19.2 二次根式的乘法与除法提升训练（二） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦二次根式乘除运算，以概念辨析为基础、运算应用为核心、实际建模为延伸，构建完整知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1-3、填空9/11|考查最简二次根式判断、取值范围确定|从定义出发，强化概念本质属性| |运算应用|选择4-5、填空10、计算13|涉及代数式表示、面积计算|以乘除法则为纽带，连接概念与运算| |实际建模|选择6/8、填空12、解答14-16|海伦公式应用、车速估计、舞台设计|通过真实情境，体现运算的工具性价值|

初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第十九章） 19.2 二次根式的乘法与除法提升训练（二） （分值100分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则化简的值为(    ) A. B. C. D. 2.下列式子中，属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 3.如果，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 为任意实数 4.若，，用含，的代数式表示，则这个代数式不可以是(    ) A. B. C. D. 5.若直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 6.在解决问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是(    ) A. 只有甲对 B. 只有乙、丙对 C. 只有甲、乙对 D. 甲、乙、丙都对 7.若是整数，则正整数的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为  (    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.若是最简二次根式，则的值可以是          写出一个即可 10.团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为的长方形扇面，则这个长方形扇面的面积为          ． 11.若是最简二次根式，则整数的最小值为          ． 12.请阅读材料，并解决实际问题． 海伦约公元年，古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积这个公式称为海伦公式秦九韶约约，我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式通过公式变形，可以发现它们实质上是同一个公式，所以海伦公式也称为“海伦秦九韶公式”． 问题：在中，，，，用海伦秦九韶公式求的面积为          ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： 四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 已知，求下列代数式的值． ； ． 15.本小题分 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度在某高速公路上，所用的经验公式是，其中表示车速单位：千米时，表示刹车后车轮滑过的距离单位：米，表示摩擦系数，在这条高速公路发生的一次交通事故中，测得米，则肇事汽车的速度大约是多少？ 16.本小题分 在河南开封的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台阴影部分，其面积为，长为．   求这个舞台的宽． 为了提升舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为的装饰带，求舞台装饰后的总面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第十九章) 19.2二次根式的乘法与除法提升训练（二) (分值100分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若a=√2，b=√7，则化简 14a2 的值为() A.2 B.4 c.√7 D.V2 【答案】A 2.下列式子中，属于最简二次根式的是() A.V0.1 B月 C.√18 D.V26 【答案】D 3.如果√xVX-3=√x区-3)，那么x的取值范围是() A.x≥0 B.X≥3 C.0≤x≤3 D.x为任意实数 【答案】B 4.若a=√2，b=v5,用含a,b的代数式表示√20，则这个代数式不可以是() A.2b B.V2ab C.a"b D.ab2 【答案】D 5.若直角三角形的两条直角边长分别为v√2cm和v10cm,则这个直角三角形的面积为() A.2v5cm2 B.2v10cm2 C.√5cm2 D.10cm2 第1页，共5页 【答案】C 6.在解决问题“已知V7=a,√70=b,用含a,b的代数式表示√4.9”时，甲的结果是 a 乙的结果是器：丙的结果是沿则下列说法正确的是() 10 A.只有甲对 B.只有乙、丙对C.只有甲、乙对D.甲、乙、丙都对 【答案】D 7.若√63n是整数，则正整数n的最小值是() A.3 B.7 C.9 D.63 【答案】B 【解析】略 8.如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm的两个小正方形，余下部分的面 积为() 15 cm 24 cm A.6v 10cm2 B.12V10cm2 C.18v10cm2 D.20V10cm2 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.若√x-1是最简二次根式，则x的值可以是.（写出一个即可 【答案】3/答案不唯一 10.团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为V120元cm,宽为V30元c 的长方形扇面，则这个长方形扇面的面积为cm. 【答案】60m 11.若√2a-4是最简二次根式，则整数a的最小值为 【答案】3 第2页，共5页 12.请阅读材料，并解决实际问题， 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：如果一个三角形的三 边长分别为a,b,c,记p=,那么这个三角形的面积S-√p0一0-b0-⊙ 这个公式称为海伦公式.秦九韶（约1202一约1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用 三角形的三边求面积的秦九韶公式S= 通过公式变形，可以发现 它们实质上是同一个公式，所以海伦公式也称为“海伦-秦九韶公式”. 问题：在△ABC中，AC=5,AB=6,BC=7,用海伦-秦九韶公式求·ABC的面积 为一· 【答案】6V6 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： (1 13* 23× V3 2WDx4÷5V万 【答案】0解：原式尽+×昼层+× (a)原式-2W5×÷5V×晋3 1020 四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题14分) 已知a=√5+2，b=√-2，求下列代数式的值. (1)a2-b2; (2)a2+b2+ab. 【答案】(1)8v5(2)19 【解析】解：(1)a=V5+2,b=V⑤-2， ·a+b=V5+2+V5-2=2V5,a-b=V5+2-√5+2=4， a-b2=(a+b)a-b)=4V5×4=8v√5； 第3页，共5页 (2):a=V5+2,b=V5-2, a+b=V5+2+V√5-2=2V5,ab=(W5+2)(W5-2)=1 原式=(a+b)-ab =20-1 =19, (1)首先求出a+b=2√5，a-b=4,根据平方差公式将原式整理 成a2-b=(a+b)(a-b),再根据二次根式的运算法则计算即可求解： (2)首先求出ab=(W5+2)(√5-2)-1，根据完全平方公式将原式整理成a2+b2+ab= (a+b)-ab,再根据二次根式的运算法则计算即可求解. 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解 题的关键。 15.(本小题14分) 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度.在某高速公路上，所用的 经验公式是v2=256(f+1),其中v表示车速（单位：千米时），d表示刹车后车轮滑过的 距离（单位：米），f表示摩擦系数，f=1.25.在这条高速公路发生的一次交通事故中，测得 d=28米，则肇事汽车的速度大约是多少？ 【答案】解：v>0,当f=1.25,d=28时，v=256(df+1)= √256×(28×1.25+1)=V256×36=V256×V36=16×6=96.答：肇事汽车的速度大 约是96千米时. 第4页，共5页 16.(本小题14分) 在河南开封的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台（阴影部分），其面积为 80m2,长为V128m (1)求这个舞台的宽. (2)为了提升舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为V2的装饰带，求舞台装饰后的 总面积. (1)解：80÷√128=V√50=5√2(m) 答：这个舞台的宽是5√2m (2)解：(V128+2W2(√50+2V2) =(8V2+2V2)(5V2+2V2 =10V2×7√2=140(m2) 答：舞台装饰后的总面积是140m2 第5页，共5页初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第十九章) 19.2二次根式的乘法与除法提升训练（二) (分值100分，限时40分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若a=√2，b=√7，则化简 14a3 的值为() A.2 B.4 c.√7 D.V2 2.下列式子中，属于最简二次根式的是() A.0.1 C.V18 D.V26 3.如果√x·Vx-3=√x(x-3),那么x的取值范围是() A.x≥0 B.x≥3 C.0≤x≤3 D.x为任意实数 4.若a=√2，b=√5，用含a,b的代数式表示√20，则这个代数式不可以是() A.2b B.v2ab C.a2b D.ab2 5.若直角三角形的两条直角边长分别为V2cm和v10cm,则这个直角三角形的面积为() A.2v5cm2 B.2v10cm2 C.v5cm2 D.v√10cm2 6.在解决问题“已知V7=a,√70=b,用含a,b的代数式表示V4.9”时，甲的结果是 总乙的结果是号，丙的结果是沿则下列说法正确的是() A.只有甲对 B.只有乙、丙对C.只有甲、乙对D.甲、乙、丙都对 第1页，共4页 7,若√63n是整数，则正整数n的最小值是() A.3 B.7 C.9 D.63 8.如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm和24cm的两个小正方形，余下部分的面 积为() 15 cm 24cm1 A.6v10cm2 B.12V10cm2 C.18V10cm2 D.20v10cm2 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9若√x-1是最简二次根式，则x的值可以是（写出一个即可） 10.团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为V120mcm,宽为v30元cm 的长方形扇面，则这个长方形扇面的面积为cm. 11.若√2a-4是最简二次根式，则整数a的最小值为， 12.请阅读材料，并解决实际问题. 海伦（约公元50年），古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：如果一个三角形的三 边长分别为a,b,c,记p=,那么这个三角形的面积S=√pp-0-b)p-⊙ 这个公式称为海伦公式.秦九韶（约1202一约1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用 三角形的三边求面积的秦九韶公式$= -(门通过公式变形，可以发现它 们实质上是同一个公式，所以海伦公式也称为“海伦-秦九韶公式”. 问题：在△ABC中，AC=5,AB=6,BC=7,用海伦-秦九韶公式求△ABC的面积 为 第2页，共4页 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： ②Nax ÷5万 四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题14分) 已知a=v√5+2，b=√5-2，求下列代数式的值. (1)a2-b2; (2)a2+b2+ab. 第3页，共4页 15.(本小题14分) 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度.在某高速公路上，所用的 经验公式是v2=256(df+1),其中v表示车速（单位：千米时），d表示刹车后车轮滑过的 距离（单位：米），f表示摩擦系数，f=1.25在这条高速公路发生的一次交通事故中，测得 d=28米，则肇事汽车的速度大约是多少？ 16.(本小题14分) 在河南开封的清明上河园景区，有一个用于表演豫刷的长方形舞台（阴影部分），其面积为 80m2,长为V128m (1)求这个舞台的宽. (2)为了提升舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为V2的装饰带，求舞台装饰后的 总面积. 第4页，共4页 初二数学下学期阶段测试（人教版新课标第十九章） 19.2 二次根式的乘法与除法提升训练（二） （分值100分，限时40分钟） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，，则化简的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.下列式子中，属于最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  3.如果，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 为任意实数 【答案】B  4.若，，用含，的代数式表示，则这个代数式不可以是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.若直角三角形的两条直角边长分别为和，则这个直角三角形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  6.在解决问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是(    ) A. 只有甲对 B. 只有乙、丙对 C. 只有甲、乙对 D. 甲、乙、丙都对 【答案】D  7.若是整数，则正整数的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 8.如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 9.若是最简二次根式，则的值可以是          写出一个即可 【答案】答案不唯一  10.团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为，宽为的长方形扇面，则这个长方形扇面的面积为          ． 【答案】  11.若是最简二次根式，则整数的最小值为          ． 【答案】  12.请阅读材料，并解决实际问题． 海伦约公元年，古希腊几何学家，利用三角形的三边求面积：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积这个公式称为海伦公式秦九韶约约，我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式通过公式变形，可以发现它们实质上是同一个公式，所以海伦公式也称为“海伦秦九韶公式”． 问题：在中，，，，用海伦秦九韶公式求的面积为          ． 【答案】  三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.计算： 【答案】(1)解：原式===.  (2)原式=5==  四、解答题：本题共3小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 已知，求下列代数式的值． ； ． 【答案】    【解析】解：， ，， ； ， ， 原式 ． 首先求出，，根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； 首先求出，根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 15.本小题分 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度在某高速公路上，所用的经验公式是，其中表示车速单位：千米时，表示刹车后车轮滑过的距离单位：米，表示摩擦系数，在这条高速公路发生的一次交通事故中，测得米，则肇事汽车的速度大约是多少？ 【答案】解：，当，时，答：肇事汽车的速度大约是千米时．  16.本小题分 在河南开封的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台阴影部分，其面积为，长为．   求这个舞台的宽． 为了提升舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为的装饰带，求舞台装饰后的总面积． (1)解：. 答：这个舞台的宽是.  (2)解： . 答：舞台装饰后的总面积是.  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $