2026年中考复习必备 数学试卷（二）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 2026年齐齐哈尔市中考复习数学试卷（二），通过二十四节气、奖品购买等真实情境，考查数与代数、图形与几何等知识，培养抽象能力、推理意识和应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|相反数、中心对称图形、整式运算等|第2题以二十四节气考中心对称，渗透文化传承| |填空题|6题|科学记数法、圆锥全面积、反比例函数k值等|第16题旋转规律探究，发展空间观念| |解答题|8题|统计图表、圆的切线、二次函数综合等|23题“一线三等角”模型从呈现到应用，梯度提升；24题二次函数与几何结合，强化推理能力|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（二） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由6个完全相同棱长为1的小正方体搭成，其主视图和俯视图的面积和是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 如图所示电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 今年，明华中学开展了以迎接新生为主题的演讲活动，计划拿出240元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 9. 如图，在四边形中，，，，，，动 点从 点出发，沿 的方向在，边上移动，记，点 到直线的距离为，则 关 于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点均在二次函数图象上，则；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根：⑤若是方程的两根，则方程的两根，满足其中正确结论的个数为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 11. 9月3日，国家广电总局数据显示，九三阅兵的全球网络视听平台直播收视量约为 1920000000人次，将1920000000用科学记数法表示为____ 12. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线与，分别交于点E，F，连接．已知，，则的长为______． 13. 已知圆心角为180°的扇形的半径为5，则用其围成的圆锥的全面积为________． 14. 如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为___________ 15. 在矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以D，M，N，为顶点的三角形是直角三角形时，则对角线的长为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……如此下去，若点B的坐标为，则点的坐标为________． 三、解答题（本题共8道大题） 17. 计算、分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 解方程： 20. 某校七年级计划举办一场文艺晚会，为了解学生最喜欢的节目形式，学生会从七年级随机抽取若干名学生进行调查，规定每人从“舞蹈、歌曲、相声、演奏、小品”五项中选择一项最喜欢的节目形式，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次一共抽查了_______名学生，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中，“演奏”所在扇形的圆心角为______度． （3）请估计该校七年级的600名学生中最喜欢“舞蹈”项目的有多少名． 21. 如图，在中，，点在边上，以为直径作的经过边上的点，连接，平分， （1）求证：是的切线； （2），，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，交边于点，求图中，，，．围成的阴影部分的面积． 22. 已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶.货车的速度是客车速度的.如图是客车、货车离C站的路程，与行驶时间的函数关系图象. （1）货车的速度为___________；A、B两地间的路程为___________； （2）求客车与x的函数关系式并直接写出货车与x的函数关系式. （3）出发后经过___________两车间路程是70km？ 23. （一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 24. 综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________； （3）如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值； （4）如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________． 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（二） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是， ∴的相反数是. 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，在平面内，如果一个图形经过中心对称能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】在平面内，如果一个图形经过中心对称能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，可知只有D选项中的图形为中心对称图形． 故选：D 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算法则，需结合单项式乘单项式法则、同类项定义、同底数幂的乘除运算法则逐一判断选项. 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，无法合并，故计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 【4题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．根据三视图的知识得出结论即可． 【详解】解：主视图：， 俯视图：， ∴面积和是． 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解与一元一次不等式的求解，先解分式方程得到关于的表达式，再根据解是非负数、分式分母不为零列出不等式，即可求出的取值范围. 【详解】解：方程， 方程两边同乘，得， 移项合并同类项，得， 解得， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为零， ∴， 由，分子，可得，即， 由，可得，即，解得， ∴的取值范围是且． 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法以及概率公式，正确的画出树状图是解此题的关键．画树状图，共有6种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：由电路图可知，当同时闭合开关和， 和时，灯泡能发光， 画树状图如下： 共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种， ∴灯泡能发光的概率为， 故选：A． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，解题关键是根据总价等量关系列出方程，结合，为正整数的条件求出所有可行方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品，，均为正整数， 根据题意得 整理得 . ∵，均为正整数， ∴，，，，，， ∴购买方案共有种． 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分两种情况讨论．分两种情况：（1）当点在上移动时，点到直线的距离不变，恒为；（2）当点在上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此判断出关于的函数大致图象是哪个即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： （1）当点在上移动时， 点到直线的距离为： ，即点到的距离为的长度，是定值； （2）当点在上移动时， 连接，过作于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上，观察各选项，只有B选项图形符合． 故选：B． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴、二次函数的性质，即可做出判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误， ∵对称轴为直线． ∴， ∵当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧随的增大而减小， ∵关于直线对称的点为， 又∵， ∴，故③正确， 方程的解可看做抛物线与直线的交点， 由图象可知抛物线与直线有两个交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误， 方程可看做抛物线的图象与直线的交点， ∵与轴有交点， ∴表示与直线的交点，所以，故⑤正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【12题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得． 故答案为：5． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】考查了圆锥的计算、扇形的弧长公式．先计算扇形面积，即圆锥侧面积，再利用扇形弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径，计算出圆锥底面积，最后将侧面积与底面积相加得到圆锥全面积． 【详解】解：根据弧长公式，其中圆心角，扇形半径，可得扇形弧长：， 设圆锥底面圆半径为，由扇形围成圆锥时，扇形弧长等于圆锥底面周长，可得：，解得. 根据扇形面积公式，可得圆锥侧面积：. 根据圆的面积公式，可得圆锥底面积：. 圆锥全面积为侧面积与底面积之和：. 【14题答案】 【答案】4 【解析】 【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值． 【详解】解：∵AB⊥x轴于点B，且S△AOB=2， ∴S△AOB=|k|=2， ∴k=±4． ∵函数在第一象限有图象， ∴k=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键． 【15题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理与分类讨论思想，需分两种情况讨论直角顶点的位置，分别求出的长度，再利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，当时，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 由平行线分线段成比例得， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：； ②如图，当时，则， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：； 为对角线与边的夹角，不可能为直角，故此种情况不存在。 综上所述，的长为或. 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出的各边，计算出的长度是解题的关键． 观察图象可知，在直线上，，由此可先求出点的坐标，即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， 令，， 解得，即， ， 由题意得，， ， ， 设 ， ， 解得，则， ∴点， ∴点． 三、解答题（本题共8道大题） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简绝对值和算术平方根、计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值与零指数幂，再计算加减法即可得； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【18题答案】 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解不等式组中的两个不等式，再取交集得到解集并在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集，如图所示： 【19题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】先移项，提公因式合并化简，然后转化为或，解一元一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 或． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【20题答案】 【答案】（1）50，补全条形统计图见解析 （2） （3）最喜欢“舞蹈”项目的约有168名 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体； （1）由喜欢相声的人数除以其占比即可得到总人数，再求解喜欢歌曲的人数，补全图形即可； （2）由乘以喜欢“演奏”的占比即可得到答案； （3）由600乘以最喜欢“舞蹈”项目的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴本次一共抽查了50名学生， ∴喜欢歌曲的有（人）， 补全图形如下： ； 【小问2详解】 解：扇形统计图中，“演奏”所在扇形的圆心角为度； 【小问3详解】 解：该校七年级的600名学生中最喜欢“舞蹈”项目的有： （人）． 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，求不规则图形面积，角平分线的定义和等边对等角，熟知圆的相关知识是解题的关键。 （1）连接，由角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）求出，根据题意可得扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积，再根据列式计算即可。 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由题意得，扇形和扇形的半径相同，且， ∴扇形和扇形的面积之和等于圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积， ∴。 【22题答案】 【答案】（1）60，840； （2）， （3）5.5小时或6.5小时． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． （1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的，即可计算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出、两地间的路程； （2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出客车与的函数关系式和货车与的函数关系式； （3）根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距，然后列出相应的方程求解即可． 【小问1详解】 （1）由图象可得， 客车的速度：， 则货车速度：， 与两地间路程为：， 故答案为：60，840； 【小问2详解】 设客车与的函数关系式是， ， 解得， 即客车与的函数关系式是； 当时，设货车与的函数关系式是， 货车的速度为，， 该函数过点，， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； ， 当时，设货车与的函数关系式是， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，货车与的函数关系式是； 由上可得，货车与的函数关系式是； 【小问3详解】 当两车相遇前相距70千米时， ， 解得， 当两车相遇后相距70千米时， ， 解得， 综上所述，出发后经过5.5小时或6.5小时，两车相距70千米． 故答案为：5.5小时或6.5小时． 【23题答案】 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【解析】 【分析】（一）由全等三角形性质可得结论； （二）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （三）证明，得，由，得，进而可得结论： （四）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（一）解：， ， 故答案为： （二）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （三）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 【24题答案】 【答案】（1）； （2）或； （3）当时，最大，最大面积为； （4）． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由是以为底边的等腰三角形，得，进而得，，解得，从而代入得，，即可得解； （3）利用待定系数法求得直线为，过作轴交直线于点，设，则，，进而利用铅锤法构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （4）连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，证明（）得，从而得当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵当是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴ 解得， ∵在上， ∴ 解得， 当时，， 当时，， ∴或； 【小问3详解】 解：设直线为， ∵，， ∴ 解得， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于点， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴当时，最大，最大面积为； 【小问4详解】 解：连接，，过作轴于点，在射线上取，连接， ∵，， ∴轴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴（） ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $