3 整数的乘法运算律推广到小数（导学案）新五年级数学暑假自学课（沪教版·新教材）

3 整数的乘法运算律推广到小数 编者的话 亲爱的同学，你好！欢迎开启2026年暑假的数学探索之旅。数学不仅是数字的游戏，更是思维的体操。在即将到来的五年级学习中，我们将迎来一个重要的转折点：从整数世界迈向小数世界的深度运算。本课《整数的乘法运算律推广到小数》是连接旧知与新知的桥梁。你会发现，曾经熟悉的乘法交换律、结合律和分配律，在小数王国里依然闪耀着智慧的光芒。掌握这些规律，不仅能提高计算速度，更能培养你敏锐的观察力和灵活的思维能力。希望这份导学案能成为你暑期学习的得力助手，让你在轻松愉悦的氛围中，提前解锁新学期的关键技能，享受数学带来的简洁之美与逻辑之乐。 学习目标 1.理解与迁移：知道整数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律）对于小数乘法同样适用，并能用字母表示这些运算律。 2.应用与计算：能根据数据特点，灵活运用乘法运算律进行小数的简便计算，提高计算的正确率和速度。 3.思维与方法：经历观察、猜想、验证的过程，体会“类比”和“转化”的数学思想方法，培养简算意识。 知识要点 1. 核心概念回顾 (1)小数四则混合运算顺序：与整数相同。先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里面的。 (2)运算律的推广：整数的乘法运算律对于小数乘法同样适用。这意味着我们在处理小数乘法时，可以像处理整数一样，寻找“凑整”的机会。 2. 三大乘法运算律 运算律名称 字母公式 文字描述 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 3. 简便计算的常见策略 运用乘法运算律可以使一些计算简便，关键在于观察数据特征，寻找能凑成整数（如1, 10, 100等）的组合。 策略一：利用“好朋友数”凑整 常见的凑整组合： 【典型例题解析】 题目：用简便方法计算 分析：观察到 和 相乘可以得到整数 。因此，利用乘法交换律调整顺序，再利用乘法结合律优先计算。 过程： 策略二：拆分法（接近整十、整百的数） 当一个因数接近整十、整百数时，将其拆分为“整数 小数”的形式，利用乘法分配律计算。 【典型例题解析】 题目：用简便方法计算 分析： 接近 ，可以写成 。 过程： 策略三：逆用乘法分配律 当算式中有相同的因数，且另外两个因数的和或差能凑整时，逆用分配律。 【典型例题解析】 题目：计算 分析：两个乘法算式中都有因数 ，且 。 过程： 自我评量 一、选择题 1.计算 时，最简便的方法是将其转化为（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 B 【详解】 将 拆分为 ，然后利用结合律，让 与 结合得 ， 与 结合得 ，计算最简便。 2.下面算式中，运用了乘法分配律的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 C 【详解】 A是交换律，B是交换律和结合律，D是结合律的变形，只有C是将 拆分为 后分别相乘，符合分配律定义。 3. 的结果是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 A 【详解】 逆用乘法分配律： 。 4.下列计算错误的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 D 【详解】 D选项漏乘了第二个因数，应为 。A、B、C均为正确的简便算法变形。 二、判断题 5.整数乘法的运算律对于小数乘法同样适用。（ ） 【答案】 √ 【详解】 这是本课的核心结论，经过数学证明和实践验证，运算律具有普遍性。 6. 运用了乘法分配律。（ ） 【答案】 √ 【详解】 将 拆成和的形式，分别相乘再相加，符合分配律。 7. 既运用了乘法交换律，又运用了乘法结合律。（ ） 【答案】 √ 【详解】 和 交换位置是交换律，先算 是结合律。 三、填空题 8.在 里填上合适的数，在 里填上运算符号。 (1) (2) (3) 【答案】 (1) (2) (3) 【详解】 (1) 利用结合律，先算 。 (2) 将 拆解，利用 的特性。 (3) 直接应用乘法分配律展开。 9.根据运算律填空。 【答案】 【详解】 将 拆分为 ，利用分配律简化计算。 10.0.85×6.4＋0.85×3.6＝（____＋____）×____，这是应用了乘法的( )律。 【答案】 6.4 3.6 0.85 分配 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。两个数与相同的一个数相乘，可以先把它们的和与这个数相乘，这叫做乘法分配律的逆运算。据此解答。 【详解】0.85×6.4＋0.85×3.6 ＝（6.4＋3.6）×0.85 ＝10×0.85 ＝8.5 这是应用了乘法的分配律。 四、计算题 11.用简便方法计算。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案与详解】 五、解答题 12.每辆大车能装125包货物，每包重34.6千克，8辆大车一次可运输多少吨货物？ 【答案】34.6吨 【分析】根据“每辆大车能装125包货物，每包重34.6千克”计算出，一辆大车一次可以运输的货物。再用乘法计算出8辆大车可以运输的货物的质量，据此计算即可，千克和吨的进率是1000，注意单位换算。 【详解】125×34.6×8 ＝（125×8）×34.6 ＝1000×34.6 ＝34600（千克） 34600千克＝34.6吨 答：8辆大车一次可运输34.6吨货物。 13.学校食堂买来大米和面粉各 25 袋。大米每袋 50.5 千克，面粉每袋 49.5 千克。食堂一共买来粮食多少千克？（请用两种方法解答，其中一种需用简便运算） 【答案】 2500 千克 【详解】 方法一（常规思路）： 先分别算出大米和面粉的总重，再相加。 (千克) 方法二（简便运算）： 先算出一袋大米和一袋面粉的总重，再乘以袋数。利用乘法分配律的逆运算。 答：食堂一共买来粮食 2500 千克。 14.小明在计算 时，是这样写的： 他的计算对吗？如果不对，请指出错误原因并给出正确过程。 【答案】 不对 【详解】 错误原因：小明混淆了乘法结合律和乘法分配律。他将连乘算式错误地拆分成了加法算式。 拆分为 后，整个算式仍然是连乘关系，不能用加号连接两部分。 正确过程： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3 整数的乘法运算律推广到小数 编者的话 亲爱的同学，你好！欢迎开启2026年暑假的数学探索之旅。数学不仅是数字的游戏，更是思维的体操。在即将到来的五年级学习中，我们将迎来一个重要的转折点：从整数世界迈向小数世界的深度运算。本课《整数的乘法运算律推广到小数》是连接旧知与新知的桥梁。你会发现，曾经熟悉的乘法交换律、结合律和分配律，在小数王国里依然闪耀着智慧的光芒。掌握这些规律，不仅能提高计算速度，更能培养你敏锐的观察力和灵活的思维能力。希望这份导学案能成为你暑期学习的得力助手，让你在轻松愉悦的氛围中，提前解锁新学期的关键技能，享受数学带来的简洁之美与逻辑之乐。 学习目标 1.理解与迁移：知道整数乘法的运算律（交换律、结合律、分配律）对于小数乘法同样适用，并能用字母表示这些运算律。 2.应用与计算：能根据数据特点，灵活运用乘法运算律进行小数的简便计算，提高计算的正确率和速度。 3.思维与方法：经历观察、猜想、验证的过程，体会“类比”和“转化”的数学思想方法，培养简算意识。 知识要点 1. 核心概念回顾 (1)小数四则混合运算顺序：与整数相同。先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里面的。 (2)运算律的推广：整数的乘法运算律对于小数乘法同样适用。这意味着我们在处理小数乘法时，可以像处理整数一样，寻找“凑整”的机会。 2. 三大乘法运算律 运算律名称 字母公式 文字描述 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个或先乘后两个，积不变。 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 3. 简便计算的常见策略 运用乘法运算律可以使一些计算简便，关键在于观察数据特征，寻找能凑成整数（如1, 10, 100等）的组合。 策略一：利用“好朋友数”凑整 常见的凑整组合： 【典型例题解析】 题目：用简便方法计算 分析：观察到 和 相乘可以得到整数 。因此，利用乘法交换律调整顺序，再利用乘法结合律优先计算。 过程： 策略二：拆分法（接近整十、整百的数） 当一个因数接近整十、整百数时，将其拆分为“整数 小数”的形式，利用乘法分配律计算。 【典型例题解析】 题目：用简便方法计算 分析： 接近 ，可以写成 。 过程： 策略三：逆用乘法分配律 当算式中有相同的因数，且另外两个因数的和或差能凑整时，逆用分配律。 【典型例题解析】 题目：计算 分析：两个乘法算式中都有因数 ，且 。 过程： 自我评量 一、选择题 1.计算 时，最简便的方法是将其转化为（ ）。 A. B. C. D. 2.下面算式中，运用了乘法分配律的是（ ）。 A. B. C. D. 3. 的结果是（ ）。 A. B. C. D. 4.下列计算错误的是（ ）。 A. B. C. D. 二、判断题 5.整数乘法的运算律对于小数乘法同样适用。（ ） 6. 运用了乘法分配律。（ ） 7. 既运用了乘法交换律，又运用了乘法结合律。（ ） 三、填空题 8.在 里填上合适的数，在 里填上运算符号。 (1) (2) (3) 9.根据运算律填空。 10.0.85×6.4＋0.85×3.6＝（____＋____）×____，这是应用了乘法的( )律。 四、计算题 11.用简便方法计算。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 五、解答题 12.每辆大车能装125包货物，每包重34.6千克，8辆大车一次可运输多少吨货物？ 13.学校食堂买来大米和面粉各 25 袋。大米每袋 50.5 千克，面粉每袋 49.5 千克。食堂一共买来粮食多少千克？（请用两种方法解答，其中一种需用简便运算） 14.小明在计算 时，是这样写的： 他的计算对吗？如果不对，请指出错误原因并给出正确过程。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $