6 被除数和商的大小关系（小数除法）（导学案）新五年级数学暑假自学课（沪教版·新教材）

6 被除数和商的大小关系 编者的话 亲爱的同学们，欢迎开启2026年暑假的数学探索之旅！小数除法是五年级数学的重要基石，而理解“被除数与商的大小关系”则是提升计算速度与检验结果准确性的关键技巧。许多同学在做除法时，往往只关注计算过程，却忽略了商与被除数之间隐含的逻辑联系。本导学案专为暑假自学设计，旨在帮助你跳出机械计算的圈子，从逻辑层面洞察除法的本质。我们将通过简洁明了的知识梳理和精心设计的阶梯式练习，带你发现数字变化的规律。希望你在完成本课时学习后，不仅能算得对，更能想得通，为新学期打下坚实基础。加油，未来的数学小专家！ 学习目标 1.理解规律：掌握在小数除法中，除数与1的大小关系如何影响商与被除数的大小关系。 2.应用判断：能够不经过具体计算，直接判断商与被除数的大小，提高估算和验算能力。 3.综合解题：能运用该规律解决简单的填空题、判断题及实际生活中的比较问题。 4.查漏补缺：通过自我评量，发现自身在概念理解上的盲区，并及时纠正。 知识要点 1. 核心规律总结 在不为0的被除数除以不为0的除数的情况下（即 ， ）： (1)当除数 > 1 时： ①　商 < 被除数 ②　理解：把一个数平均分成超过1份，每一份肯定比原来的总数小。 ③　示例： ，因为 ，所以 。 (2)当除数 = 1 时： ①　商 = 被除数 ②　理解：把一个数平均分成1份，那一份就是它本身。 ③　示例： 。 (3)当除数 < 1 （且大于0）时： ①　商 > 被除数 ②　理解：除数越小，分得的份数越多（或者说看被除数里包含多少个更小的单位），商反而越大。 ③　示例： ，因为 ，所以 。 2. 注意事项 (1)被除数不能为0的特殊情况：如果被除数是0，无论除数是多少（0除外），商永远是0。此时 商 = 被除数。但在本题型常规讨论中，通常默认被除数不为0。 (2)除数不能为0：0不能做除数，这是数学铁律。 (3)适用范围：此规律适用于整数除法和小数除法。 3. 快速判断技巧 看到除法算式 ，先看 ： (1) 比 1 大 结果变小 (2) 比 1 小 结果变大 (3) 是 1 结果不变 自我评量 一、选择题 1. 下面各题中，商大于被除数的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】根据规律，要使商大于被除数，除数必须小于1（且大于0）。选项中只有0.9小于1，故选C。 2. 如果 ，那么 与 的关系是（ ）。 A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【详解】因为除数 ，所以商 大于被除数 ，即 。故选B。 3. 下列算式中，结果最小的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】被除数相同都是7.2。 A项除数0.1<1，商>7.2； B项除数1=1，商=7.2； C项除数1.2>1，商<7.2； D项除数0.8<1，商>7.2。 只有C项的商小于7.2，所以C最小。故选C。 4. 已知 ，如果 ，且 ，则（ ）。 A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为除数 ，根据规律，商 一定小于被除数 。故选B。 二、判断题 5. 一个非零数除以小于1的数，商一定大于这个数。（ ） 【答案】√ 【详解】这是基本规律。前提是非零数且除数大于0。题目隐含除数为正数的小数除法语境，故正确。 6. 的商比 0.5 小。（ ） 【答案】× 【详解】除数是0.2，小于1，所以商应该比被除数0.5大。实际上 ， 。故错误。 7. 两个数相除，商一定比被除数小。（ ） 【答案】× 【详解】不一定。如果除数小于1，商比被除数大；如果除数等于1，商等于被除数。故错误。 8. 因为 ，所以 的商一定小于 8.4。（ ） 【答案】√ 【详解】除数1.2大于1，被除数8.4不为0，所以商小于被除数。故正确。 三、填空题 9. 在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ） （ ） （ ） 【答案】＞；＜；＝ 【详解】除数0.9 < 1，所以商 > 被除数。 除数1.2 > 1，所以商 < 被除数。 除数等于1，商等于被除数。 10. 如果 ，那么 （ ） 。 【答案】＜ 【详解】除数0.5 < 1，所以商B > 被除数A，即 A < B。 11. 一个数（0除外）除以（ ），商比原数大；除以（ ），商比原数小。 【答案】小于1的数；大于1的数 【详解】考察对核心规律的记忆。注意通常指大于0的小数。 12. 的商一定（ ）被除数。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】小于 【详解】除数是 ，肯定大于1，所以商一定小于被除数。 四、计算题 13. 先判断商与被除数的大小关系，再计算验证 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）8；（2）6；（3）3；（4）5 【详解】（1）判断：除数0.6 < 1，商应大于4.8。 计算： 。 验证： ，符合规律。 （2）判断：除数1.6 > 1，商应小于9.6。 计算： 。 验证： ，符合规律。 （3）判断：除数0.25 < 1，商应大于0.75。 计算： 。 验证： ，符合规律。 （4）判断：除数2.5 > 1，商应小于12.5。 计算： 。 验证： ，符合规律。 五、解答题 14. 小明在计算一道除法题时，把除数0.8看成了8，结果得到的商是0.5。请问正确的商应该是多少？并说明理由。 【答案】5 【详解】 方法一（逆向推导）： 被除数 = 错误的商 × 错误的除数 = 。 正确的商 = 被除数 ÷ 正确的除数 = 。 方法二（利用规律）： 除数从0.8变成8，扩大了10倍。在被除数不变的情况下，除数扩大10倍，商应该缩小10倍。 现在的商是0.5，那么原来的商应该是 。 此外，正确除数0.8 < 1，所以正确商5应该大于被除数4，符合逻辑。 15. 甲、乙两个数都不为0。甲数除以0.9等于乙数除以1.1。请比较甲数和乙数的大小。 【答案】甲数 < 乙数 【详解】 设甲数 乙数 （ 为常数且 ）。 则 甲数 乙数 因为 ，所以 。 即 甲数 < 乙数。 另一种思路（利用商与被除数关系）： 由 甲 商，因为 ，所以 商 > 甲。 由 乙 商，因为 ，所以 商 < 乙。 综上：甲 < 商 < 乙，所以 甲 < 乙。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6 被除数和商的大小关系 编者的话 亲爱的同学们，欢迎开启2026年暑假的数学探索之旅！小数除法是五年级数学的重要基石，而理解“被除数与商的大小关系”则是提升计算速度与检验结果准确性的关键技巧。许多同学在做除法时，往往只关注计算过程，却忽略了商与被除数之间隐含的逻辑联系。本导学案专为暑假自学设计，旨在帮助你跳出机械计算的圈子，从逻辑层面洞察除法的本质。我们将通过简洁明了的知识梳理和精心设计的阶梯式练习，带你发现数字变化的规律。希望你在完成本课时学习后，不仅能算得对，更能想得通，为新学期打下坚实基础。加油，未来的数学小专家！ 学习目标 1.理解规律：掌握在小数除法中，除数与1的大小关系如何影响商与被除数的大小关系。 2.应用判断：能够不经过具体计算，直接判断商与被除数的大小，提高估算和验算能力。 3.综合解题：能运用该规律解决简单的填空题、判断题及实际生活中的比较问题。 4.查漏补缺：通过自我评量，发现自身在概念理解上的盲区，并及时纠正。 知识要点 1. 核心规律总结 在不为0的被除数除以不为0的除数的情况下（即 ， ）： (1)当除数 > 1 时： ①　商 < 被除数 ②　理解：把一个数平均分成超过1份，每一份肯定比原来的总数小。 ③　示例： ，因为 ，所以 。 (2)当除数 = 1 时： ①　商 = 被除数 ②　理解：把一个数平均分成1份，那一份就是它本身。 ③　示例： 。 (3)当除数 < 1 （且大于0）时： ①　商 > 被除数 ②　理解：除数越小，分得的份数越多（或者说看被除数里包含多少个更小的单位），商反而越大。 ③　示例： ，因为 ，所以 。 2. 注意事项 (1)被除数不能为0的特殊情况：如果被除数是0，无论除数是多少（0除外），商永远是0。此时 商 = 被除数。但在本题型常规讨论中，通常默认被除数不为0。 (2)除数不能为0：0不能做除数，这是数学铁律。 (3)适用范围：此规律适用于整数除法和小数除法。 3. 快速判断技巧 看到除法算式 ，先看 ： (1) 比 1 大 结果变小 (2) 比 1 小 结果变大 (3) 是 1 结果不变 自我评量 一、选择题 1. 下面各题中，商大于被除数的是（ ）。 A. B. C. D. 2. 如果 ，那么 与 的关系是（ ）。 A. B. C. D. 无法确定 3. 下列算式中，结果最小的是（ ）。 A. B. C. D. 4. 已知 ，如果 ，且 ，则（ ）。 A. B. C. D. 二、判断题 5. 一个非零数除以小于1的数，商一定大于这个数。（ ） 6. 的商比 0.5 小。（ ） 7. 两个数相除，商一定比被除数小。（ ） 8. 因为 ，所以 的商一定小于 8.4。（ ） 三、填空题 9. 在（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ） （ ） （ ） 10. 如果 ，那么 （ ） 。 11. 一个数（0除外）除以（ ），商比原数大；除以（ ），商比原数小。 12. 的商一定（ ）被除数。（填“大于”“小于”或“等于”） 四、计算题 13. 先判断商与被除数的大小关系，再计算验证 （1） （2） （3） （4） 五、解答题 14. 小明在计算一道除法题时，把除数0.8看成了8，结果得到的商是0.5。请问正确的商应该是多少？并说明理由。 15. 甲、乙两个数都不为0。甲数除以0.9等于乙数除以1.1。请比较甲数和乙数的大小。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $