2026年中考复习必备 数学试卷（一）(Word版)-【中考123·二轮】2026年中考复习必备数学（齐齐哈尔专用）

**基本信息** 立足中考复习，融合《九章算术》正负数概念、“东风”导弹速度等文化与科技情境，通过基础运算（如实数计算）、几何探究（如旋转与等腰直角三角形）及综合应用（如二次函数面积最值），考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|正负数、轴对称、幂运算、三视图等|结合《九章算术》考相反意义量，体现文化传承| |填空题|6题|科学记数法、圆锥高、反比例函数、规律探究|以“东风”导弹速度考科学记数法，关联科技前沿| |解答题|8题|统计图表、圆的切线、行程问题、几何与函数综合|23题几何探究（从等腰三角形到矩形旋转）培养推理意识，24题二次函数综合（面积、等腰三角形）体现模型意识|

2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（一） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，例如：仓库把运进10吨粮食记为“”，则运出5吨粮食记为（ ） A. B. C. D. 2. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三角板的直角顶点落在直尺的一边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 漏斗是一种通过重力将液体或颗粒导入小口容器的实用工具．日常用于灌装油、调料，实验室中分离液体或过滤，工业上则用于分装原料．如图是一种常用不锈钢漏斗，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的分式方程的解是负数，则a的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 苯丙酮尿症是常染色体上隐性基因控制的遗传病，主要表现为智力发育落后，生长发育受限和精神异常等．苯丙酮尿症由一对基因控制，体内由成对基因、控制的个体是正常的，而体内由成对基因控制的个体患病．设母亲和父亲的基因是，那么他们的孩子不患苯丙酮尿症的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某工作小组为了节省午饭时间，订了26盒盒饭，共花费180元，盒饭共有A，B，C三种套餐（每种套餐都要订购），它们的单价分别为10元、8元、6元，则不同的订餐方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 9. 如图，在中，，，于点E，，垂直于的直线l从点A出发，匀速平移，当l经过顶点C时，平移停止，设直线l平移的距离为x，直线l扫过的的面积（阴影部分）为y，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数 与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为，对称轴为．下列结论：①；② ；③ ；④ 若m是不等于1的实数，则恒成立；⑤无论取何值，方程均有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. “东风”液体洲际战略核导弹是我国战略反击体系中的重要组成，打击范围覆盖全球，导弹在末段攻击时，速度可达约公里/小时．将数据用科学记数法表示为__________． 12. 已知圆锥的母线长为，侧面积为，则这个圆锥的高是_______． 13. 如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为 _____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在负半轴上，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，点恰好在反比例函数图象上，连接，线段与轴交于点，若，则的值是_____． 15. 在中，将边绕点A旋转，点C的对应点是点D，连接．当是等腰直角三角形时，的长为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线：和直线：，点是直线上一点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的横坐标为________． 三、解答题（本题共8道大题） 17. 实数计算与分解因式 （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 解不等式组． 19. 解方程： 20. 某学校为了丰富学生的课余生活，每天开展体育活动，开设足球、篮球、羽毛球、乒乓球课．学生可根据自己的爱好任选一项，老师随机抽取部分学生报名情况进行了统计，并绘制了下图，请你结合图中的信息，解答下列问题： （1）求抽取的学生人数； （2）将条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中“足球”所对的圆心角度数； （4）若该校有3000名学生，请你估计喜欢选羽毛球和选篮球的人数分别为多少？ 21. 如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径． 22. 假定甲、乙、丙三地依次在一条直线上，甲乙两地间的距离为280km，乙丙两地之间的距离为140km．一艘游轮从甲地出发前往丙地，途中经过乙地停留时，一艘货轮也沿着同样的线路从甲地出发前往丙地．已知游轮的速度为，游轮从甲地到达丙地共用了23小时． 若将游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离甲地的路程s（km）关于t（h）的图象如图所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变） （1）写出游轮从甲地到乙地所用的时长_____________；游轮在乙地停留的时长_____________； （2）直接写出游轮在行驶的过程中s关于t的函数解析式； （3）若货轮比游轮早36分钟到达丙地，则货轮出发后几小时追上游轮？ 23. 【问题情境】 数学活动课上，同学们发现了以下结论：如图1，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点F，那么和数量关系是________，和位置关系是________； 【思考尝试】 如图2，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接、．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【实践探究】 如图3，四边形和四边形都是矩形，若，连接、．求出与的数量关系； 【拓展迁移】 如图3，在【实践探究】的基础上，若，，如果、所在直线相交于点H，请直接写出矩形绕点A旋转一周过程中长度的最小值为________． 24. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点是直线下方抛物线上一动点，分别连接，，． （1）求抛物线的解析式； （2）当的面积是面积的2倍时，求点的坐标； （3）如图2，点是轴上的动点，过点作轴的垂线，与抛物线、直线分别交于点、，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标； （4）将线段沿轴的负方向平移得到，点的对应点为点，点的对应点为点，点为点关于轴的对称点，连接、，在线段平移过程中，求的最小值． 2026年齐齐哈尔市·中考复习必备 数学试卷（一） 一、选择题（每小题只有一个正确答案） 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了具有相反意义的量，正确理解题意即可解答． 【详解】解：∵运进10吨粮食记为“”， 运出粮食为负， ∴运出5吨粮食记为：， 故选：A． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形，关键是要掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，所以此选项错误，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，所以此选项错误，不符合题意； C、图形是轴对称图形，所以此选项正确，符合题意； D、图形不是轴对称图形，所以此选项错误，不符合题意． 故选：C． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握其运算的法则是解答本题的关键． 根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除的运算法则，分析每一个选项，只有选项符合题意，由此选出答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项不正确，不符合题意； 选项中，，故本选项正确，符合题意， 故选：． 【4题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是先根据平角的定义求出∠3，再根据“两直线平行，同位角相等”即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵三角板的直角顶点落在直尺的一边上，， ∴， ∵直尺的两边平行， ∴． 故选：C． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何题的三视图，根据俯视图是从上往下看求解即可． 【详解】解：根据俯视图是从上往下看，可知不锈钢漏斗的俯视图是， 故选：C 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．先解关于的分式方程，得到关于的表达式，再根据“解是负数”和“分式分母不为”两个条件列不等式，求解得到的取值范围即可. 【详解】解：∵ 方程，两边同乘去分母得， 整理得， 解得， ∵ 方程的解是负数，且分式分母不能为， ∴ 且 ， 解不等式得， 解不等式得， ∴ 的取值范围是且． 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： A a A AA Aa a Aa aa 共有4种等可能的情况数，其中孩子不患苯丙酮尿症的情况数是3， 则他们有正常孩子的概率是， 故选：D． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】此题综合考查了方程组和不等式，能够根据不等式组求得未知数的取值范围，从而分析得到所有的情况是解题的关键．通过设未知数，利用总盒数和总花费列方程，消元后得到二元一次方程，根据未知数均为正整数的要求，找出所有符合条件的解，统计方案数即可． 【详解】解：设订A套餐盒，B套餐盒，C套餐盒，均为正整数， 根据题意得 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 将代入，得 ∵每种套餐都要订购， ∴，，，且为正整数， 由，得， 又， ∴可取，共个不同值，对应种不同的订餐方案． 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象获取关键点的信息是解决本题的关键．先根据勾股定理求出，然后分、、三种情况，利用相似三角形的性质结合面积公式分别求出，最后判定关于的函数图象大致即可． 【详解】解：，，， ， ①当时，如图， ， ， ，即， 解得， ， 当时，，函数图象为开口向上的抛物线的一段； ②当时，如图， ，， ，， ， 当时，，函数图象为一条线段； ③当时，如图， 过点作于点， ， ，即， 解得， ， 当时，，函数图象为开口向下的抛物线的一段； 综上所述，只有C符合条件． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数的性质，结合图象，逐一判断即可，根据图象并结合已知条件进行正确分析是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线开口向下，可得，根据对称轴为，可得，根据抛物线与轴交于正半轴，可得， ，故①正确； A点坐标为，对称轴为， 点横坐标为， ， 把代入抛物线解析式可得，故②正确； ， ， ， ， ，故③错误； 抛物线在时取最大值，为， m是不等于1的实数， ，即，故④错误； ， 整理可得， ， 无论取何值，方程均有两个不相等的实数根，故⑤正确； 故正确的为①②⑤， 故选：B． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数就是把一个数写成的形式，其中，的指数是由小数点平移的方向和位数确定，本题中小数点向左移动了位，所以的指数是. 【详解】解：． 故答案为： ． 【12题答案】 【答案】15 【解析】 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求得圆锥的底面半径，从而利用勾股定理求得圆锥的高． 【详解】解：设底面半径为 则， 解得， 圆锥的高为． 故答案为：15． 【13题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，角平分线的尺规作图和定义，由作图知，平分，得到，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的中点为点M， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：2． 【14题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 先证得得出，，再证得求出，然后代入求解即可． 【详解】解：过点C作轴交于点E， 由旋转可得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由轴得， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵点恰好在反比例函数图象上， ∴， 解得， 故答案为：2． 【15题答案】 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及勾股定理，能根据题意画出示意图及熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意，画出是等腰直角三角形时的示意图，再结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：当，且点在上方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中，． 当，且点在下方时，如图所示， 过点作的垂线，垂足为， ∵，且， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 在中， 综上所述：的长为或． 故答案为：或． 【16题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律的横坐标为（为正整数），由此即可解答． 【详解】解：当时，代入得, ． 当时，代入得, ． 当时，代入得，解得， ． 同理可得，，，，， 的横坐标为（为正整数）， ， 点的横坐标为． 三、解答题（本题共8道大题） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式由②得，， ∴原不等式组的解集． 【19题答案】 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步求解即可. 【详解】解：， 因式分解，得 ∴或 解得：，． 【20题答案】 【答案】（1）400人 （2）见解析 （3） （4）750人，1050人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体等知识点，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据选篮球的人数和所占的百分比求得抽取的学生人数； （2）用总人数乘以所占的百分求出选乒乓球的人数，然后补全统计图即可； （3）用选足球的人数所占的百分比乘以即可得解； （4）用样本所占的百分比乘以总人数即可得解． 【小问1详解】 解：（人）， 答：抽取的学生人数为400人； 【小问2详解】 解：选乒乓球的人数为人， 补充条形统计图． ； 【小问3详解】 解：“足球”所对的扇形圆心角为． 【小问4详解】 解：选羽毛球的人数为（人）， 选篮球的人数为（人）． 【21题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据，可得，问题得证； （2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有，结合，可得，即，利用勾股定理可得．在中，根据，设半径为r，即有，问题得解． 【小问1详解】 证明：连接． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． 【小问2详解】 过点C作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， 设半径为r，∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键． 【22题答案】 【答案】（1）14h，2h （2）当时，，当时，，当时，； （3）8小时 【解析】 【分析】（1）用甲乙两地间的路程÷游轮的速度求出游轮从甲地到乙地所用的时长，再用23小时-从开始到A的时间-从B到C的时间求出轮在乙地停留的时长； （2）分三种情况：当时，当时，当时，利用一次函数解析式的求法来求解； （3）根据题意先求出点，，再求出游船段，货船的解析式，利用来求解． 【小问1详解】 解：根据题意得 游轮从甲地到乙地所用的时长为：， 游轮在乙地停留的时长为：． 故答案为：14h，2h； 【小问2详解】 解：当时，设s关于t的函数解析式为， ， ∴， ∴； 当时，； 当时，点B的时间为， 设s关于t的函数解析式为， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵点，点， 且（h），， ∴点， 游船段：当时，， 货船：的解析式为， 由题意：， 解得， （h）， ∴小货轮出发后8小时追上游轮． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，读懂图象，从图象中获取信息，利用数形结合的思想解答． 【23题答案】 【答案】问题情境：，；思考尝试：，理由见解析；实践探究：；拓展迁移： 【解析】 【分析】问题情境：证明，得到，进而推导出，得到，即可得到； 思考尝试：证明四边形为平行四边形，得到，由勾股定理得到，即可得到， 实践探究：过点作，并使得，证明，得到，进而得到，即可得到，又由勾股定理得到，即得到， 拓展迁移：由作图可得，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，点重合，此时最大，最小，即的长最小，由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】解：问题情境：∵等腰和等腰， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 思考尝试：∵四边形是正方形，是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； 实践探究：如图3，过点作，并使得，则，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 拓展迁移：∵， ∴如图，点的运动轨迹为以点为圆心的圆上，当时，和相切，，此时点重合，此时最大， ， ∴此时最小，即的长最小， ， ， ， ， ， ， ∴矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，圆相关知识点，掌握以上知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3），，， （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的定义等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出直线的解析式为； 设，，则，求出，得到，解方程即可得到答案； （3）设，则，，则，，，再分为、、三种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可； （4）先根据题意作图，由平移的性质可知，，，则的值最小就是的最小值， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，据此利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入，得 ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ）解：过点作轴于点，交线段于点， 由可知， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为； 设点的横坐标为， 则，， ， ，， 解得， ； 【小问3详解】 设，则，， 则， ， 为等腰三角形，分为、、三种情况讨论： ①当时，， 解得，（舍）， 此时； ②当时，， 解得，，（舍）， 此时， ③当时，， 解得（舍），，（舍）， 此时 综上所述，当为等腰三角形时，，，，． 【小问4详解】 设抛物线沿轴负方向平移个单位长度得到，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是的最小值， 显然点在直线上运动， 如图，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度． 点关于直线对称的对称的点是，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $