精品解析：2026年河南周口市扶沟县练寺镇第二中学等校九年级中考测试模拟卷 数学

2026年九年级中考测试模拟卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 河南洛阳龙门石窟是世界文化遗产，其主佛卢舍那大佛身高约米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，，是的外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的袋子里装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，，是上直径两侧的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（　　） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. 点B的坐标为 D. 图像的对称轴为直线 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 12. 若，，则______． 13. 我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 14. 在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，那么的值为______． 15. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程及化简 （1）解方程：（用配方法）； （2）化简：． 17. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 18. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于的延长线交于点E，F， 且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 19. 某校为调查九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个物理实验的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，每人仅选一个类别，调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 类别 频数（人数） 频率 力学 24 0.3 热学 16 m 光学 n 0.25 电学 20 0.25 （1）求表中m、n的值，并补全扇形统计图（写出各圆心角度数）； （2）若九年级共有400名学生，估计参与“电学”实验的人数； （3）在“电学”实验中，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合、、可使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，用树状图或列表法求小灯泡发光的概率． 20. 某书店计划购进甲、乙两种书签，已知甲种书签的单价比乙种贵元，用元购进甲种书签的数量与用元购进乙种书签的数量相同． （1）求甲、乙两种书签的单价； （2）该书店一次性购进甲、乙两种书签共个，总费用不超过元，求最多可购进甲种书签多少个？ 21. 某数学小组开展项目式学习：从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车的设计原理和优化设计．图片是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面上，图中，和分别代表个轮子，个轮子的半径均为，点为支点，，且，拉杆． （1）求的长； （2）在使用爬梯车时，拉杆倾斜，从条件或条件这两个条件中选择一个作为已知，求把手到地面的距离的长． 条件：与的夹角；条件：点到的距离为． 22. 如图，已知抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点，对称轴为直线． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点是抛物线在轴下方图象上的一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作, 垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考测试模拟卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 河南洛阳龙门石窟是世界文化遗产，其主佛卢舍那大佛身高约米．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 根据科学记数法的表示形式可得，选项符合题意． 2. 如图，在中，，，是的外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理表示出，结合已知等量代换求出的度数，再根据外角的性质即可求得的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， 是的外角， ． 3. 一个不透明的袋子里装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率，解题关键是牢记概率公式． 直接利用概率公式计算摸到白球的概率． 【详解】解：∵ 袋中总球数为个，白球有个， ∴ 摸到白球的概率为． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式幂运算的基本法则，需要根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则，逐一判断选项． 【详解】解：A、根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，A选项不符合题意. B、根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，B选项不符合题意. C、根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，C选项符合题意. D、根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ，D选项不符合题意. 5. 若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平方数估算的取值范围，得到整数部分和小数部分，再代入代数式计算，结合选项得到结果． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分 ，小数部分 ， ． 6. 如图，，是上直径两侧的两点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由是直径求出是解题的关键；由是的直径可得，由可知，再根据圆周角定理可得的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 一架梯子的长为，梯子与地面的夹角为，则梯脚之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ， ． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点，，， ，，， ， 即菱形的边长为． 9. 已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 10. 如图，二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（　　） A. B. 当时，y随x的增大而增大 C. 点B的坐标为 D. 图像的对称轴为直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质解决问题即可． 【详解】解：A．观察图像开口向下可知，说法正确，但不符合题意； B．当时，y随x的增大而增大，说法错误，但符合题意； C．图像与x轴交于、B，关于对称，所以，说法正确，但不符合题意； D．由抛物线的解析式可知对称轴，说法正确，但不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入原方程得， 整理得， 解得． 12. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 又，， 原式． 13. 我国古代《易经》中记载了“结绳记数”的方法．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子出生后的天数．若从右起第1位打结数为3，第2位为2，第3位为1，则孩子出生后的天数为______天． 【答案】38 【解析】 【分析】由题意可知满五进一符合五进制计数规则，将各数位的打结数乘以对应数位的权重，再求和即可得到总天数． 【详解】解：根据满五进一的计数规则，从右起第位的权重为，因此总天数为： 天． 14. 在半圆中，C是直径上一点，，，点C关于弦的对称点也在上，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，轴对称图形的性质，勾股定理，连接交于E，由轴对称的性质可得，，则，再证明得到，则可求出，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于E， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 15. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程及化简 （1）解方程：（用配方法）； （2）化简：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先将常数项移到等式右边，再配方，然后开方计算即可； （2）先对括号内进行通分，利用平方差公式因式分解，然后将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据线段和差关系证明，再根据平行线的性质证明，最后根据证明全等即可． 【详解】证明：， ，即． ， ， 在和中， ， ． 18. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于的延长线交于点E，F， 且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，由垂径定理得到，由圆周角定理和已知条件证明，进而可证明，由此即可证明是的切线； （2）由垂径定理和圆的性质得到，则，解直角三角得到，，则，即可得到． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径，是的弦，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 某校为调查九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个物理实验的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，每人仅选一个类别，调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 类别 频数（人数） 频率 力学 24 0.3 热学 16 m 光学 n 0.25 电学 20 0.25 （1）求表中m、n的值，并补全扇形统计图（写出各圆心角度数）； （2）若九年级共有400名学生，估计参与“电学”实验的人数； （3）在“电学”实验中，电路图上有四个开关、、、和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合、、可使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，用树状图或列表法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1），，各圆心角分别为：力学，热学，光学，电学， 补全统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出总人数，从而即可得出、的值，再分别计算出各组的圆心角度数，补全扇形统计图即可； （2）用乘以参与“电学”实验的人数所占的比例即可得出结果； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， 故，， 力学的圆心角度数为， 热学的圆心角度数为， 光学的圆心角度数为， 电学的圆心角度数为， 扇形统计图略； 【小问2详解】 解：（人）， 故参与“电学”实验的人数为人； 【小问3详解】 解：列表可得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小灯泡发光的情况有种， ∴小灯泡发光的概率为． 20. 某书店计划购进甲、乙两种书签，已知甲种书签的单价比乙种贵元，用元购进甲种书签的数量与用元购进乙种书签的数量相同． （1）求甲、乙两种书签的单价； （2）该书店一次性购进甲、乙两种书签共个，总费用不超过元，求最多可购进甲种书签多少个？ 【答案】（1）甲元，乙元 （2）最多个 【解析】 【分析】（1）设乙的单价元，则甲的单价元，根据购买两种书签的数量相同，列分式方程求解即可； （2）设甲买了个，则乙买了个，根据总费用不超过元，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙的单价元，则甲的单价元， 根据题意可得：=， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：甲书签的单价为元，乙书签的单价为元； 【小问2详解】 解：设甲买了个，则乙买了个， 根据题意可得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为得：， 答：最多买个甲种书签． 21. 某数学小组开展项目式学习：从生活中搬重物爬楼梯的困难入手，跨学科研究三轮爬梯车的设计原理和优化设计．图片是该数学小组设计的一个爬梯车模型，有两个轮子水平放置在地面上，图中，和分别代表个轮子，个轮子的半径均为，点为支点，，且，拉杆． （1）求的长； （2）在使用爬梯车时，拉杆倾斜，从条件或条件这两个条件中选择一个作为已知，求把手到地面的距离的长． 条件：与的夹角；条件：点到的距离为． 【答案】（1） （2）条件1：；条件2： 【解析】 【分析】（1）过点作于，连接交于，由等腰三角形三线合一可得，，进而可得，由含角直角三角形的性质结合勾股定理可求得的长，即可得解； （2）过点作于，则四边形是矩形，可得的长，在解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，连接交于， 和轮子的半径均为，两圆均水平放置在地面上， 点和点到地面距离都是，平行地面， ，， ，， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则四边形是矩形， ， 选择条件：与的夹角， ， ， 把手到地面的距离． 或选择条件：点到的距离为，即， ， ， 把手到地面的距离． 22. 如图，已知抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点，对称轴为直线． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点是抛物线在轴下方图象上的一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值． 【答案】（1）直线的解析式为，抛物线的解析式为 （2）存在，点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法直接求出直线和抛物线的解析式； （2）根据对称性先确定的周长最小点的位置，即可得出坐标； （3）利用平行于轴的直线上的两点之间的距离确定出函数关系式，再根据函数的性质即可确定出最大值． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为． 将点，代入得： ，解得， 直线的解析式为； 抛物线的图象与轴的一个交点为，与轴交于点，对称轴为直线， ，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：的周长为，其中为定值，只需最小． 点、关于对称轴对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时点为直线与对称轴的交点，如图所示． 将代入直线的解析式为中得，， 点的坐标为， 即存在点，使得的周长最小，点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图， 抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，对称轴为直线， ， 点是抛物线在轴下方图象上的一动点， 设点， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，取得最大值，最大值是． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作, 垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【解析】 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $