安徽蚌埠京师实验高级中学等多校联考2025-2026学年下学期高一年级5月月考数学试卷（2）

高一5月数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.复数z=i+22+3i在复平面内对应点的坐标为 A.(-2,0) B.(0,-2) C.(-2,-2) D.(2,-2) 2.若某扇形的弧长与面积的数值相等，则该扇形的半径为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.为了得到一个偶函数的图象，可以将函数y=2sim2x+）的图象 A.向左平移亚个单位长度 B.向右平移2个单位长度 C.向左平移石个单位长度 D.向右平移个单位长度 6 4.已知aeR,则“a=0”是“复数z=a2+a+(a2-1)i为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 5.一物体在力F的作用下，由点M(-1,-2)移动到点N(1,0).已知力F=(3,4),则力F对 该物体所做的功为 A.14 B.12 C.8 D.6 数学第1页（共4页） 6.如图为四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方 形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形的两锐角分别为α，B (a<B),则sin2e。 cos2β A B- c24 .4 7.在△ABC中，BC边上的中线为AD,AD的中点为E,过点E的一条直线与AB,AC分别交于 点F,G.若A正=入A正，AC=uA元(A,4>0),则 A.入+u=1 +4 C.- D.入= 8.若a+B= 3'osa+csB-22,则cosE 2知，1+1 2 A.、22 c号 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=sinx-cosx和g(x)=√2sinx,则 A,f(x)和g(x)的图象的对称轴相同 B.f(x)和g(x)的值域相同 C.(x)和g(x)的最小正周期相同 D.f(x)和g(x)的零点相同 10.已知函数f(x)=sin(co3x),则 A.f(x)为偶函数 B.f(x)的值域为[-1,1] C.f(1)>f2) Df(x)的零点为x=m+(keZ) 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,点P在△ABC内，且满足∠PAB=∠PBC= ∠PCA=a,称点P为△ABC的布洛卡点，角a为△ABC的布洛卡角，则下列说法正确的是 A.sin∠APB=sin∠ABC B.若△AC为等边三角形，则其布洛卡角a=石 C.若PA=APB,则b2=AaC D.若a+c=2,PA=3PB,则coLABC的最小值为分 数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.已知复数z满足z(2+i)=5,则1z= 13.在△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若6=a+1,c=a+2,且cosC=-,则 △ABC的面积为 14.已知P是△ABC的重心，若BP⊥CP,则sin∠BAC的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(3,1),b=(0,1) (1)求向量a+2b与a的夹角的余弦值； (2)当k为何值时，a+kb与a+2b垂直？ 16.(15分) 如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A,且α∈(？，》将角α的终边按逆时针方向旋转开，交单位圆于点及记A(气)，B(6) (1)若名-房求： (2)分别过A,B作x轴的垂线，垂足依次为C,D,记△AOC和△BOD的面积分别为S1,S2, 若5S1=S2,求a. D 0 数学第3页（共4页） 17.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcos B+ccos A=acos(A+B) (1)求B; (2)若a=4,c=6,Ad=AAC(A∈R),AC.Bi=0,求BD. 18.(17分) 已知函数f(x）=cos2x+2√3 sin xcos x-sin2x. (1)求八x)在[-石，】]上的值域： (2)解不等式[f代x)]2+√3f(x)-6≥0： (3)若方程f代x)=1在[0,2π]上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,求x1+2x2+2x3+…+ 2xm-1+xn的值. 19.(17分) 已知函数fx)=Asin(ar+p)(4>0,o>0,lp<罗）的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； (2)设a∈(0，π)，记f八x)在[0，a]上的最小值为g(x),求g(ax); (3)设Be(0,》,若yeR,xe[y-3y+引，使得)1≥fB+)成立，求B的最 小值. 数学第4页（共4页）2 高一5月数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案C 命题透析本题考查复数的运算和几何意义. 解析因为z=i+22+3=i-2-3i=-2-2i,所以x在复平面内对应点的坐标为(-2，-2). 2.答案B 命题透析本题考查扇形的弧长与面积 1 解析设该扇形的圆心角为α，半径为r由题意可得aw=7a2,解得r=2。 3.答案A 命题透析本题考查三角函数图象的平移变换， 解析将y=2sim(2x+号)的图象向左平移五个单位长度得到y=2sin[2(x+)+]-2sin(2x+） 2cos2x的图象，y=2cos2x为偶函数. 4.答案C 命题透析本题考查纯虚数的定义和充要条件的判断. [a+a=0, 解析当a=0时，z=-i为纯虚数，故充分性成立；当z=a2+a+(a2-1)i为纯虚数时， 解得a= a2-1≠0， 0,故必要性成立.所以“a=0”是“复数z=a2+a+(a2-1)i为纯虚数”的充要条件. 5.答案A 命题透析本题考查向量在物理中的应用. 解析由题意得M=(2,2),又F=(3,4),所以力F对物体所做的功W=F·M不=14. 6.答案D 命题透析本题考查二倍角公式. 解析不妨设直角三角形的直角边分别为a,b,且a<b,则b=a+1,所以a2+b2=a2+(a+1)2=25,解得a=3 (负值合去)，所以6=4所以ma=子msa=mB=号所以es2B=1-2inB=1-2x(号)广=石 sm2a-2 sin oa-2芳则2020-头 cos 2B 7 7.答案B 命题透析本题考查平面向量基本定理 解析由题意可得心=)存+)花因为E是AD的中点，所以位=？d=4店+4记因为F,E,G三点 共线，所以A应=xA京+(1-x)AG.又因为A=入A应，AG=uA元，所以A正=入xA应+(1-x)uA元，所以 x=4 1=4 1 消去x,可得 元+ (1-x)=4 8.答案C 命题透析本题考查三角恒等变换 为cnsa+cosB-25,所以cosa+cosB=-22csac0sB,所以2cs巳es&B=-2[cos(&+ 解析因为1+1 2 2 B)+m(a-81,因为a+B-号，所以@s生=分cs(e+)-分，代人上式，得os“B-号 2 万cms(a-B,利用二倍角公式可得4ms22+5cas2B-3=0,即(cms“2B-1(25cs“B+3)-0因 2 2 为22cos&+3≠0，所以cosE_ 2 2 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案BC 命题透析本题考查三角函数的图象与性质， 解析f)=sinx-cosx=2simx-牙），作出)=sinx-cos和g()=2sinx的图象如图所示，由图可 知，A,D错误，B,C正确. 0 3π 2 T 2 10.答案ACD 命题透析本题考查三角函数的图象与性质， 解析对于A,因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cosx)=f(x),所以f(x)为偶函数，故 A正确； 对于B,令t=cosx,则te[-1,1],由正弦函数y=sint在[-1,1]上单调递增，可得f(x)的值域为[-sin1,sin1], 故B错误； 对于C1)=sin(cos1)2)=sin(cos2),因为0<1<受，号<2<m,所以0<cos1<l,-1<cos2<0,所 以f(1)=sin(cos1)>0,f(2)=sin(cos2)<0,则f(1)>f(2),故C正确； —2 对于D,令f)=in(cs)=0,可得cosx=km(keZ),又csx∈[-1,1]，所以s=0,则=km+号(k∈ Z),故D正确. 11.答案ABC 命题透析本题考查新定义及正、余弦定理的应用. 解析对于A,因为∠PAB=∠PBC,所以∠PAB+∠ABP=∠ABP+∠PBC=∠ABC,而∠PAB+∠ABP+ ∠APB=T,所以∠ABC+∠APB=T,所以∠APB=T-∠ABC,所以sin∠APB=sin(T-∠ABC)=sin∠ABC,故 A正确； 对于B,因为△ABC为等边三角形，LPMB=LPBC=∠PCM=a,所以LPB1=∠PHC=∠PCB=号-a,∠APB= ∠BPC=∠CPA= ,在△ABP巾，由正弦定理得P AB,在△APC中，由正弦定理得AP= 2T sin a 3 S所以ma=sn(行-又0<a<号，所以a=号-《，a=石故B正确： 2T sin 3 对于C,在△aBP中，snan(元-∠B0即PB AB AC "n=sn乙ABC在△APC中，s&sm(m-∠B1C),即P1- 'sin a C所以院=名×密二由正孩定理得品=产×总因为H=AB,所以A=品，即广=Aac,故C b PB c PB c 正确； 对于D,由PA=3PB,可得2=3ac,在△ABC中，由余弦定理得cs∠ABC=2+c2-&=a+c)-2ac- 2ac 2ac （a+c）-5ac因为a+02,所以cos LABC=40=G-号，因为a+c=2≥27ac,所以ac≤1，所以 2ac 2ac cos∠ABC=2-5 c之2子当且仅当a三c=1时等男成立，所以cos LABC的最小值为)，故D 错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案5 命题透析本题考查复数的模及复数的运算. 5(2-i) 解析由题可知21=2+D22-1,所以=V2+(-1)2= 13.答案 315 4 命题透析本题考查解三角形 解析由余弦定理得C-+￡_心+a+2上-十，解得a=2(负值舍去)，所以6 2ab 2a(a+1) a+12+13.又mCE,所以△4BC的面积为2 absin C2x3x53B 4 4 一3— 14答案号 命题透析本题考查解三角形. 解析设角A,B,C的对边分别为a,b,6因为P是△ABC的重心，所以励-号×2(+B成)=号(+ 成).-子×(d+)=号(d+.因为m1c印，所以成.市-g(i+d)·(+) )(B.C+BC.Cd+B.C成+B.C)=0,所以a.Ad=C.Ci+B.BC+B心，即bcos∠MC= as/B+人A6c+d(,又m∠B4c-公t4s∠ic。-公 2ac,c0s∠ACB= 兰代A(…试用+2=s.所以s∠MC2=号行+）V侣-号当 2ab 且仅当6=c时等号成立，所以cs∠BAC的最小值为号，则sin∠BAC的最大值为 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查向量的模与向量垂直的定义. 解析因为a=(3,1),b=(0,1), 所以a+2b=(3,1)+2(0,1)=(3,3).… …（2分) (1）川a+2bl=32+32=32.…(4分) 设a+2b与a的夹角为0， 则ew0-8-而万 -25 5 (7分) (2)因为a=(3,1),b=(0,1), 所以a+kb=(3,1）+k(0,1）=(3,1+k).…(9分) 因为a+kb与a+2b垂直， 所以(a+b)·(a+2b)=0,即3×3+(1+k)×3=0, 解得k=-4. (13分) 16.命题透析本题考查三角函数的定义及三角恒等变换， 解析(1)因为a∈（牙，受），所以a+平∈（受， ……………… (2分) 由题可知x1>0,y1>0,2<0,y2>0, 且名=cosu,=sinu,=coa+4）=sina+4} …(4分) 若名=子，即msa=子，则sna=-ma- 5 10 …（7分)》 (2)由适可知=之l1=方=之s in a=子 sin2a,…（9分)） s-分1g=-分5为=-2(a+n+）子(2a+号）=-子m2a,…（1分) 又5s,=S,则5 1 sin 2a=-4 cos 2c, 所以tan2a= 31 …(13分） 因为a∈（年，）所以2∈（受，， 则2ax= a-12 (15分) 17.命题透析本题考查解三角形， 解析(1)因为2 bcos B+ccosA=acos(A+B), 所以由正弦定理可得2 sin Bcos B+sin Ccos A=-sin Acos C, (2分) 则2 sin Bcos B=-(sin Ccos A+sin Acos C)=-sin(A+C)=-sinB,…(4分) 又因为sinB≠0，所以2cosB=-1, 即co=-子，所以B=于 0. (7分) (2)因为Ad=入AC,所以点D在直线AC上. 因为AC·Bd=0,所以BD⊥AC,即BD为AC边上的高. (9分) 由余弦定理可得公=心+-2aus∠ABC=4+6-2x4x6×(-）=76, 所以b=2√/19. (12分) 由等面积法可得ain∠ABC=×4C×BD,即×6x4×m120°=号×BD×2F,， 解得BD=6S7 19 …（15分) 18.命题透析本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质， 解折(1/x)=cos2x+25inx0osx-sin=月sin2x+cos2x=2sin2x+石） …(3分） 令1=2x+君，因为*[-石，]，所以1=2x+石e[-石 由正弦函数y=sini的图象可知，x)m=2sin受=2x)n=2sin-石）=-1， 故f()在[-石，]上的值域为-1,2]. (6分) (2)由[f(x)]2+5fx)-6≥0，可得f(x)≥3或fx)≤-23（舍去）. (8分) 不等式八)≥月可化为2：+君）=。 5 则2km+号≤2+石≤2m+受（eZ)解得m+≤<m+开(eZ. 所以原不等式的解集为[m+五km+keZ), …(11分） (3)作出f代x)的图象和直线y=1,如图所示， y=f(x) 11T17π 23π 12 1212 12 (13分) 令2x+石-26m+受(keZ),可得x=km+石(keZ), 6 2 令2x+名-2hm+受(keZ),可得=m+(e2). 6 由图可知，f(x)的图象与直线y=1在[0,2π]内有5个交点， 且+-2×君=号馬+=2x号-7西+-2×g-5+2×919 3 6 3 =3 所以+2，+2x+24+,=(6+）+(,+)+(6,+4+(4+名)-22知.…(17分) 3 19.命题透析本题考查三角函数的图象与性质。 解析(1)由题图可知A=10)=sino= 2, 因为<受，所以g=牙 (2分) 由五点作图法可知®×受+号=，解得如=1 所以x)=si(+} …(4分）) (2)令t=x+牙，因为xe[0,a],所以te[号a+], 当ae(0,号)时，有=+于∈[号a+][号) 由图象可得g(a)=0)=5 (7分) 当ae[骨时，有t=+号e[号a+][罗) 由图象可得g(a)=a)=sin(a+牙) 6 ae(o,） 综上所述，g()= …(10分）》 sim(a+）ae[5,m (3)因为)=sim(x+写）所以B+石）=sim（B+2）=cosB.…(11分）) 作出y=f(x)I的图象如图所示： y=lf()I 0 Y+ T 6 YyeR,3xe[y-号y+石]，使得fx)1≥osB成立，只需)l≥cosB (13分) 当B∈(0，受)时y=osB单调递减， 由x∈[y-号，y+石引，可得x在长度为(y+石）-(y-零）=2的区间上变化， 只需求出y=x)1在[y-号y+]上的所有最大值中的最小值. 如图，当区间[y-牙，y+石]关于直线x=km-号(keZ)对称时y=(x)1在[y-y+石]上的最大值 取得最小值，即为 sn(平)=sm牙-只， 所以m8≤号 (16分) 又B∈(0,2)，所以Be[年，），所以B的最小值为平 4 (17分) 一7