重庆市第八中学校2025-2026学年七年级（下）定时练习数学试卷（5.31）

**基本信息** 融合传统文化与生活情境，分层考查运算能力、推理意识和空间观念的七年级周测试卷，含10道选择（40分）、4道填空（16分）、5道基础解答（44分）及6道提升题（50分）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|整式运算、全等三角形、概率|第1题以“致中和”文化考对称美，第5题用“百日长跑”情境考函数图像| |填空题|4/16|科学记数法、完全平方公式|第11题结合昆虫体长考科学记数法，第13题逆向考查完全平方公式| |解答题|5/44|几何作图、统计分析|第17题尺规作图与全等证明结合，第18题关联课间延长政策考统计推断| |提升题|6/50|动态几何、综合运算|第27题等边三角形动态问题综合考查推理与空间观念，第25题通过矩形面积问题培养模型意识|

2025-2026学年重庆市第八中学七年级（下）定时练习数学试卷（5.31） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。 1．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a3 B．2ab+3a2b＝5a3b2 C．（﹣2m2）3＝﹣8m6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4 3．（4分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．画一个圆，它是轴对称图形 D．从只有红球的袋子中摸出黄球 4．（4分）一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在白色方格中的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（4分）“百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）（单位：分）之间的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝20°，则∠C的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 7．（4分）下列说法正确的是（　　） A．三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B．三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和 C．三角形的任意两边之差大于第三边 D．全等三角形对应边上的高相等 8．（4分）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，测得PA＝20米，PB＝17米，B间的距离不可能是（　　） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 9．（4分）如图，在△ABC中，点D，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE的位置，∠BDF＝120°，则∠CED的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° （多选）10．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，连接BF，CE下列说法中正确的有（　　） A．CE＝AE B．△ABD和△ACD面积相等 C．BF∥CE D．△BDF≌△CDE 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）世界上最小的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米，用科学记数法表示体长为 　 　 米． 12．（4分）不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球　 　 ． 13．（4分）已知x2+12x+m是完全平方式，则m的值为　 　 ． 14．（4分）如图，AB∥DE，AB＝DE，CE＝2，则BC的长是 　 　 ． 三、解答题：（本大题共5个小题，15题16分，16题6分，17题8分，18题6分，19题8分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 15．（16分）计算或化简： （1）； （2）a2•a4+（﹣2a2）3+a8÷a2； （3）（m+2n+3）（m+2n﹣3）； （4）（x+3y）2﹣（x+y）（x﹣2y）． 16．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，y满足x＝1，y＝2026． 17．（8分）如图所示，在△ABC中，已知∠C是直角． （1）用尺规完成作图：作直角边AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，在射线ED上截取线段DF（点F在边AC的左边），连接AF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，根据（1）中作图 （将证明过程中空白处的正确答案填在答题卡对应代号处） 证明：∵EF垂直平分AC， ∴AD＝　 　 ①，且∠ADF＝90°， ∵，∠C＝90°， ∴AD＝　 　 ②，∠ADF＝∠C， 在△ADF与△ABC中， 又∵DF＝AC， ∴△ADF≌△ABC， ∴∠FAD＝　 　 ③， ∵在直角△ABC中，∠C是直角， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠FAD+∠BAC＝90°，即　 　 ④＝90°， ∴AF⊥AB． 18．（6分）从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息 （1）本次调查共抽取了　 　 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“踢毽子”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，过点C作CE⊥AC交AF的延长线于点E． （1）求证：△BAD≌△ACE； （2）当AD＝CF时，求∠CBD的度数． 三、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。 20．（4分）已知，，，那么代数式2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 （多选）21．（4分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论正确的是（　　） A．∠APB＝135° B．△ABP≌△FBP C．∠AHP＝∠ABC D．AH+BD＝AB 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。 22．（4分）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　 　 ． 23．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，化简|a﹣c+b|+|b﹣a﹣c|＝　 　 ． 24．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝117°，点M、N分别为BC、CD上的动点，连接AM、AN、MN，∠AMN+∠ANM的度数为　 　 °． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25．（10分）将完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝12+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值； （2）填空：①若x（4﹣x）＝3，则x2+（x﹣4）2＝　 　 ； ②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　 ． （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，在长方形ABCD内侧作长方形CEPF，若长方形CEPF的面积为200 26．（10分）如图1，在长方形ABCD中，E为AB边上一点，BE＝3cm．动点P从B开始，以3cm/s的速度沿B→C→D路线运动，到点A停止．图2是点P出发t秒后，△BPE的面积S（cm2）随时间t（s）变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）a＝　 　 s，CD＝　 　 cm，b＝　 　 cm2，v＝　 　 cm/s． （2）当△BPE的面积为9cm2时，求t的值． （3）如图3，当点P以3cm/s的速度在BC上运动时，动点Q同时以xcm/s的速度从C点出发沿边CD运动，△PBE与△PCQ全等，请直接写出x的值． 27．（10分）已知△ABC是等边三角形，点E是直线AB上一点（不与A、B重合），DE＝EC （1）如图1，当点E在线段AB上时，过点E作EF∥BC，求证：AE＝BD； （2）如图2，若点H为CE的中点，连结AH．当点E在线段BA上时，求证：∠DAH＝60°； （3）如图3，若点H为CE的中点，连结AH，若等边三角形的高为2，求AH的最小值． 2025-2026学年重庆市第八中学七年级（下）定时练习数学试卷（5.31） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。 1．（4分）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A．是轴对称图形； B．不是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．不是轴对称图形． 故选：A． 2．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a6÷a2＝a3 B．2ab+3a2b＝5a3b2 C．（﹣2m2）3＝﹣8m6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4 【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐项计算即可． 【解答】解：A、a6÷a2＝a5，原计算错误，不符合题意； B、2ab和3a6b不是同类项，不能合并，不符合题意； C、（﹣2m2）3＝﹣8m6，正确，符合题意； D、（a﹣4）2＝a2﹣6a+4，原计算错误， 故选：C． 3．（4分）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．画一个圆，它是轴对称图形 D．从只有红球的袋子中摸出黄球 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：A．投掷一枚硬币，不是不可能事件； B．射击运动员射击一次，不是不可能事件；C．画一个圆，不符合题意； D．从只有红球的袋子中摸出黄球是不可能事件，故选：D． 4．（4分）一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在白色方格中的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【解答】解：图上共有3个方格，白色方格有1个． 故选：B． 5．（4分）“百日长跑”是一项非常有益身心的体育活动，体育老师一声令下，小雅立即开始慢慢加速，最后150米时奋力冲刺跑完全程，下列最符合小雅跑步时的速度y（单位：米/分）（单位：分）之间的大致图象的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小雅的速度的变化判断即可． 【解答】解：由小雅立即开始慢慢加速，此时速度随时间的增大而增加，此时速度不变；最后150米时奋力冲刺跑完全程，且图象比开始一段更陡． 故选项B符合题意． 故选：B． 6．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝20°，则∠C的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，由AB＝AD＝DC可得∠DAC＝∠C，易求解． 【解答】解：∵∠BAD＝20°，AB＝AD＝DC， ∴∠ABD＝∠ADB＝80°， 由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°， 又∵AD＝DC， ∴∠C＝∠ADB＝40°． 故选：B． 7．（4分）下列说法正确的是（　　） A．三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B．三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和 C．三角形的任意两边之差大于第三边 D．全等三角形对应边上的高相等 【分析】由三角形三边关系定理，全等三角形的性质，三角形中线的定义，三角形外角的性质，即可判断． 【解答】解：A、三角形三条中线的交点一定在三角形的内部； B、三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； C、三角形的任意两边之差小于第三边； D、此说法正确． 故选：D． 8．（4分）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，测得PA＝20米，PB＝17米，B间的距离不可能是（　　） A．40米 B．32米 C．13米 D．25米 【分析】根据三角形的三边关系确定AB的范围，判断即可． 【解答】解：设AB的距离为x米， 由三角形的三边关系可知：20﹣17＜x＜20+17，即3＜x＜37， 则A，B间的距离不可能四个数据中的40米， 故选：A． 9．（4分）如图，在△ABC中，点D，AC上，将△ADE沿DE折叠至△FDE的位置，∠BDF＝120°，则∠CED的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【分析】首先由图形折叠性质得，再利用三角形外角的性质求出∠CED． 【解答】解：∵∠BDF＝120°， ∴∠ADG＝180°﹣∠BDF＝60°， 由折叠的性质可得，， ∵∠A＝15°， ∴∠CED＝∠A+∠ADE＝45°． 故选：C． （多选）10．（4分）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，连接BF，CE下列说法中正确的有（　　） A．CE＝AE B．△ABD和△ACD面积相等 C．BF∥CE D．△BDF≌△CDE 【分析】再根据已知条件判断A；根据中线得出BD＝CD，根据等底等高的三角形的面积相等判断B即可；根据全等三角形的判定定理即可判断D，根据全等三角形的性质得出∠F＝∠CED，根据平行线的判定即可判断C． 【解答】解：由题中的已知条件不能得到AE＝CE，故A不正确； ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△BAD的边BD上的高和△ACD的边CD上的高相同， ∴△ABD和△ACD面积相等，故B正确； ∵在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS），故D正确； ∵△BDF≌△CDE， ∴∠F＝∠CED， ∴BF∥CE，故C正确； 故选：BCD． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。 11．（4分）世界上最小的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米，用科学记数法表示体长为 　2.1×10﹣4 米． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.00021＝2.3×10﹣4． 故答案为：2.3×10﹣4． 12．（4分）不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球　　 ． 【分析】用红球的个数除以球的总数即可． 【解答】解：∵共10个球，红球有5个， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为． 故答案为：． 13．（4分）已知x2+12x+m是完全平方式，则m的值为　36　 ． 【分析】根据完全平方式的特征进行计算，即可解答． 【解答】解：∵x2+12x+m是完全平方式， ∴m＝62＝36， 故答案为：36． 14．（4分）如图，AB∥DE，AB＝DE，CE＝2，则BC的长是 　5　 ． 【分析】根据平行线的性质得∠A＝∠DEF，结合已知条件可依据“ASA”判定△ABC和△DEF全等得BC＝EF，由此得BE＝CF，则BF＝2BE+CF，再根据BF＝8，CE＝2得BE＝3，据此即可得出BC的长． 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠A＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中 ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC＝EF， ∴BC﹣CE＝EF﹣CE， ∴BE＝CF， ∴BF＝BE+CE+CF＝2BE+CF， ∵BF＝8，CE＝5， ∴8＝2BE+8 ∴BE＝3， ∴BC＝BE+EC＝5， 即BC的长是4． 故答案为：5． 三、解答题：（本大题共5个小题，15题16分，16题6分，17题8分，18题6分，19题8分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 15．（16分）计算或化简： （1）； （2）a2•a4+（﹣2a2）3+a8÷a2； （3）（m+2n+3）（m+2n﹣3）； （4）（x+3y）2﹣（x+y）（x﹣2y）． 【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂的乘除法运算法则和积的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算； （4）根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则进行计算． 【解答】解：（1）； ＝1+2﹣9 ＝0； （2）a7•a4+（﹣2a7）3+a8÷a8； ＝a6﹣8a3+a6 ＝﹣6a7； （3）（m+2n+3）（m+5n﹣3） ＝（m+2n）8﹣32 ＝m6+4mn+4n2﹣9； （4）（x+3y）4﹣（x+y）（x﹣2y） ＝x2+3xy+9y2﹣x7+2xy﹣xy+2y4 ＝11y2+7xy． 16．（6分）先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，y满足x＝1，y＝2026． 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则、合并同类项法则和多项式除以单项式法则进行化简，再把x，y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝（x2﹣4xy+7y2+x2﹣8y2﹣4x5+2xy）÷2x ＝（﹣3x2﹣2xy）÷3x ＝﹣2x2÷7x﹣2xy÷2x ＝﹣x﹣y， 当x＝5，y＝2026时， 原式＝﹣1﹣2026 ＝﹣2027． 17．（8分）如图所示，在△ABC中，已知∠C是直角． （1）用尺规完成作图：作直角边AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，在射线ED上截取线段DF（点F在边AC的左边），连接AF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，根据（1）中作图 （将证明过程中空白处的正确答案填在答题卡对应代号处） 证明：∵EF垂直平分AC， ∴AD＝　　 ①，且∠ADF＝90°， ∵，∠C＝90°， ∴AD＝BC ②，∠ADF＝∠C， 在△ADF与△ABC中， 又∵DF＝AC， ∴△ADF≌△ABC， ∴∠FAD＝　∠B ③， ∵在直角△ABC中，∠C是直角， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠FAD+∠BAC＝90°，即　∠BAF ④＝90°， ∴AF⊥AB． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作出直线DE，再以点D为圆心，AC的长为半径画弧，交射线ED于点F，连接AF即可． （2）根据线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可． 【解答】（1）解：如图，直线DE即为所求． 以点D为圆心，AC的长为半径画弧，连接AF， 则DF，AF即为所求． （2）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AD＝，且∠ADF＝90°， ∵，∠C＝90°， ∴AD＝BC，∠ADF＝∠C， 在△ADF与△ABC中， 又∵DF＝AC， ∴△ADF≌△ABC（SAS）， ∴∠FAD＝∠B， ∵在直角△ABC中，∠C是直角， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∴∠FAD+∠BAC＝90°，即∠BAF＝90°， ∴AF⊥AB． 故答案为：①；②BC；④∠BAF． 18．（6分）从2025年春季学期起，江苏省所有义务教育学校的课间时间延长到15分钟．某校为了解学生课间喜欢的体育活动，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“羽毛球”，C为“踢毽子”，D为“跳绳”．请你根据图中提供的信息 （1）本次调查共抽取了　50　 名学生； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“踢毽子”所对应的圆心角度数； （3）若全校共有1500名学生，请估计全校有多少名学生课间喜欢乒乓球． 【分析】（1）用A的总人数除以A所占比例即可求解； （2）用总人数减去A、C、D的人数即可得B的人数，据此即可补全条形统计图，再用360°×C所占百分比； （3）用样本估算总体即可． 【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为：20÷40%＝50（名）， 故答案为：50； （2）喜欢乒乓球的学生人数为：50﹣20﹣8﹣5＝17（名）， 补全条形统计图如图： “踢毽子”所对圆心角度数：360°×＝57.6o， （3）（17÷50）×1500＝510（人）， ∴估计全校有510名学生课间喜欢乒乓球． 19．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC边上一点，连接BD，过点C作CE⊥AC交AF的延长线于点E． （1）求证：△BAD≌△ACE； （2）当AD＝CF时，求∠CBD的度数． 【分析】（1）设AE与BD相交于点O，先证明∠ABD＝∠CAE，再根据∠BAD＝∠ACE＝90°，AB＝AC可依据“ASA”判定△BAD和△ACE全等； （2）由△BAD和△ACE全等得AD＝CE，则当AD＝CF时，则CE＝CF，由此得∠CFE＝∠CEF，再求出∠ECF＝45°，进而根据三角形内角和定理得∠CFE＝67.5°，则∠OFB＝∠CFE＝67.5°，据此可得∠CBD的度数． 【解答】（1）证明：设AE与BD相交于点O，如图所示： ∵AF⊥BD，CE⊥AC， ∴∠AOB＝∠FOB＝∠ACE＝90°， ∴△AOB和△FOB都是直角三角形， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠ACE＝90°， 在Rt△AOB中，∠ABD+∠OAB＝90°， 又∵∠CAE+∠OAB＝∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△BAD和△ACE中， ， ∴△BAD≌△ACE（ASA）； （2）解：由（1）可知：△BAD≌△ACE， ∴AD＝CE， ∴当AD＝CF时，则CE＝CF， ∴∠CFE＝∠CEF， 在△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ECF＝∠ACE﹣∠ACB＝45°， 在△CEF中，∠CFE+∠CEF+∠ECF＝180°， ∴2∠CFE+45°＝180°， ∴∠CFE＝67.5°， ∴∠OFB＝∠CFE＝67.2°， 在Rt△FOB中，∠FOB＝90°， ∴∠CBD＝90°﹣∠OFB＝90°﹣67.5°＝22.5°． 三、选择题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，请将答题卡上对应选项的代号涂黑。 20．（4分）已知，，，那么代数式2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac的值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【分析】根据题意可得a﹣b＝1，a﹣c＝﹣1，b﹣c＝﹣2，再将代数式2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac变形为（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，再代入计算即可求解． 【解答】解：∵，，， ∴a﹣b＝1，a﹣c＝﹣1， ∴5a2+2b6+2c2﹣6ab﹣2bc﹣2ac ＝（a﹣b）3+（a﹣c）2+（b﹣c）2 ＝3+1+4 ＝8． 故选：A． （多选）21．（4分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论正确的是（　　） A．∠APB＝135° B．△ABP≌△FBP C．∠AHP＝∠ABC D．AH+BD＝AB 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得∠PAB+∠PBA＝45°，继而得出∠APB的度数，即可判断①；推出∠APB＝∠FPB，根据ASA证明即可，即可判断②；证明△PAH≌△PFD（ASA），得AH＝FD，∠AHP＝∠FDP，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣＝90°＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°， 所以选项A正确，符合题意； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°（垂直的定义）， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB（等量代换）， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA）， 所以选项B正确，符合题意； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△PFD中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD（全等三角形对应边相等），∠AHP＝∠FDP（全等三角形对应角相等）， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC， 所以选项C错误，不符合题意； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB， 所以选项D正确，符合题意． 故选：ABD． 五、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上。 22．（4分）（x2+ax+3）（x+4）的展开式中不含x的一次项，则常数a的值为 　　 ． 【分析】先把多项式合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：因为多项式（x2+ax+3）（x+6）＝x3+（a+4）x4+（4a+3）x+12不含x的一次项， ∴4a+3＝0， 解得a＝． 故答案为：． 23．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，化简|a﹣c+b|+|b﹣a﹣c|＝　2a ． 【分析】由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣a﹣c＜0，由绝对值的性质即可化简|a﹣c+b|+|b﹣a﹣c|． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴|a﹣c+b|+|b﹣a﹣c| ＝a﹣c+b+[﹣（b﹣a﹣c）] ＝a﹣c+b﹣b+a+c ＝8a． 故答案为：2a． 24．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝117°，点M、N分别为BC、CD上的动点，连接AM、AN、MN，∠AMN+∠ANM的度数为　126　 °． 【分析】延长AB至点E，使得BA＝BE，延长AD至点F，使得DA＝DF，由线段垂直平分线的性质得到AM＝EM，AN＝FN，从而得出AM+MN+AN＝EM+MN+FN≥EF，即当E、M、N、F四点共线时，△AMN周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 【解答】解：如图，延长AB至点E，延长AD至点F，连接NF、EF， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴BC垂直平分AE，CD垂直平分AF， ∴AN＝FN，AM＝EM， ∴AM+MN+AN＝EM+MN+FN≥EF， ∴当E、M、N、F四点共线时，即△AMN周长最小， ∵∠BAD＝117°， ∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD＝63°， ∵AM＝EM，AN＝FN， ∴∠EAM＝∠E，∠FAN＝∠F， ∴∠ANM＝∠F+∠FAN＝2∠F，∠AMN＝∠E+∠EAM＝2∠E， ∴当△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM＝4∠E+2∠F＝2（∠E+∠F）＝126°， 故答案为：126． 六、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25．（10分）将完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝12+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值； （2）填空：①若x（4﹣x）＝3，则x2+（x﹣4）2＝　10　 ； ②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　17　 ． （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，在长方形ABCD内侧作长方形CEPF，若长方形CEPF的面积为200 【分析】（1）利用完全平方公式的变形运算计算即可； （2）①利用完全平方公式的变形运算计算即可；②利用完全平方公式的变形运算计算即可； （3）由体题意可得CF＝20﹣x，CE＝16﹣x，CE•CF＝（20﹣x）（16﹣x）＝200，即得CF﹣CE＝4，再利用完全平方公式的变形运算计算即可求解． 【解答】解：（1）∵x+y＝8， ∴x2+5xy+y2＝64， ∵x2+y7＝40， ∴40+2xy＝64， ∴2xy＝24， ∴xy＝12； （2）①∵[x+（7﹣x）]2＝44＝16， ∴x2+2x（5﹣x）+（x﹣4）2＝16， ∵x（5﹣x）＝3， ∴x2+6+（x﹣4）2＝16， ∴x7+（x﹣4）2＝10， 故答案为：10； ②∵[（2﹣x）+（x﹣5）]2＝（﹣4）2＝1， ∴（8﹣x）2+2（5﹣x）（x﹣5）+（x﹣5）7＝1， 即（4﹣x）4﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝7， ∵（4﹣x）（5﹣x）＝6， ∴（4﹣x）2﹣16+（2﹣x）2＝1， ∴（3﹣x）2+（5﹣x）5＝17， 故答案为：17； （3）由题意可得，CF＝20﹣x， ∵长方形CEPF的面积为200， ∴CE•CF＝（20﹣x）（16﹣x）＝200， ∴CF2﹣2CE•CF+CE3＝16， ∴CE2+CF2＝16+400＝416， ∴图中阴影部分的面积和为416． 26．（10分）如图1，在长方形ABCD中，E为AB边上一点，BE＝3cm．动点P从B开始，以3cm/s的速度沿B→C→D路线运动，到点A停止．图2是点P出发t秒后，△BPE的面积S（cm2）随时间t（s）变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）a＝　3　 s，CD＝　6　 cm，b＝　　 cm2，v＝　2　 cm/s． （2）当△BPE的面积为9cm2时，求t的值． （3）如图3，当点P以3cm/s的速度在BC上运动时，动点Q同时以xcm/s的速度从C点出发沿边CD运动，△PBE与△PCQ全等，请直接写出x的值． 【分析】（1）根据函数图象分析当P点运动到CD上时，S不变化，得出a＝3，当3＜t＜5时，点P在CD上，得出CD，根据P从D到A的运动时间为9.5﹣5＝4.5，用路程除以时间，即可求解； （2）分当P在BC上时，当P在AD上时，根据三角形的面积为9得出P到AB的距离为6，即可求解； （3）分△PBE≌△PCQ和△PBE≌△PCQ根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解． 【解答】解：（1）依题意知：BP＝3tcm， 当P点运动到CD上时，S不变化， ∵BC＝9cm， ∴b＝BE•BC＝； ∴3t＝5， 解得：t＝3， 根据图2可得a＝5， 当3＜t＜5时，点P在CD上， ∴CD＝7×（5﹣3）＝2（cm）， ∵P从D到A的运动时间为9.5﹣8＝4.5（s）， ∴v＝＝4（cm/s）， 故答案为：3；6；；2； （2）∵BE＝3cm，△BPE的面积为6cm2， ∴P到AB的距离为6cm， 当P在BC上时，t＝， 当P在AD上时，DP＝9﹣2＝3（cm）， ∴t＝＝＝4.5； （3）∵∠B＝∠C， ∴当△PBE与△PCQ全等时，有两种情况： ①△PBE≌△PCQ时，PB＝PC， ∴， 解得：x＝4； ②△PBE≌△PCQ时，PB＝CQ， ∴， 解得：x＝3． 27．（10分）已知△ABC是等边三角形，点E是直线AB上一点（不与A、B重合），DE＝EC （1）如图1，当点E在线段AB上时，过点E作EF∥BC，求证：AE＝BD； （2）如图2，若点H为CE的中点，连结AH．当点E在线段BA上时，求证：∠DAH＝60°； （3）如图3，若点H为CE的中点，连结AH，若等边三角形的高为2，求AH的最小值． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠ACB＝60°，根据等边三角形的性质得到AE＝EF，求得∠CFE＝∠EBD＝120°，根据平行线的性质得到∠ECB＝∠CEF，求得∠D＝∠CEF，根据全等三角形的性质得到EF＝BD，求得AE＝BD； （2）如图，延长AH至点G，使得GH＝AH，连接CG，根据全等三角形的性质得到CG＝AE＝BD，∠AEH＝∠GCH，求得∠HCG+∠ACH＝120°，得到∠ACG＝∠ABD，根据全等三角形的性质得到∠DAB＝∠GAC，于是得到∠DAH＝60°； （3）如图，过点D作DJ∥AC，交AB于点J，同（1）可证，△DJE≌△EAC（AAS），根据全等三角形的性质得到DJ＝AE＝BD，延长AH至点I，使得HI＝AH，连接CI，同（2）可证，△AEH≌△ICH（SAS），求得CI＝AE＝BD，∠AEH＝∠ICH，即∠ACI＝60°，得到∠ACI＝∠B，根据全等三角形的性质得到AD＝AI＝2AH，当AD⊥BC时，AD取到最小值，根据等边三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠AFE＝∠ACB＝60°， 又∵∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF， ∵∠AFE＝∠ABC＝60°， ∴∠CFE＝∠EBD＝120°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECB， 又∵EF∥BC， ∴∠ECB＝∠CEF， ∴∠D＝∠CEF， 在△CEF和△EDB中， ， ∴△CEF≌△EDB（AAS）， ∴EF＝BD， 又∵AE＝EF， ∴AE＝BD； （2）证明：如图，延长AH至点G，连接CG， 在△AEH和△GCH中， ， ∴△AEH≌△GCH（SAS）， ∴CG＝AE＝BD，∠AEH＝∠GCH， ∵∠AEH+∠ACH＝180°﹣∠EAC＝120°， ∴∠HCG+∠ACH＝120°， 即∠ACG＝120°， ∴∠ACG＝∠ABD， 在△ADB和△AGC中， ， ∴△ADB≌△AGC（SAS）， ∴∠DAB＝∠GAC， ∵∠BAG+∠GAC＝60°， ∴∠DAB+∠BAG＝60°， ∴∠DAH＝60°； （3）解：如图，过点D作DJ∥AC， 同（1）可证，△DJE≌△EAC（AAS）， ∴DJ＝AE＝BD， 延长AH至点I，使得HI＝AH， 同（2）可证，△AEH≌△ICH（SAS）， ∴CI＝AE＝BD，∠AEH＝∠ICH， ∵∠AEH+∠ACH＝180°﹣∠EAC＝60°， ∴∠ICH+∠ACH＝60°， 即∠ACI＝60°， ∴∠ACI＝∠B， 在△ADB和△AIC中， ， ∴△ADB≌△AIC（SAS）， ∴AD＝AI＝2AH， 当AD⊥BC时，AD取到最小值， ∵等边三角形ABC， ∴BD＝AB， ∵等边三角形的高为2， ∴AD＝2， 即AD最小值为5． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/5 11:56:13；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $