12.4 第3课时 反证法-【拔尖特训】2025-2026学年七年级下册数学（苏科版）

拔尖特训·数学（苏科版）七年级下 第3课时 自基础进阶 1.命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两 条直线互相平行”，用反证法证明时，下列各 项中，最终推出与之矛盾的是 () A.两点确定一条直线 B.在同一平面内，过一点与已知直线垂直的 直线只有一条 C.过直线外一点与已知直线平行的直线只 有一条 D.垂直的定义 2.用反证法证明“等腰三角形的底角小于90” 时，第一步应假设 A.底角大于90° B.底角等于90° C.底角小于90 D.底角大于或等于90 3.能作为命题“若a2>4,则a>2”是假命题的 反例的是 () A.a=3B.a=0C.a=-3D.a=2 4.用反证法证明：“在△ABC中，已知∠B ∠C,则AB≠AC”,应首先假设 5.在用反证法证明“一个三角形中不能有两个 角是直角”时，第一步应该假设 6.命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角， (1)写出这个命题的逆命题， (2)判断这个逆命题是真命题还是假命题， 如果是假命题，请举一个反例. 126 拍照批改 反证法 “答案与解析”见P45 幻素能攀升 7.用反证法证明命题“四边形中至少有一个角 不是锐角”时，应先假设 A.设有一个角是钝角或直角 B.至多有一个钝角或直角 C.没有一个角是锐角 D.没有一个角是钝角 8.用反证法证明“若ab=0,则a,b中至少有一 个为0”时，第一步应假设 () A.a=0,b=0 B.a≠0，b≠0 C.a≠0，b=0 D.a=0,b≠0 9.用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平 行”时，第一步应假设 A.两直线不平行B.同旁内角不互补 C.同旁内角相等 D.同旁内角不相等 10.用反证法证明“已知a<b,b<c.求证：a< c.”第一步应先假设 11.(2025·北京西城期中)写出能够说明命题 “如果a>b+1,那么a>b2+1”是假命题 的一组反例：a= ,b= 12.用反证法求证：三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角的和. 答案讲解 13.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补 已知：如图，l1亿2，l1,l2都被13所截。 求证：∠1+∠2=180°. 证明：假设∠1十∠2 180°. l12, .∠1 ∠3. .∠1+∠2 180°， .∠3+∠2≠180°，这和 矛盾 ∴.假设∠1+∠2 180°不成立，即 ∠1+∠2=180°. (第13题) 14.如图，AB∥CD,求证：∠B+∠E+∠D= 360°（要求用反证法证明） B (第14题) 第12章定义命题证明 思维拓展 15.易错题举反例说明“一个角的余角大于这 个角”是假命题，错误的是 () A.设这个角是45°，它的余角是45°，但 45°=459 B.设这个角是30°，它的余角是60°，但 30°<60° C.设这个角是60°，它的余角是30°，但 30°<60° D.设这个角是50°，它的余角是40°，但 40°<50° 16.能否在如图所示的四个圆圈内填 入4个互不相同的数，使得任意两 个圆圈中所填的数的平方和等于答案讲解 另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能， 请填出一组数；如果不能，请说明理由， (第16题) 127.x=2a-30° ∴.∠AEB=∠CAE+∠ACB=a+ 180°-2.x=240°-3a. ∴.∠B=180°-a-(240°-3a)= 2a-60. ①当∠BAE与∠B互为“开心角” 1 时，∠BAE=2∠B或∠BAE= 2∠B. 若∠BAE=2∠B,则a=(2a 60),无解，不合题意； 若∠BAE=2∠B,则a=2(2a-60°)， 解得a=40°」 ②当∠BAE与∠AEB互为“开心 角”时，∠BAE=子∠AEB或 ∠BAE=2∠AEB ,∠AEB=∠EAC+∠ACE, ∠EAC=∠BAE .∠BAE=2∠AEB舍去 ·∠BAE=2∠AEB,即a= 号(240-a).解得6=48 综上所述，a的度数为40或48°， 第2课时多边形的内角和、 外角和定理 1.B2.C 3.(1)60°，80°，100°，120°(2)720 4.(1)150°(2)12 5.由题图，可知70十x十(x一10)+ x+(x+20)=(5-2)×180,解得 x=115. 6.B 7.A解析：，五边形ABCDE是正 五边形，.∠B=∠BAE (5一2)×180=108.由翻折的性质， 可知∠BAB'=∠EAB'= 2∠BAE=54,∠BAF=∠BAF 1 号∠BAB=2,∠APB=∠AFB 在△ABF中，∠AFB=180°-108° 27°=45°..∠AFB'=∠AFB=45°. 8.108 9.360°解析：如图.由三角形内角 和定理的推论，可知∠1=∠D十 ∠F,∠2=∠A+∠E...∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ∠B+∠C+∠1+∠2=360°. (第9题) 10.36 11.(1)设该多边形的边数是. 由题意，得(n-2)X180°=360°X2 180°，解得n=5. ∴.该多边形的边数是5. (2)截去一个角， '.截完后所形成的新多边形的边数 可能是4或5或6. ①当新多边形为四边形时，其内角和 为(4-2)×180°=360°： ②当新多边形为五边形时，其内角和 为(5-2)×180°=540°： ③当新多边形为六边形时，其内角和 为(6-2)×180°=720 综上所述，截完后所形成的新多边形 的内角和为360°或540或720° 12.(1)140. (2)四边形DBCE是“等对角四边形” 理由：在△ABC中，∠B=90, ∠A=40°， '.∠C=180°-∠A-∠B=50° ∠ADE=50°， .'.∠AED=90°，∠BDE=130 ∴.∠DEC=90. '.∠DEC=∠B,且∠BDE≠∠C ∴四边形DBCE是“等对角四边形” 13.(1)∠B+∠ADC=180, ∠A+∠B+∠BCD+∠ADC= 360°， ∴.∠A+∠BCD=180°. ∠A=50°， .∠BCD=130. .CE平分∠BCD ·∠CE=g∠BCD=65 45 ∠B=85, ∴.∠BEC=180°-∠BCE-∠B= 180°-65°-85°=30° (2)由(1)，知∠A+∠BCD=180°， ∴.∠A+∠BCE+∠DCE=180. :∠CDE+∠DCE+∠1=180°， '.∠A+∠BCE=∠CDE+∠1. CE平分∠BCD, ..∠DCE=∠BCE. ,∠CDE=∠DCE, '.∠BCE=∠CDE .∠A=∠1. 14.(1)61. (2)∠D=140°，CE∥AD, ∴.∠D+∠DCE=180. .∠DCE=180°-140°=40. ,CE平分∠BCD, .∠BCD=2∠DCE=80°. 又，∠A=98°， ∴.∠B=360°-∠A-∠D- ∠BCD=360°-98°-140°-80°=42° (3)∠A=98,∠D=140°，∠A+ ∠ABC+∠BCD+∠D=360°， .∠ABC+∠BCD=360°-98° 140°=122 .∠ABC和∠DCB的平分线交于 点E, ·∠EBC=Z∠ABC,∠BCE= 2∠BCD. ·∠EBC+∠BCE=(∠ABC+ ∠BCD)=7X122°=619 :∠BEC+∠EBC+∠BCE=180, ∴.∠BEC=180°-61°=119°. 第3课时反证法 1.B 2.D 3.C 4.AB=AC 5.一个三角形中有两个角是直角 6.(1)互补的两个角一定是一个锐 角和一个钝角， (2)假命题 反例：两个角都是直角. 7.A8.B9.A10.a≥( 11.答案不唯一，如0一2 12.已知：如图，∠ACD是△ABC的 一个外角 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：假设∠ACD≠∠A十∠B. ∴.∠ACD≠180°-∠ACB. 又，∠ACD+∠ACB=180°，即 ∠ACD=180°-∠ACB, 假设不成立 .∠ACD=∠A+∠B. (第12题) 13.≠=≠平角为180°≠ 14.假设∠B十∠E+∠D≠360， 延长BE交CD的延长线于点F,G 为DF的延长线上的点」 AB//CD, .∠B=∠EFG」 ∴.∠BED+∠CDE+∠EFG≠ 360°，这与多边形的外角和等于360° 矛盾。 .∠B+∠BED+∠CDE=360 15.B解析：由题意可知，所举的反 例需满足该角的余角小于或等于这个 角.选项A,所设的角与它的余角相 等，故选项A正确，不符合题意.选项 B,所设的角小于它的余角，故选项B 错误，符合题意.选项C,所设的角大 于它的余角，故选项C正确，不符合 题意.选项D,所设的角大于它的余 角，故选项D正确，不符合题意 易错警示 未举出恰当的反例导致错误 解决这类说明一个命题是 假命题的问题时，常常会出现 所举的反例不符合条件导致解 题错误的情况.解题时要注意 提出与命题结论相反的结论， 本题中所举的反例需满足该角 的余角小于或等于这个角，再 进行推理、判断 16.不能 理由：假设能 如图，设所填的互不相同的4个数为 a,b,c,d a2+c2=b2+d2①， .a2+d2=c2+b2@, a2+b2=c2+d③. ①-②，得c2-d=d2-c2. .c2=d2. c≠d, .c=-d. 同理，可得c=-b. ∴.b=d,与已知条件b≠d矛盾. .不能。 (第16题) 专题特训十一三角形内、 外角平分线的夹角问题 1.PE⊥AD .∠EPD=90° ∠E=25°， ∴.∠ADC=180°-∠EPD-∠E= 180°-90°-25°=65° 在△ACD中，∠ACD=85°， ∠ADC=65°， ∴.∠CAD=180°-∠ACD ∠ADC=180°-85°-65°=30. AD平分∠BAC, .∠BAC=2∠CAD=2X30=60. 在△ABC中，∠BAC=60°， ∠ACB=85, ∴.∠B=180°-∠BAC-∠ACB= 180°-60°-85°=35 2.(1)∠A+∠B+∠AOB=180°， .∠A+∠B=180°-∠AOB 同理，得∠C+∠D=180°-∠COD, 又.·∠AOB=∠COD, ∴.∠A+∠B=∠C+∠D 46 (2)①由(1)知，∠BAP+∠B= ∠BCP+∠P,∠DAP+∠P= ∠PCD+∠D, ∴.∠BAP-∠BCP=∠P-∠B, ∠DAP-∠PCD=∠D-∠P. 又：AP,CP分别平分∠BAD, ∠BCD, ∴.∠BAP=∠DAP,∠BCP=∠PCD. ∴.∠BAP-∠BCP=∠DAP-∠PCD. ∴∠P-∠B=∠D-∠P. ∴∠P=∠D+∠B 2 又.∠B=36,∠D=16°， ÷∠P-36,16=26. 2 ®∠P=∠D+∠B 2 3.(1)114:24.解析：∠A=48°， ∠B=62°，∴.∠ACB=180°-∠A ∠B=180°-48°-62°=70°.CP平 分∠ACB,∴.∠BCP=∠ACP= 3∠ACB=2×70=35.:DE/ 1 BC,∴.∠ADE=∠B=62°， ∠PGD=∠BCP=35.,DP平分 1 ∠ADE,·.∠PDG=Z∠ADE= 合×62=3.∠DPC=18N ∠PDG-∠PGD=180°-31°-35°= 114°..∠QP℃=180°-114°=66. CQ平分∠ACF,∴.∠ACQ= 3∠ACR:∠ACP=合∠ACB, ∠ACB+∠ACF=180°，∴.∠ACP+ ∠ACQ=90°，即∠PCQ=90. ∴.∠Q=90°-∠QPC=90° 66°=24°. (2)不变. ∵∠A=m, .∠ACB+∠B=180°-m. .DE∥BC, ∴.∠ADE=∠B,∠PGD=∠PCB. DP平分∠ADE,CP平 分∠ACB,