7 小数除法中的余数问题（导学案）新五年级数学暑假自学课（沪教版·新教材）

7 小数除法中的余数问题 编者的话 亲爱的同学们，欢迎进入2026年的暑假数学自学课堂！在小数除法的学习旅程中，我们往往能准确求出商，却常在“余数是多少”这个问题上栽跟头。特别是当除数是小数时，利用商不变性质将除数转化为整数后，竖式末尾的余数究竟代表什么？是原数的余数，还是扩大后的余数？本课我们将结合生活实例，如做裙子、装大米等，深入剖析这一易错点。通过本导学案的学习，你将掌握透过现象看本质的能力，不再被竖式中的数字迷惑，精准锁定真实余数。让我们带着思考出发，攻克小数除法的最后一道关卡，为新学期打下坚实基础！ 学习目标 1.理解原理：深刻理解在小数除法中，利用“商不变性质”移动小数点后，竖式中得到的余数与原余数之间的倍数关系。 2.掌握方法：能够正确判断余数的小数点位置，掌握“余数的小数点要与被除数原来的小数点对齐”这一核心法则。 3.应用实践：能解决生活中涉及“去尾法”或“进一法”以及精确计算剩余量的实际问题，提高审题和计算能力。 知识要点 1. 核心难点解析：余数到底是多少？ 在进行小数除法竖式计算时，我们通常会将除数转化为整数。根据商不变的性质，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，但余数也会随之扩大相同的倍数。因此，竖式计算最后得到的余数，并不是原题的最终余数，必须将其缩小相应的倍数（即还原小数点位置）。 关键法则：余数的小数点位置，必须与被除数（原始数据）的小数点位置对齐。 2. 案例深度剖析 服装厂做某种款式的裙子，每条裙子用布料1.1米。一卷80米的布料最多能做多少条这样的裙子？还剩布料多少米？ 错误思维警示： 很多同学列竖式 ，将被除数和除数同时扩大10倍变成 。 竖式计算结果：商是72，余数显示为8。 如果直接回答余数是8米，那就错了！因为被除数扩大了10倍，这个“8”也扩大了10倍。 正确推导过程： (1)列式： (2)转化： 看作 进行试商。 (3)计算： （这里的8是在个位上，对应的是扩大10倍后的被除数800的个位） (4)还原余数： ①　方法一（位值原理）：原题中被除数是80（整数），除数是1.1（一位小数）。我们在竖式中把80看作80.0。当商到十分位时，余下的“8”其实位于被除数的十分位上。 ②　方法二（逆运算验证）： 。 (5)结论： 最多能做72条裙子，还剩布料 0.8 米。 图示辅助理解： 在竖式中，80除以1.1，小数点向右移动一位。 注意：竖式最下方的“8”，对应的是被除数80.0中的十分位。所以它表示8个0.1，即0.8。 自我评量 一、选择题 1.在计算 时，商是6，余数是（ ）。 A. 2 B. 0.2 C. 0.02 D. 20 【答案】 B 【详解】 ，转化为 ，商6余2。因为被除数是一位小数，余数的小数点应与被除数对齐，即0.2。或者验证： 。 2.下列算式中，余数最大的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 D 【详解】 A: B: C: D: 比较： ，故选D。 3.一根绳子长10.5米，剪成每段1.2米的小段，最多能剪几段？还剩多少米？列式正确的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 B 【详解】 （竖式余数）。因被除数有一位小数，余数应为0.9。验证： 。 4.如果 ，当A和B同时扩大10倍时，商是5，余数是（ ）。 A. 0.3 B. 3 C. 0.03 D. 30 【答案】 B 【详解】 被除数和除数同时扩大10倍，商不变，余数也扩大10倍。 。 二、判断题 5.在计算 时，竖式中的余数“3”表示3个0.1，即0.3。（ ） 【答案】 √ 【详解】在 的竖式里，余数3写在个位。原被除数3.8，小数点在8后面。扩大10倍后，38的个位对应3.8的十分位。所以余数3代表0.3。这句话是对的。 6. 的商是31，余数是1。（ ） 【答案】 × 【详解】 （竖式余数）。被除数有一位小数，余数应为0.1。验证： 。 7.解决实际问题时，余数的大小不影响商的取值，但必须准确写出余数的单位和小数点位置。（ ） 【答案】 √ 【详解】 这是基本概念，余数必须与被除数单位一致，数值准确。 8.因为 ，所以 。（ ） 【答案】 × 【详解】 。余数随被除数扩大而扩大。 三、填空题 9. （ ）。 【答案】 0.2 【详解】 。 10.，商是15，余数是（ ）。 【答案】 0.2 【详解】 。 11.在竖式计算 时，如果商是42，那么余数是（ ）。 【答案】 0.1 【详解】 ， 。 12.一个数除以0.8，商是12，余数是0.04，这个被除数是（ ）。 【答案】 9.64 【详解】 。 13. 米长的丝带，每 米剪一段，可以剪（ ）段，还剩（ ）米。 【答案】 6；0.1 【详解】 。 四、计算题 14.验算并写出余数 【答案】 商7，余0.3；商20，余0.2；商7，余0.8；商6，余0.45 【详解】 （竖式余数）。还原余数：0.3。 验算： 。 （竖式余数）。还原余数：0.2。 验算： 。 （竖式余数）。还原余数：0.8。 验算： 。 五、解答题 15.妈妈买了15.5千克苹果，准备每个袋子装2.5千克。 (1) 最多可以装满几个袋子？ (2) 还剩多少千克苹果？ 【答案】 (1) 6个； (2) 0.5千克 【详解】 (1) （竖式余数）。 因为被除数15.5有一位小数，除数2.5有一位小数，同时扩大10倍后，余数5对应的是原被除数的十分位。 所以余数是0.5。 或者： ， 。 答：最多装满6个袋子，还剩0.5千克。 16.工程队铺设管道，每根管道长3.5米，现有总长50米的管道材料。 (1) 最多能截取多少根完整的管道？ (2) 剩余材料多少米？ 【答案】 (1) 14根； (2) 1米 【详解】 。 （竖式余数）。 被除数50是整数，但在计算时看作50.0。除数3.5是一位小数。 我们将被除数和除数同时扩大10倍，变成 。 此时余数10，是扩大10倍后的余数。 所以原余数 = 。 验证： ， 。 答：最多能截取14根，剩余1米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7 小数除法中的余数问题 编者的话 亲爱的同学们，欢迎进入2026年的暑假数学自学课堂！在小数除法的学习旅程中，我们往往能准确求出商，却常在“余数是多少”这个问题上栽跟头。特别是当除数是小数时，利用商不变性质将除数转化为整数后，竖式末尾的余数究竟代表什么？是原数的余数，还是扩大后的余数？本课我们将结合生活实例，如做裙子、装大米等，深入剖析这一易错点。通过本导学案的学习，你将掌握透过现象看本质的能力，不再被竖式中的数字迷惑，精准锁定真实余数。让我们带着思考出发，攻克小数除法的最后一道关卡，为新学期打下坚实基础！ 学习目标 1.理解原理：深刻理解在小数除法中，利用“商不变性质”移动小数点后，竖式中得到的余数与原余数之间的倍数关系。 2.掌握方法：能够正确判断余数的小数点位置，掌握“余数的小数点要与被除数原来的小数点对齐”这一核心法则。 3.应用实践：能解决生活中涉及“去尾法”或“进一法”以及精确计算剩余量的实际问题，提高审题和计算能力。 知识要点 1. 核心难点解析：余数到底是多少？ 在进行小数除法竖式计算时，我们通常会将除数转化为整数。根据商不变的性质，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，但余数也会随之扩大相同的倍数。因此，竖式计算最后得到的余数，并不是原题的最终余数，必须将其缩小相应的倍数（即还原小数点位置）。 关键法则：余数的小数点位置，必须与被除数（原始数据）的小数点位置对齐。 2. 案例深度剖析 服装厂做某种款式的裙子，每条裙子用布料1.1米。一卷80米的布料最多能做多少条这样的裙子？还剩布料多少米？ 错误思维警示： 很多同学列竖式 ，将被除数和除数同时扩大10倍变成 。 竖式计算结果：商是72，余数显示为8。 如果直接回答余数是8米，那就错了！因为被除数扩大了10倍，这个“8”也扩大了10倍。 正确推导过程： (1)列式： (2)转化： 看作 进行试商。 (3)计算： （这里的8是在个位上，对应的是扩大10倍后的被除数800的个位） (4)还原余数： ①　方法一（位值原理）：原题中被除数是80（整数），除数是1.1（一位小数）。我们在竖式中把80看作80.0。当商到十分位时，余下的“8”其实位于被除数的十分位上。 ②　方法二（逆运算验证）： 。 (5)结论： 最多能做72条裙子，还剩布料 0.8 米。 图示辅助理解： 在竖式中，80除以1.1，小数点向右移动一位。 注意：竖式最下方的“8”，对应的是被除数80.0中的十分位。所以它表示8个0.1，即0.8。 自我评量 一、选择题 1.在计算 时，商是6，余数是（ ）。 A. 2 B. 0.2 C. 0.02 D. 20 2.下列算式中，余数最大的是（ ）。 A. B. C. D. 3.一根绳子长10.5米，剪成每段1.2米的小段，最多能剪几段？还剩多少米？列式正确的是（ ）。 A. B. C. D. 4.如果 ，当A和B同时扩大10倍时，商是5，余数是（ ）。 A. 0.3 B. 3 C. 0.03 D. 30 二、判断题 5.在计算 时，竖式中的余数“3”表示3个0.1，即0.3。（ ） 6. 的商是31，余数是1。（ ） 7.解决实际问题时，余数的大小不影响商的取值，但必须准确写出余数的单位和小数点位置。（ ） 8.因为 ，所以 。（ ） 三、填空题 9. （ ）。 10.，商是15，余数是（ ）。 11.在竖式计算 时，如果商是42，那么余数是（ ）。 12.一个数除以0.8，商是12，余数是0.04，这个被除数是（ ）。 13. 米长的丝带，每 米剪一段，可以剪（ ）段，还剩（ ）米。 四、计算题 14.验算并写出余数 五、解答题 15.妈妈买了15.5千克苹果，准备每个袋子装2.5千克。 (1) 最多可以装满几个袋子？ (2) 还剩多少千克苹果？ 16.工程队铺设管道，每根管道长3.5米，现有总长50米的管道材料。 (1) 最多能截取多少根完整的管道？ (2) 剩余材料多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $