第12章《定义 命题 证明》章节复习题 - 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 初中数学第12章《定义 命题 证明》单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，全面覆盖命题相关核心知识，适配单元复习需求，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|命题定义（如第1题）、题设与结论（第2题）、真命题判断（第3题）、反证法假设（第6题）|结合社会热点（如《飞驰人生3》情境），辨析易混概念| |填空题|8题/32分|命题改写（第12题）、反例构造（第13题）、逆命题（第14题）、反证法假设（第15题）|聚焦基础技能，强化命题要素理解| |解答题|6题/58分|命题组成与证明（第19题）、反证法应用（第20题）、几何推理（第21题）、新定义探究（第24题“异差数对”）|综合考查推理能力，设置新定义题型，衔接中考命题趋势|

第12章《定义 命题 证明》章节复习题 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 2．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 3．下列语句中，是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若，则 D．对于直线a，b，c，如果，，那么 4．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．下列说法正确的是（   ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．原命题与逆命题同为真命题或同为假命题 D．定理的逆命题是真命题 6．用反证法证明“在∆ABC中，若，则”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 7．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 8．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 9．下列命题是真命题的是（   ） A．数轴上距离原点越远的数越大 B．坐标轴上的点不属于任何象限 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 10．下列命题中真命题的个数有（   ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④不是对顶角的角不相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 12．将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 13．说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 14．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 15．用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于”时，应假设_________． 16．写出一对互逆定理：__________． 17．命题“等角的补角相等”是一个_______________（填“真命题”或“假命题”）． 18．能说明命题“若，，则”是假命题的一组实数、的值为______，______． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）如图，直线，相交于点．已知条件：①平分；②平分；③． （1）选择两个条件作为题设，另外一个条件作为结论组成一个真命题，并证明； （2）在（1）的条件下，若，求的值． 20．（本小题满分8分）已知实数a、b、c、m、n满足，． （1）当时，求证：； （2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 21．（本小题满分10分）如图，，，．求的度数． 22．（本小题满分10分）如图，已知，．现有2个条件：①；②． （1）请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） （2）证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 23．（本小题满分10分）探究与证明 【推理证明】 （1）如图，，垂足为， ，垂足为，，求证． 请补全下面的证明过程． 证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）． ∴ （________________________）． ∴ （两直线平行，同位角相等）． 又∵ （已知）， ∴ （ ）． ∴ （________________________）． 【拓展证明】 （2）若把（1）中的题设“”与结论“”对调，其他条件不变，所得命题是真命题还是假命题？若是真命题，则仿照（1）写出证明过程；若是假命题，则请举出反例． 【迁移应用】 （3）如图，有下列四个条件：，，，．从中选出三个作为题设，另一个作为结论，构成命题，其中，有 个真命题． 24．（本小题满分12分）定义：对于任意两个实数a、b，若满足，则称数对为异差数对． 观察例子： 当，时，，，，则数对为异差数对． （1）验证：判断数对是否为异差数对； （2）推理证明：当时，数对一定是异差数对； （3）判断命题：“若是异差数对，则”是真命题还是假命题？若是真命题，请写出理由；若是假命题，请举出恰当反例． 参考答案 一、选择题 1．D 解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 2．D 解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 3．D 解：A．相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题； B．只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此B是假命题； C．若，则或，例如满足但，因此C是假命题； D．根据平行线的性质，平行于同一直线的两条直线互相平行，因此若，，则，D是真命题． 4．B 解：A、，，则，不能说明这个命题是假命题； B、，，则，能说明这个命题是假命题； C、，不符合条件，不能说明这个命题是假命题； D、，，不符合条件，不能说明这个命题是假命题． 5．A 解：根据定义，交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 任意命题都可以写成“如果…那么…”的形式，都能交换题设和结论得到逆命题，故每个命题都有逆命题，选项A正确． 定理是经过证明的真命题，只有定理的逆命题也是真命题时，原定理才有逆定理；若逆命题为假，原定理没有逆定理，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，原定理没有逆定理，因此B错误． 原命题的真假和逆命题的真假没有必然关系，原命题为真时逆命题可以为假，例如“对顶角相等”原命题为真，逆命题为假，因此原命题与逆命题不一定同真同假，C错误． 定理的逆命题既可能是真命题也可能是假命题，因此D错误． 6．D 解：由题意得，应先假设； 故选：D． 7．C 解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 8．A 解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 9．B 解：A．∵数轴上原点左侧的负数，距离原点越远，数值越小，∴A是假命题． B．根据平面直角坐标系的定义，坐标轴上的点不属于任何象限，∴B是真命题． C．∵只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，命题未给出两直线平行的前提，∴C是假命题． D．∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫作点到直线的距离，距离是长度不是垂线段本身，∴D是假命题． 10．A 解：① 该命题未限定“在同一平面内”，该结论仅在同一平面内成立，因此原命题是假命题； ② 只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少条件，因此是假命题； ③ 只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原命题缺少条件，因此是假命题； ④ 两个相等的同位角，不是对顶角但相等，因此原命题是假命题； ∴ 四个命题均为假命题，真命题的个数为0. 二、填空题 11．乙 解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 12．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 解：命题“对顶角相等”中，题设为两个角是对顶角，结论为这两个角相等， 因此改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 13．（答案不唯一） 解：当时，满足，此时，不满足， 故反例可以是． 14．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 15．每一个内角都大于 解：第一步应假设结论不成立，即每一个内角都大于． 故答案为：每一个内角都大于． 16．两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 解：举例：原定理为“两直线平行，同位角相等”，其逆命题为“同位角相等，两直线平行”， 该逆命题已被证明为真命题，因此二者是一对互逆定理． 17．真命题 解：设这两个角分别为和，且； 根据等式的性质可得，即等角的补角相等， 故原命题是真命题． 18． 2（答案不唯一） 1（答案不唯一） 解：当，时，，，， 此时满足，，但，则命题是假命题． 三、解答题 19．（1）解：题设：①②；结论：③；（或题设：①③；结论：②；或题设：②③；结论：①） 证明：∵平分，平分， ∴，． ∴， ∴； 题设：①③；结论：②； 证明：∵平分， ∴， ∴； ∴，， ∴，即平分， 题设：②③；结论：①，同理可证． （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 21． 解：如图，延长交于点M． ， ， ． 又， ． 22．（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 23．（1）证明：∵ ，（已知）， ∴ （垂直的定义）， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）， 又∵ （已知）， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）； （2）解：真命题，理由如下： ∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解： 在（1）中已经证明，条件：①②④，结论：③，为真命题； 在（2）中已经证明，条件：①②③，结论：④，为真命题； 条件：②③④，结论：①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 条件：①③④，结论：②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此命题为真命题； 综上可知，共4个真命题． 24．（1）解：∵，，， ∴数对是异差数对． （2）证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 即数对一定是异差数对． （3）解：该命题是假命题． 由（2）的结论可知，当时，数对也可以是异差数对，因此原命题不成立． 举反例：数对是异差数对，其中，，满足是异差数对，但，不满足，原命题是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $