精品解析：重庆市第二外国语学校2025-2026学年高三下学期考前检测数学试题

高2026级高三三诊检测数学学科试题 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 展开式中项的系数是（ ） A. B. 40 C. D. 80 3. 设为虚数单位，若，则（ ） A. 0 B. 4 C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，比较，，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 7. 在正方形中，，点在直线上满足 ，点在直线上满足 .已知 ,则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若是锐角三角形，则 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的准线方程为，则___________. 13. 已知，是两个相互独立的随机事件，且满足，，则__________． 14. 函数同时满足下列三个条件： ①定义域为，值域为； ②在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③对任意，都有． 请写出符合要求的一个的解析式________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； （2）若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 16. 如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）若是等边三角形，，平面分割三棱柱所得两部分的体积之比为，求直线与平面所成的角的余弦值. 17. （1）已知函数，求函数单调区间（为自然对数的底数）． （2）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）． （ⅰ）求的极值； （ⅱ）证明：当时，． 18. 已知椭圆：的离心率为，过点． （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026级高三三诊检测数学学科试题 考试时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得， 则，所以. 故选：A 2. 展开式中项的系数是（ ） A. B. 40 C. D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项求解即可. 【详解】的通项是 令则展开式中项的系数为 故选：A. 3. 设为虚数单位，若，则（ ） A. 0 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以，所以. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由同角三角函数基本关系的平方关系可以求出的值且，再利用 即可求解. 【详解】由得， 因为，所以，所以， 所以， 故选：A 5. 已知，，，比较，，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对数函数在定义域上单调递减， 由于，因此，即； 对数函数在定义域上单调递增， 由于，因此，即； 指数函数在定义域R上单调递减，由，因此， 综上可得. 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则 （   ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 7. 在正方形中，，点在直线上满足 ，点在直线上满足 .已知 ,则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】设，， 则由题意得，，， 则， 则. 8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得母线长，以及长度，从而确定为底面圆直径；再求三角形面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值. 【详解】因为，，故母线， 又，故，故为底面圆直径； 对三角形，设边上的高为，则其面积， 当且仅当为弧的中点时取得最大值； 故三棱锥体积. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断. 【详解】第一组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差为， 其极差为， 其中位数为：； 第二组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差， 其极差为， 其中位数为： 所以AD正确，BC错误； 故选：AD. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于以下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若是锐角三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A，利用正弦定理边角互化后结合余弦定理可以判断出B，对于选项C，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解，令，，可判断D， 【详解】对于选项A，在中，若，则，由正弦定理得，故选项A正确. 对于选项B，若，由正弦定理可得，则，则角为锐角，但不确定角，是否为锐角，故选项B不正确. 对于选项C，由于，故三角形有两解，故选项C正确. 对于选项D，锐角三角形中，，则，由于，且正弦函数在此区间单调递增， 所以，故选项D正确. 11. 对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的是（ ） A. 曲线是轴对称图形 B. 当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 C. 当时，曲线与曲线有4个交点 D. 当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 【答案】AB 【解析】 【分析】A代入判断即可；B代入参数，可得第一象限与坐标轴围成的面积范围，结合A的对称性即可判断；C代入参数，结合基本不等式可得曲线无公共点；D选项，举特例即可判断. 【详解】A选项，若满足曲线的方程，则满足曲线的方程，则曲线关于坐标轴以及原点对称，A正确； B选项，当时，曲线，在第一象限为线段，与坐标轴交于，则，，， 由二次函数可求得的取值范围为，B正确； C选项，当时，当时，曲线：， 由基本不等式可得，与不会同时成立，则无交点，C错误； D选项，当时，若，则曲线：， 在第一象限，即， 则， 当且仅当取等号， 如图，曲线在第一象限与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积2， 则曲线围成的封闭区域的面积大于8，D错误； 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线的准线方程为，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线方程得准线方程，从而求得． 【详解】抛物线的准线方程是，所以，解得． 故答案为：4 13. 已知，是两个相互独立的随机事件，且满足，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】，是两个相互独立的随机事件， 14. 函数同时满足下列三个条件： ①定义域为，值域为； ②在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③对任意，都有． 请写出符合要求的一个的解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用常见函数，写出一个符合三个条件的函数即可. 【详解】取，所以函数定义域为，值域为，满足条件①； 当时，，在此区间单调递增，且，所以也单调递增； 当时，，在此区间单调递减，且，所以也单调递减，满足条件②； 由于，满足条件③ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 （1）若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； （2）若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 【答案】（1） （2）更好 【解析】 【分析】（1）根据线性回归方程相关基本量直接计算即可； （2）根据反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断. 【小问1详解】 由题意得，， ， ，， 所以 ， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为 【小问2详解】 因为，且越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用更好. 16. 如图，在直三棱柱中，已知点，分别是棱，上的点，. （1）证明：平面平面； （2）若是等边三角形，，平面分割三棱柱所得两部分的体积之比为，求直线与平面所成的角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】本题第一问考察平面与平面垂直的判定定理，关键证明平面；第二问通过三棱锥和三棱柱的体积公式，根据体积之比得到三棱锥的高（才好求的长度或坐标），然后由于是正三棱柱，方便建立空间直角坐标系，通过计算直线向量与平面法向量的夹角余弦可以方便得到直线与平面所成角的余弦. 【小问1详解】 证明：因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为是正三角形，，所以. 又，由，， 得，故, 设与平面所成的角为; 方法一：以点为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则 ，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则取，可得， 则，所以， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 方法二：过作，垂足为，记到平面的距离为， 由（1）得平面，又平面，所以. 因为平面，平面，所以平面平面， 又因为平面平面，平面，，所以平面. 根据，得，又因为是正三角形， 所以，，的高等于, 代入得，解得， 所以，所以， 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 17. （1）已知函数，求函数单调区间（为自然对数的底数）． （2）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）． （ⅰ）求的极值； （ⅱ）证明：当时，． 【答案】（1）减区间为，增区间为. （2）（ⅰ）极小值为0，无极大值. （ⅱ）证明：因为，，所以在点处的切线方程为， 即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 【解析】 【分析】（1）利用导数求得的单调区间. （2）（ⅰ）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （ⅱ）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【详解】（1）的定义域为，， 令，解得，所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增. 所以函数的减区间为，增区间为. （2）（ⅰ），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （ⅱ）略 18. 已知椭圆：的离心率为，过点． （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）（i） 不为定值.理由如下. 设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得    得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ⅱ） 由（i）得    则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【小问1详解】 由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 如图，已知给定线段长为2，以为底边作顶角为的等腰三角形，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形……依次类推，取的腰的三等分点，（靠近），以为底边向外部作顶角为的等腰三角形，得到三角形列. （1）用表示出的外接圆半径； （2）当时，证明：各顶点均在外接圆上或其内部； （3）若各顶点均在外接圆上或其内部，求的取值范围. 【答案】（1）; （2） 设的外心为，外接圆半径为，的中点为，， 则，，. 注意到的中点也为，故的中垂线与中垂线重合. 由题意知，，均在的中垂线上. 而， ， 故. 另一方面，， 故的外接圆内切于的外接圆. 从而的外接圆各点位于的外接圆上或其内部.① 反复使用结论①可得，的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部. （3）； 【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义即可得到其半径表达式； （2）计算和的表达式，作差得，从而得到的外接圆各点位于的外接圆上或其内部，再反复使用该结论即可； （3）计算得，利用得到不等式，解出，则得到范围. 【小问1详解】 设的外接圆半径为，由题意知， ，， 又，故. 故的外接圆半径为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若满足题意，则位于在外接圆上或其内部，故. 由（2）知， ， 由题意，，即，解得. 故. 当，同上可得. 由（2）知，，共线，故，即. 故，故的外接圆位于外接圆上或其内部. 故各顶点均在外接圆上或其内部，故的范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $