利用平行线的性质及切线定义即可得出结论； （2）根据等量代换及等角的余角相等可得，再根据等角的三角函数值相等即可求线段的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ． ， ， ， ． ， ． 又是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：如图，连接，则， ． 由（1）知， ． ， ， ． 根据题意，得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 【22题答案】 【答案】（1）4，8；（2）0.8；（3）当t≥1时，1小时、小时或小时时，甲乙两队相距1千米 【解析】 【分析】(1)根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲队在队员受伤前的速度和甲队骑上自行车后的速度； (2)根据函数图象中的数据，可以计算出当t为多少时，甲乙两队第一次相遇； (3)根据题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当t≥1时，什么时候甲乙两队相距1千米. 【详解】解：（1）由图象可得， 甲队在队员受伤前的速度是：2÷＝4（千米/时）， 甲队骑上自行车后的速度为：（10﹣2）÷（2﹣1）＝8（千米/时）， 故答案为：4，8； （2）由图象可得， 乙队的速度为：10÷（2.4﹣）＝5（千米/时）， 令5×（t﹣）＝2， 解得t＝0.8， 即当t＝0.8时，甲乙两队第一次相遇， 故答案为：0.8； （3）由题意可得， [5×（t﹣）]﹣[2+8（t﹣1）]＝1或[2+8（t﹣1）]﹣[5×（t﹣）]＝1或[5×（t﹣）]＝10﹣1， 解得t＝1或t＝或t＝， 即当t≥1时，1小时、小时或小时时，甲乙两队相距1千米． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 【23题答案】 【答案】（1）纸的长与宽之比为；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据已有的过程得，整理得，即可作答． （2）结合矩形的性质与折叠的性质，证明四边形是正方形，，再代入数值进行化简，即可作答． （3）结合矩形的性质与折叠的性质得，则，故，在中，，代入数值化简得，故，则，即可作答． （4）由轴对称的性质可得，，，，，，，可证明，，证明，得到；证明，得到，则可证明，据此可得；证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，则． 【详解】解：（1）依题意， ∴或（舍去）， 即， 即纸的长与宽之比为； （2）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵矩形是一张标准的纸，且由（1）得纸的长与宽之比为， ∴； （3）过点作，交于点，垂足为点， ∵矩形是一张标准的纸， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∵点E为的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴； （4）∵四边形是矩形， ∴； ∵与关于直线对称， ∴，，，， ∴； ∵与关于直线对称， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴，即， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3） （4）或或或 【解析】 【分析】（1）先由题意得出，的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点的坐标． 【小问1详解】 解：， ， 又对称轴为， ， 将，代入解析式得：， 解得， ，自变量为全体实数； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ， 故答案为； 【小问3详解】 解：，， 直线的解析式为：， 设，且， 作轴交于点， 则， ， ， 当时，有最大值为； 【小问4详解】 解：设，， 由（1）知，， 若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得：， 解得：， 又， ， 即：， 解得或， 或， 或， 若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得， 解得， 又， ， 即：， 解得， ， 若为矩形的对角线， 由中点坐标公式得， 解得：， 又， ， 即：， 解得， ， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，其中求解析式是基础，一般用待定系数法即可，像求三角形面积问题都用的是切割法，有固定的公式，记住即可，对于特殊四边形的题，要根据对角线的情况分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $