第12章《定义 命题 证明》复习题--证明与定理-- 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦命题与证明核心概念，通过基础辨析、中档转化、提升论证三层设计，构建“概念理解-关系转化-逻辑推理”的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|命题定义、真假判断、必然事件|选择题1-2、填空题9-11，通过辨析语句是否为命题、判断事件类型，强化抽象能力| |中档|逆命题关系、命题改写|选择题3、5，填空题10-13，结合具体命题转化与逆命题真假分析，发展推理意识| |提升|反证法应用、综合证明|选择题7、16，解答题17-20，通过补全反证法步骤、证明数的性质，培养逻辑推理与数学表达能力|

第12章《定义 命题 证明》复习题--证明与定理 一、选择题 1．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．同角的余角互余 D．平行于同一条直线的两条直线平行 3．已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 5．下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 6．下列命题中：①内错角相等，两直线平行；②相等的角是对顶角；③垂线段最短；④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 8．下列语句中真命题有（    ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③两点之间线段最短； ④对顶角相等； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 10．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 11．命题“如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是_____命题．（填“真”“假”） 12．命题“若，那么”的逆命题是______． 13．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 14．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为______，______． 15．给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 16．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“已知∆ABC，，则”时，应假设：______． 三、解答题 17．说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 18．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” （1）写出命题的题设和结论； （2）直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 19．反证法是数学证明的一种重要方法．请将下面运用反证法进行证明的过程补全． 已知：在∆ABC中，．求证：． 证明：假设_____________________． ∵， ∴， ∴， 这与_______________________． ∴_______________________不成立． ∴ 20．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． ∵2p2是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 参考答案 一、选择题 1．D 解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 2．D 解：A选项中，相等的角不一定是对顶角，该事件不一定发生，是随机事件，不符合要求； B选项中，只有两直线平行时同位角才相等，该事件不一定发生，是随机事件，不符合要求； C选项中，根据同角的余角相等，选项所述‘同角的余角互余’，即两个等于的角相加等于，只有当原角时成立，故该事件不一定发生，是随机事件，不符合要求； D选项中，根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线一定平行，该事件一定发生，是必然事件，符合要求． 3．D 解：①原命题：若，，则．原命题为真命题． 逆命题若，则，． 反例：，，，但，逆命题为假命题． ②原命题：若，则． 反例：，，，但，原命题为假命题． ③原命题：两直线平行，同位角相等．原命题为真命题． 逆命题：同位角相等，两直线平行．逆命题为真命题． ④原命题：对顶角相等．原命题为真命题． 逆命题：相等的角是对顶角．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角，逆命题为假命题． 综上，原命题与逆命题均为真命题的个数是． 4．D 解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 5．A 解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 6．C 解：①内错角相等，两直线平行，是平行线的判定定理，是真命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行同位角相等，但这两个同位角不是对顶角，因此该命题是假命题； ③垂线段最短，是垂线的性质，是真命题； ④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是平行公理，是真命题； 综上，真命题共有3个． 7．D 解：与的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“不小于”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 8．B 解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，因此①是假命题； ②只有两直线平行时，内错角才相等，缺少平行的前提条件，因此②是假命题； ③两点之间线段最短是线段公理，因此③是真命题； ④对顶角相等是正确的性质，因此④是真命题； ⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，符合平行线的判定，因此⑤是真命题． ∴真命题共有3个， 故选:B． 二、填空题 9．3 解：①对顶角相等，是真命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题． 综上，真命题共有个． 10．如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 11．假 解：举反例，例如， 能被整除，即， 不能被整除，即， 该数满足命题的题设，不满足命题的结论，因此原命题是假命题． 12．若，那么 解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 13．同位角相等，两直线平行 解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 14． （答案不唯一） （答案不唯一） 解：当，时，满足条件，此时，，且，故不满足，故可以说明该命题是假命题． 15．③ 解：①一个角的余角不一定大于这个角， 反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与是对顶角， 反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题. 故答案为③ 16． 解：本题要证明的结论是，其反面是， ∴应假设． 三、解答题 17． 解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数． 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 18．（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）解：命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 19．证明：假设 ∵， ∴， ∴， 这与三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾． ∴此假设不成立． ∴， 故答案为：；三角形内角和定理或三角形的内角和等于相矛盾；此假设． 20． 解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． ∵2p2是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 学科网（北京）股份有限公司 $