2026年中考复习必备 数学试卷（六）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 2026年齐齐哈尔中考数学复习卷，以新能源汽车、北斗系统等现实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础巩固与综合创新题梯度设计，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|实数比较、图形变换、概率计算等|第2题以新能源车标考轴对称与中心对称，体现应用意识| |填空题|6题|科学记数法、圆锥计算、函数综合等|第11题用北斗定位次数考科学记数法，关联科技前沿| |解答题|8题|函数建模、几何证明、统计分析等|第22题无人机表演考一次函数应用，第24题二次函数与动态问题综合，注重创新思维|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（六） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 在、0、1、2这四个数中，比小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 新能源汽车是指使用除汽油、柴油等传统能源的汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺．近几年，新能源汽车如雨后春笋，发展迅速．以下几个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小优把一副三角板在桌面上摆放成如图所示形状，．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由6个完全相同棱长为1的小正方体搭成，其主视图和俯视图的面积和是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 6. 若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 甲有点数分别为2，4，6的三张扑克牌，乙有点数分别为1，3，5的三张扑克牌．每人从自己手中随机取出一张牌比较点数的大小，点数大的获胜，则乙获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 如图，在中，，．与矩形的一边都在直线l上，其中，，，且点B与点E重合．将沿直线l向右平移，直到点A与点E重合为止．记点B平移的距离为x，与矩形重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位，目前，北斗定位服务日均使用量已超过24900亿次．24900亿用科学记数法表示为____________． 12. 圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为_______． 13. 如图，在中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交边于点，交边于点，以点为圆心，以长为半径作弧，与前面的弧交于点，点与点在两侧，作射线与射线交于点，若，则__________． 14. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点，将直线向上平移3个单位长度与反比例函数的图象相交于点，轴于点，交于点，，若，则的值为_____． 15. 如图，在矩形中，，，O是对角线的中点，点E，F在边上（），且．当为等腰三角形时，则的长为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，对抛物线（）进行如下变换：将抛物线向右平移2个单位长度后，沿x轴作轴对称变换，得到一个新抛物线，然后将得到的新抛物线再向右平移2个单位长度后，沿x轴作轴对称变换，……将这样的变换无限进行下去，得到一条首尾相接的曲线．垂直于x轴的直线l从点出发，沿x轴正方向平移，每秒平移个单位长度，则第110秒结束时，直线l与该曲线的交点的纵坐标为________． 三、解答题（本题共8小题） 17. 计算和因式分解 （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组：． 19. 解方程：． 20. 为丰富同学们的课外生活，某中学组织了书法比赛，由书法老师对每位同学的作品进行打分．校学生会随机抽取部分参赛同学的成绩x（单位：分）作为样本，将其按如下四个等级分类统计，并绘制条形统计图和扇形统计图，如下（均不完整）： 成绩等级标准 A．优秀： B．良好： C．合格： D．不合格： 根据以上信息，解答下列各题： （1）抽取的学生人数为________人，并补全条形统计图； （2）D等级所在扇形的圆心角度数为________°，抽取的学生成绩的中位数落在________等级； （3）校学生会计划奖励A等级学生每人80元的书法用具，奖励B等级学生每人50元的书法用具．已知该校有600人参与了书法比赛，请你估计购买奖品所需的费用为多少元． 21. 如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 22. 甲、乙两架无人机进行表演训练，甲以的速度从地面起飞，同时乙从一栋楼的楼顶匀速起飞，时甲、乙到达同一高度，此时，甲停止上升在该高度上进行表演，表演用时，之后甲按其原速度继续上升；当甲、乙第二次到达同一高度时进行联合表演．已知甲、乙距离地面的高度与飞行时间之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）求楼顶距离地面的高度； （2）求a，t的值及直线的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两架无人机表演训练中，距离地面的高度差为时，x的值． 23. 如图1至图3，在矩形中，，．点在上，且1，连接和，将绕点逆时针旋转，点A，B的对应点分别为点，，所在直线与相交于点，所在直线与射线相交于点，以，为边构造平行四边形，当射线与重合时，停止旋转． （1）求的长； （2）如图2，当点落在线段上时，探究，的数量关系，并说明理由； （3）当点落在平行四边形的边上时，求弧的长； （4）如图3，当点落在线段的延长线上时，连接，，，若的周长最小，直接写出此时的值．（参考数据：） 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点且与轴的正半轴交于点． （1）求的值及抛物线的解析式． （2）如图①，若点为直线AC上方抛物线上一动点，当时，点的坐标为______; （3）如图②，若是线段OA的上一个动点，过点作直线EF垂直于轴交直线AC和抛物线分别于点G、E，连接CE．设点的横坐标为．当为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少； （4）在（2）条件下，点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2，若动点在直线上，动点在x轴上，连接，请直接写出的最小值． 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（六） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，属于基础题，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．先将五个数排序得，从而可得答案． 【详解】∵， 在，0，1，2这四个数中，比小的数是是， 故选：A． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂相乘法则，幂的乘方运算法则，合并同类项法则，积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的性质，由，则，然后根据角度和差即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的意义，画出三视图是得出正确答案的关键．画出它的主视图和俯视图，进而求出主视图和俯视图的面积和，即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为：， 俯视图为：， 主视图和俯视图的面积和是． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，正确进行计算是解题关键．先将分式方程化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为正数、分式分母不为零列出不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：给方程两边同乘，去分母得， 移项整理得， 解得 ． ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为， ∴ ，且 ． 即 ，且 ． 由 得 ，即 ． 由 得 ，即 ． ∴ 实数的取值范围是 且 ． 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．先找出所有等可能的结果总数，再统计乙获胜的结果数，代入概率公式计算即可. 【详解】解：根据题意画树状图如下 由树状图可知，共有种等可能的情况，其中乙的牌面点数大的情况有种， ∴乙获胜的概率为 ． 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据总费用列出二元一次方程，求出符合条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 根据题意得. 化简得. . 均为正整数（两种奖品都购买）. 是4的正整数倍，且. 与互质， 是的正整数倍， 由得. 满足条件的为，对应分别为，共组正整数解． 即，，，， 共有种购买方案． 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，解答本题的关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算． 先根据经过点和经过点时计算出和 ，再分，和三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可． 详解】解：当经过点时，如图1所示： 为等腰直角三角形， ， ，， ； 当经过点时，如图2所示： ，， ， ； ①当时，如图3所示： 此时，， ； ②当时，如图4所示： 过作于，此时，，， ， , ， ∵四边形是矩形， ， ∴； ③当时，如图5所示： 过作于， 此时， ， , ， ， ， ， ， ， ， ， ∴顶点坐标为． 综上所述，关于的函数图象大致为D． 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4a，可得结论；③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；④正确，判断出k＞0，可得结论；⑤正确，设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a，可得M（2，﹣9a），C（0，﹣5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a＜0 ∵抛物线交y轴的负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确， ∵b＝﹣4a，a＞0， ∴b+3a＝﹣a＜0，故②正确， 观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误， 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A， ∵b＜0， ∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确． ∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴M（2，﹣9a），C（0，﹣5a）， 过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K． ∵AM⊥CM， ∴∠AMC＝∠KMH＝90°， ∴∠CMH＝∠KMA， ∵∠MHC＝∠MKA＝90°， ∴△MHC∽△MKA， ∴＝， ∴＝， ∴a2＝， ∵a＞0， ∴a＝，故⑤正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】24900亿． 故答案为：． 【12题答案】 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为r 根据题意得 解得 故答案为：． 【13题答案】 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角，等边对等角，从作图痕迹读懂是解题的关键．由题意可知，，结合等腰三角形以及三角形的外角，可得，最后利用，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：34． 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，正比例函数，平移的性质，平行线分线段成比例，中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；过点作轴于点，根据平行线分线段成比例可得，是的中位线，进而得出，，代入，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴于点， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴，则 ∴是的中位线， ∵， ∵ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 【15题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分三种情况：①；②；③，根据相似三角形的性质或勾股定理进行求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ，， 是对角线的中点， ， ①当时，如图1，作于点，于点， 则，，， ， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ； ②当时，如图2，作于点， 则，， ， ， ， ，即， 解得， 设，则， ， ， 解得， ， ； ③当时，如图3，作于点， 则，， ， ， ， ，即， 解得， ； 综上所述，的长为或或． 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是观察出变换的规律．通过每两段抛物线的水平宽为可得到直线每平移秒，其与该曲线的交点的纵坐标为个循环，由此可知第秒结束时直线与该曲线的交点的纵坐标与第秒结束时直线与该曲线的交点的纵坐标相同．即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，每两段抛物线的水平宽为， ， ∴直线每平移秒，其与该曲线的交点的纵坐标为个循环， ， ∴第秒结束时直线与该曲线的交点的纵坐标与第秒结束时直线与该曲线的交点的纵坐标相同． 由题意得，， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点的纵坐标为， 第秒结束时，直线与该曲线的交点为第二段抛物线的顶点， ∴其纵坐标为，即第秒结束时，直线与该曲线的交点的纵坐标为． 三、解答题（本题共8小题） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根，绝对值，负整数指数幂与特殊角的三角函数，再计算加减法即可得； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别计算出每个不等式的解集，再取两个不等式的公共部分解集即可． 【详解】解：， 由得：，解得， 展开②得：，解得， ∴不等式组的解集为：． 【19题答案】 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，． 【20题答案】 【答案】（1）60，图见解析 （2）36，B （3）估计购买奖品所需的费用为26400元． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，中位数的计算，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． （1）利用C等级的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，根据计算补图即可． （2）根据圆心角等于所占百分比乘以，计算即可，根据中位数的定义计算解答即可； （3）先求出A等级和B等级人数，然后估计购买奖品所需的费用即可． 【小问1详解】 解：（人） 答：抽取的学生人数为人． A等级人数：（人）， D等级人数：（人）， 补全条形统计图如答图． 【小问2详解】 解：，B． D等级所在扇形的圆心角度数为， 一共抽取了人，中位数是第、人的平均成绩，将参赛同学的成绩按从小到大的顺序排列，A等级有人，B等级有人，（人）， 所以排在第、的两人的成绩均处于B等级，所以抽取的学生成绩的中位数落在B等级． 【小问3详解】 解：（人），（人）． （元）． 答：估计购买奖品所需的费用为元． 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 【22题答案】 【答案】（1）楼顶距离地面的高度为． （2），， （3）的值为1，9或13． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，令，的值即为楼顶距离地面的高度； （2）甲以的速度从地面起飞，距离地面，即可求出速度；先求出距离地面到所用的时间，用减去该时间即为表演用时；由此可得到点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （3）分当时，当时，当时，三种情况讨论即可求出的值． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为（）， 将，分别代入， 得解得 直线的函数解析式为． 当时，， 楼顶距离地面的高度为． 【小问2详解】 解：由题图知， ， ， ． 设直线的函数解析式为（）， 将，分别代入， 得解得 直线的函数解析式为． 【小问3详解】 解：的值为或． 【提示】当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，符合题意的的值为或． 【23题答案】 【答案】（1）； （2），见解析； （3）或； （4）3． 【解析】 【小问1详解】 解：在中，，， ； 【小问2详解】 解∶ ． 理由如下： ∵，，且， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质，可得． ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解∶ 由（2）易得，平行四边形是矩形．当点落在平行四边形的边上时，有以下两种情况． 情况一：如图1，此时点C，N重合，点B，H重合． 四边形为矩形， ，，， ， ， ； 情况二：如图2，此时点在上． ，， ，，． ， ，解得， ， ， ． ， ， ， ， ， 综上， 弧的长为或； 【小问4详解】 解∶ 如图3，由（1）（2）知，，． 当点落在线段上时，． 同理可得当点落在线段的延长线上时，， ∴， ∴． 过点作于点，则，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直于的直线上运动． 延长至点，使得，连接， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当，，三点共线时，最小，如图3． 过点作于点． 在中，由面积法得， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3）当时，线段有最大值为4 （4） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； （4）根据题意确定，将点D向下平移四个单位长度到点H，得，连接交x轴于点Q，过点Q作轴，连接，过点N作的延长线于点E，利用平行四边形的性质得出 ，，确定点H、Q、N三点共线，此时取得最小值，即取得最小值，然后由各点的坐标结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） 的坐标为； 【小问3详解】 由（1）可知，直线的解析式为：； 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； 【小问4详解】 ∵点N为抛物线在第四象限上的一点，其横坐标为2， ∴当时，， ∴， 由（2）得的坐标为， 将点D向下平移四个单位长度到点H， ∴， 连接交x轴于点Q，过点Q作轴，连接，过点N作的延长线于点E，如图所示： ∵在直线上，动点在x轴上， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴点H、Q、N三点共线，此时取得最小值，即取得最小值， ∵，， ∴， ∴， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、最短路程等，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握运用这些知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $