精品解析：山东济南市莱芜第二中学2025-2026学年高二下学期第二次阶段性检测数学试题

高二下学期第二次阶段性检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 3. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 6. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下： （十万元） 5 6 7 8 9 （十万元） 55 60 70 75 80 由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（ ） A. 85.5 B. 86.5 C. 87.5 D. 88.5 8. 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X的期望，则 B. 离散型随机变量的标准差越大，说明变量离散程度越小 C. 对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关 D. 回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大 10. 已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（ ） x 2 3 1 2 0 A. 在是减函数 B. 在定义域上有两个极值点 C. 若，则函数有两个零点 D. 若在上的最大值为2，则 11. 有甲、乙两个班级共计人进行数学考试，按照大于等于分为优秀，分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 已知在全部人中随机抽取人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ） 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 列联表中的值为的值为 B. 列联表中的值为的值为 C. 若算得，依据的独立性检验，认为“成绩与班级有关系” D. 若算得，依据的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系” 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 13. 从4名男生和3名女生中选择3人去参加辩论赛，如果3人中既有男生又有女生，那么共有______种选法. 14. 的展开式中的系数为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项． 16. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 17. 已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. （1）求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； （2）设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； （3）已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）当时，证明：． 19. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1． （1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期第二次阶段性检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接运用导数运算公式求解即可． 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以 由，可得， 故选：C. 3. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 故. 故选：D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得. 故选：D 5. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 6. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 7. 某电影公司为了解某部电影宣传对票房的影响，在某市内随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：十万元）和销售额（单位：十万元）的数据如下： （十万元） 5 6 7 8 9 （十万元） 55 60 70 75 80 由统计数据知与满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额的估计值为（ ） A. 85.5 B. 86.5 C. 87.5 D. 88.5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点求出回归方程，再利用回归方程进行计算估计. 【详解】因为：，. 由线性回归方程经过点且得：. 所以. 当时，. 故选：C 8. 已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，e是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用导数求得单调递增，得到，即可求解. 【详解】根据题意知，即，构造函数， 可得，因为，所以， 所以在上单调递增， 则，两边同乘，即． 故选:B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X的期望，则 B. 离散型随机变量的标准差越大，说明变量离散程度越小 C. 对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关 D. 回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据均值的性质判断A；根据方差的概念判断B；由正态曲线的性质判断C，相关系数的概念判断D. 【详解】由，得，故A 对； 离散型随机变量的标准差越大，随机变量取值越分散，说明变量离散程度越大；故B错； 对应的正态曲线与x轴围成图形的面积与参数无关，始终为1，故C对； 回归分析中，两个变量的线性相关性越强，它们的相关系数的绝对值越大；故D对； 故选：ACD 10. 已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（ ） x 2 3 1 2 0 A. 在是减函数 B. 在定义域上有两个极值点 C. 若，则函数有两个零点 D. 若在上的最大值为2，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给的条件，分析函数的单调性和极值，作出函数的草图，数形结合，逐项判断即可. 【详解】根据的图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 结合给定的函数值，可作出函数的草图，如下： 对A：由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误； 对B：由图可知，函数在上有两个极值点，分别为和，故B正确； 对C：当时，方程有两个不同的解，故C正确； 对D：由图可知，函数在上要想取到最大值2，须有，故D正确. 故选：BCD 11. 有甲、乙两个班级共计人进行数学考试，按照大于等于分为优秀，分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 乙班 30 已知在全部人中随机抽取人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ） 附：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 列联表中的值为的值为 B. 列联表中的值为的值为 C. 若算得，依据的独立性检验，认为“成绩与班级有关系” D. 若算得，依据的独立性检验，认为“成绩与班级没有关系” 【答案】BC 【解析】 【分析】由成绩优秀的概率求出成绩优秀的人数和非优秀人数，即可得出的值，根据与附表中的数据对比，即可得解. 【详解】因为在人中随机抽取人，成绩优秀的概率为， 所以成绩优秀的人数为， 非优秀人数为， 所以，，A错，B正确； 因为， 所以依据的独立性检验，能认为“成绩与班级有关系”.C正确，D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【详解】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 从4名男生和3名女生中选择3人去参加辩论赛，如果3人中既有男生又有女生，那么共有______种选法. 【答案】30 【解析】 【分析】先利用组合数性质得到选法总数，再减去全是男生或全是女生的选法数，最后求解既有男生又有女生的选法数即可. 【详解】由组合数性质得从7人里选择3人去参加辩论赛有种选法， 而选的人全是男生则有种选法，选的人全是女生则有种选法， 则由分类加法计数原理得全是男生或全是女生共有种选法， 故既有男生又有女生共有种选法. 故答案为：30 14. 的展开式中的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出展开式中和的系数，然后由多项式乘法得结论． 【详解】展开式的通项公式为，所以所求的系数为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】 【详解】 （1） （2） 展开式中所有的有理项为 16. 已知函数，曲线在处的切线斜率为． （1）求a的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由代入计算，即可得到结果； （2）先求得函数的极值，然后再分别计算端点值，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，则，， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 即时，有极小值，且， 又，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 17. 已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. （1）求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； （2）设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； （3）已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列. （3）利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 设事件D表示“3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉”， 则. 【小问2详解】 依题意，随机变量X的取值集合为， 设事件A表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件B表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件C表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 则，，， 因此，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 【小问3详解】 设事件E表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 事件F表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 由（2）知，，， 所以已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉， 该品牌手机是甲的概率为. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）当时，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，判断函数的单调性. （2）利用（1）的结论，求函数的最小值即可. （3）引入函数，分别证明（）和（）即可. 【小问1详解】 因为，. 若，则在上恒成立，所以函数在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）得，欲使恒成立，须有，且. 由. 所以的取值范围为：. 【小问3详解】 当时，. 设（），则，因为，所以. 所以在上单调递增，所以. 所以在上恒成立. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，所以即在上恒成立. 所以在上恒成立. 故原不等式成立. 19. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1． （1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望． 【答案】（1）67（分钟） （2）分布列见解析；期望为1 【解析】 【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解； （2）依题意求出随机变量的分布列，并利用数学期望公式求解. 【小问1详解】 由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1， 日均阅读时间的平均数为： （分钟） 【小问2详解】 由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人 的可能取值为：0，1，2 则 所以的分布列为： 0 1 2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $