2026年中考复习必备 数学试卷（五）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 2026年齐齐哈尔市中考复习数学模拟卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖代数、几何、统计核心知识，融合现实情境与探究性问题，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|倒数、图形对称、分式方程、概率等|结合国企标志考对称（文化情境），动点问题考函数图像（几何直观）| |填空题|6题|科学记数法、圆锥计算、反比例函数、规律探究等|中位线与尺规作图结合（推理意识），平行四边形中直角三角形分类讨论（空间观念）| |解答题|8题|统计分析、圆的切线证明、函数图像应用、四边形综合探究、二次函数综合等|“双直四边形”多问探究（创新意识），行程问题函数图像分析（模型观念），二次函数与平行四边形结合（运算能力）|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（五） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 的倒数是（ ） A. 26 B. C. D. 2. 下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，有两条边与直线相交，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由6个完全相同棱长为1的小正方体搭成，其左视图和俯视图的面积和是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知是分式方程的解，则实数m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 如图，十一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进，从D出口离开的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某村为了响应国家号召，提高人口数量，决定拿出50000元购买电视和电脑奖励本村家庭户，一台电脑3500元，一台彩电2500元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 9. 如图，正方形边长为6，点是边的中点，点在上，且，动点从点沿、运动到点，过点作于点，作于点，记点运动的路程为，四边形的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有个．其中正确的有个（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 某地自然风光秀丽，森林资源丰富，总面积约78560000平方米．数据78560000用科学记数法可表示为________． 12. 如图，是的中位线，按以下步骤作图：①以点B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点D．若，，则长为________． 13. 若一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥展开后对应的圆心角的度数为________°． 14. 如图，反比例函数的图象上有两点A和B，横坐标分别是a和b，且，过点A作y轴平行线，过点B作x轴平行线，交于点C，连接，若面积为2，则_____． 15. 如图，在中，，面积为32，的度数不定（），E为上一点，且平分．当是直角三角形时，的长为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在x轴上，且，，，…均是等腰直角三角形，其中，，，…分别是它们的直角顶点，则点的纵坐标为________． 三、解答题（本题共8道大题） 17. 按要求解答问题： （1）计算： （2）分解因式： 18. 解不等式组： 19. 解方程：． 20. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀）、（良好）、（一般）、（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取  人，条形统计图中的  ； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人． 21. 如图，是的内接三角形，，弦，，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分面积． 22. 甲从地出发匀速赶往地，到达地休息后又匀速返回地；乙从地出发匀速赶往地．两人在途中相遇了两次，第二次相遇后两人均改变速度，以相同速度一起到达地，结果乙比按原速提前到达地．甲、乙两人距地的距离和甲从地出发后经过的时间之间的函数关系如图所示． （1）甲从地出发赶往地时的速度为________，甲从地出发到与乙第二次相遇前的速度为________m/min． （2）当时，求乙距地的距离与甲从地出发后经过的时间之间的函数关系式． （3）求甲从地出发到返回地所用的时间，并直接写出乙从地到地所用的时间． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“双直四边形”进行研究． 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． （1）观察思考 如图，在双直四边形中，，若，则的值为________． （2）初步探究 如图，在双直四边形中，，过点作交于点．若，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． （3）类比探究 如图，在（）的基础上，若、、，求的长（用含，，的代数式表示）． （4）拓展应用 如图，在双直四边形中，．，，为线段上一动点，且（，连接，作点关于直线的对称点，连接．若，请直接写出的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．点P是抛物线上第四象限内的一点，过P作轴，交直线于点D． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标； （3）当时，点P的横坐标为 ； （4）当点D在抛物线的对称轴上，Q为x轴上的一点，的最小值为 ． 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（五） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是关键． 根据倒数的定义进行计算． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形既轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行准确地计算．运用合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式进行逐一计算辨别． 【详解】解：， 选项A符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； 和不是同类项，不能合并， 选项D不符合题意， 故选：A． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，先求出，由外角的性质求出，然后由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解三视图的意义，画出三视图是得出正确答案的关键．画出它的左视图和俯视图，进而求出左视图和俯视图的面积和，即可得到答案． 【详解】解：这个几何体的左视图为：， 俯视图为：， 其左视图和俯视图的面积和是． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程解，正确进行计算是解题关键．已知是分式方程的解，将代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是分式方程的解. ∴把代入原方程，得. 化简得. 解得. 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求概率问题，掌握树状图的画法和概率公式是解决此题的关键． 【详解】解：画树状图如图： 由树形图可知所有可能的结果有种，小红从入口A进入景区并从D出口离开的有种情况， ∴小红从入口A进入景区并从D出口离开的概率为． 故选B． 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程，解不等式，正确计算是解题的关键．设购买电脑、彩电的数量为未知数，根据总花费列出二元一次方程，结合数量为非负整数的要求，找出所有符合条件的方案即可． 【详解】解：设购买电脑台，彩电台，均为非负整数， ∵ 总资金恰好用尽，总资金为元， ∴ ， 两边同除以化简得 ， 变形得 ， ∵ 是非负整数， ∴ 是整数， ∵ 和互质， ∴ 一定是的倍数， 又∵ ， ∴ ， 解得， ∴ 的可取值为，共个，对应分别为，均符合要求， 即,，， ∴ 购买方案共有种． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的变化列出函数解析式. 结合原图形上动点在不同的线段上运动得到不同的关系式，再根据不同的关系式得到不同的图象，最后结合所给选项进行分析即可. 【详解】解： 如图，延长线段交于点，则 ,，由勾股定理得， ， ， ∴，，该区间解析式为二次函数，图象为抛物线，开口向下； 当时，，该区间解析式为一次函数，随的增大而减小； 故选：A. 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像与系数的关系，二次函数与x轴交于点，，可知二次函数的对称轴为，即，可判断①；将A、B两点代入消去a得可得c、b的关系，可判断②；函数开口向下，时取得最小值，则时，可判断③；根据图像，设点D坐标为，运用勾股定理求出y，得到顶点D为，设顶点式，将代入即可判断④；由图像知，从而可以判断⑤． 【详解】解：抛物线交轴于， 抛物线对称轴为直线： 故①正确； ②∵交轴于，． ， 消去a得 故②错误； ∵抛物线开口向上，对称轴是 ∴时，二次函数有最小值 ∴时， 故③正确； ④∵，，是等腰直角三角形． 设点D坐标为． 则． 解得． ∵点D在x轴下方． ∴点D为． 设二次函数解析式为，过点． ∴． 解得． 故④正确； ⑤由题意可得， ， ． 故是等腰三角形时，只有两种情况，故a的值有2个． 故⑤错误． 故①③④正确，②⑤错误． 故选：C． 【点睛】主要考查了二次函数的图像和性质，以及二次函数与几何图形结合的综合判断．掌握函数图像基本性质和数形结合思想是解题的关键． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为，其中，为整数，确定与的值即可求解. 【详解】解：. 【12题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线作图，掌握等腰三角形的性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理是解题的关键． 利用基本作图得到平分，则，再根据三角形中位线定理得到，，，接着证明得到，所以，从而得到的长． 【详解】解：由作法得平分， ， 是的中位线， ，，， ， ， ， ， ． 【13题答案】 【答案】288 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键．先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再得到底面圆周长，其等于侧面展开图扇形的弧长， 最后根据扇形弧长公式计算圆心角度数． 【详解】解：设该圆锥底面圆半径为，圆心角度数为. 根据勾股定理得 . ∴圆锥底面圆周长为 . 圆锥底面圆周长等于其侧面展开图扇形的弧长，扇形半径等于圆锥母线长. 根据扇形弧长公式得 . 解得：. 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键. 延长交轴于点，根据条件可得，继而，利用反比例函数k值的几何意义进行解答即可. 【详解】解：延长交轴于点， ∵点和点，横坐标分别是和，且， ， ∵轴，面积为， ， ， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ， 故答案为： 【15题答案】 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握分类讨论思想是解题的关键．是直角三角形，易知，故分两种情况讨论，当时，直接利用全等三角形的性质即可求解；当时，由全等三角形的性质与判定，结合勾股定理即可求出的长． 【详解】解：，故分两种情况讨论， ①如图，当时， ∵在中，，面积为， ∴，即，之间的距离为， 平分， ， 又， ， ； ②如图，当时， ∵在中，，面积为， ， ， 过点作于点， ∴， 平分， ， 又， ， ，， ， 设，则， 由勾股定理，得， , 解得：， ， 综上所述，的长为或． 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 设，则， 将代入直线，得， 解得， ∴点的纵坐标为． 同理可得点的纵坐标为，点的纵坐标为 则点的纵坐标为． 三、解答题（本题共8道大题） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数、化简绝对值和二次根式，计算负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．注意要掌握不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．先分别求出每个不等式的解集，然后再确定出公共解集即可得． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以原不等式组的解集为：． 【19题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．根据求根公式，代入系数解答即可． 【详解】解：， 方程化为一般式为， ，，， ， ， 解得，． 【20题答案】 【答案】（1）50，7 （2）条形统计图见解析， （3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 【解析】 【分析】题目主要考查条形及扇形统计图，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人． 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，，可得，结合，，证明，进一步可得结论； （2）过点作于点，证明，求解，证明是等边三角形，结合是的中位线，可得，求解，，，结合阴影部分面积，再进一步求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 为半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：过点作于点， ， ， 是的直径， ， ， 是等边三角形， ，， ， 是的中点， 是中点， 是的中位线， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， 阴影部分面积 ； 阴影部分面积． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，求解扇形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【22题答案】 【答案】（1）， （2） （3）甲从地出发到返回地所用的时间为．乙从地到地所用的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息，求自变量的值，从函数图象获取信息是解题的关键； （1）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）设直线的解析式为，将，分别代入，待定系数法求解析式，即可求解． （3）当时，．根据题意得出当时，甲、乙一起到达地，即可得出甲从地出发到返回地所用的时间，根据（2）中解析式可得乙的速度为，当时，，进而求得甲出发之前乙，走了分钟，进而求得乙从地到地所用的时间． 【小问1详解】 结合函数图象可得：甲从地出发赶往地时的速度为， 甲从地出发到与乙第二次相遇前的速度为． 故答案为：，． 【小问2详解】 由题意知，点的纵坐标为． ． 设直线的解析式为． 将，分别代入， 得，解得， 当时，乙距地的距离与甲从地出发后经过的时间之间的函数关系式为． 【小问3详解】 对于． 当时，． 若乙不改变速度，则当时，乙到达地． 由题意知，当时，甲、乙一起到达地． 甲从地出发到返回地所用的时间为， 对于，乙的速度为， 当时，， 在甲出发之前，乙走了分钟， ∴乙从地到地所用的时间为． 【23题答案】 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） （4）或 【解析】 【分析】（）由已知可得，进而根据锐角三角函数即可求解； （）证明即可求解； （）证明，可得，即得，进而根据线段的和差关系即可求解； （）分点的对应点在的下方和上方两种情况，分别画出图形，利用正方形和相似三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：分两种情况：①如图，当点的对应点在的下方时， 如图，过点作于点， 由（）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理（）可得，， ∴， 由折叠的性质可知四边形为正方形， 连接，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当点的对应点在的上方时， 同理可得； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质等，运用分类讨论思想并正确作出辅助线解答是解题的关键． 【24题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）点P是抛物线上第四象限内的一点，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，则，设点，则点，得到即可求解； （3）由，即可求解； （4）过点O作直线，即直线l和x轴正半轴的夹角为，过点D作交于点H，交x轴于点Q，则，则此时最小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点、， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：∵点P是抛物线上第四象限内的一点，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 解得：， 即点； 【小问3详解】 解：设直线交y轴于点H， 设点， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 则点， 则， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当点D在抛物线的对称轴上，则点， 过点O作直线，即直线l和x轴正半轴的夹角为， 过点D作交于点H，交x轴于点Q，则，则此时最小， 理由：，则为最小， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $