重难点03 概率统计中的交汇与综合问题（数列递推、函数交汇、比赛问题、决策问题6大核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高二选修第二册

**基本信息** 聚焦概率统计与递推关系、函数、比赛策略等交汇点，以问题链构建“递推建模-函数应用-决策优化”三阶方法体系，强化数学思维与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一阶线性递推|6题|递推公式构造、等比数列转化|从基础概率递推到复杂情境迁移| |二阶线性递推|6题|二阶递推关系建模、通项公式推导|递推关系从一阶到高阶的深化| |概率与函数交汇|5题|函数建模、导数求最值|概率问题转化为函数优化问题| |比赛问题|7题|分步概率计算、胜负策略分析|比赛规则转化为概率模型| |决策问题|6题|期望比较、方案优化|以期望为核心的决策分析| |新定义问题|6题|新概念理解、模型应用|新情境下概率统计知识迁移|

重难点03 概率统计中的交汇问题 考点01 一阶线性递推关系 考点05概率统计中的决策问题 专题02 二阶线性递推关系 考点06概率统计中的新定义问题 专题03 概率统计与函数的交汇 专题04 概率统计中的比赛问题 考点01 一阶线性递推关系 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）某公司有三个部门：甲部门、乙部门、丙部门．新入职员工小张第1个月在甲部门工作．此后每个月，该员工会等可能地轮岗到另外两个部门中的一个（即从当前部门调往另一个部门，不会留在原部门）．记为经过次调动后（即第个月末）该员工在甲部门的概率，则下列选项中正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第5次调动后在甲部门的不同调动方式共有10种 【答案】D 【分析】根据等可能轮岗可知去另外两个部门中的每一个概率均为，根据第n次调动结果在甲，即可确定第的位置一定不在甲，故概率为，从而得到与的关系式，利用数列的通项写出的解析式，判断即可． 【详解】由题意可知，要使得次调动后在甲部门，则第次必定不在甲部门， 所以，即， 因为，则，，所以， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B错误； 则，即， 对于A，，故A错误； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第5次调动后在甲部门，则第4次调动后必不在甲部门， 设甲，乙，丙对应于，，，则不同的调动方式有： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥， ⑦， ⑧， ⑨， ⑩，故共有10种情况，故D正确． 2．（多选）（25-26高二下·河南·期中）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（   ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【分析】根据题意可得，直接求出即可判断A；利用条件概率求出即可判断B；对于C，利用构造法即可判断C；对于D，结合C的结论即可得到，再利用等比数列前项和公式求解即可． 【详解】由已知得第次分类正确的概率为 ， 对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，则不是等比数列，故C错误； 对于D，由C项知，，， 所以数列的前n项和为，故D正确． 3．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为，则数列的通项公式为_______________. 【答案】 【分析】由题意可得，当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为，则没有“黑币”的概率为，进而得到，可得，进而结合等比数列求解即可. 【详解】由题意得； 当时，设有甲钱包恰有两枚“黑币”的概率为，则没有“黑币”的概率为， 则， 故. 又，故是为首项，为公比的等比数列， 则，即. 4．（25-26高二下·江西吉安·期中）一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的3个小球，其中包含1个红球，2个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数． (1)求； (2)求的分布列； (3)证明数列为等比数列，并求． 【答案】(1) (2)的分布列为 1 2 3 P (3)证明见解析， 【分析】（1）根据古典概型概率公式求解； （2）求出的所有可能取值及概率，即可求出分布列； （3）先求出和的分布列，可得，变形可得，然后利用等比数列定义证明，进而利用等比数列通项公式求解即可． 【详解】（1）由题意可知摸一次球后盒子中有2个红球即为摸到黑球， 故． （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， 故的分布列为 1 2 3 P （3）设的分布列为 1 2 3 P 其中，且， 而，，， 所以的分布列为 1 2 3 P 所以 ， 即，而， 所以数列为等比数列， 所以，故． 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）运用全概率公式计算即可 （2）设第n天选择B餐厅的概率，与通过全概率公式得到有关概率的递推公式，变成数列问题，配凑即可证明. 【详解】（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”， 根据题意可知：， ，. 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. （2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 则， 整理得 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 6.（25-26高二下·辽宁大连·期中）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市，从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案，，的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）在研发的这套智能自适应调度系统的核心算法下，求物流提前送达的概率；（提示：可构造为等比数列（其中，为常数）） （iii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率，并说明理由. 【答案】(1)； (2)（i），，证明见解析；（ii）；（iii）能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率； （iii）分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为， 则 ， （iii）随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 专题02 二阶线性递推关系 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2025项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出数列各项的余数，得到余数数列为周期数列，周期为8，从而确定前2025项中被3除余1的项数即可求得概率. 【详解】根据斐波那契数列的定义知，数列：， 被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…， 余数依次排成一列构成以8为周期的周期数列，， 所以数列的前2025项中被3除余1的项数为， 所以所求概率为. 故选：C 2．（24-25高二下·江西上饶·期中）有一种士兵排列方法：士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并且这些士兵不能站在自己原来的位置上. (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……）． 【答案】(1)2 (2)，，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可得结果； （2）先假设有个人，依题意，可分两个步骤完成：第一步，甲选位置，第二步排其余个人，分类统计方法数得，将其化为，可证得等比数列； （3）由题得，根据（2）结论求得，推理得，赋值后累加即得，由参考公式取即可证明. 【详解】（1）当有3个士兵时，假设先安排甲，有2种站法，再安排乙和丙，只有1种站法， 所以如果只有3个士兵，重新站成一排有2种站法. （2）易知，， 如果有个人，解散后都不站原来的位置可以分两个步骤： 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法； 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类： 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置，这样的站法有种； 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站在甲的位置，这样的站法有种. 所以，，又， 所以， 所以数列，是首项为1，公比为的等比数列. （3）由题意可知， 由（2）可得：，则. 对进行赋值，依次得：，，…，， 将以上各式左右分别相加，得，因， 则， 即得， 当无穷大时，，得证. 3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式结合互斥事件的概率公式求解； （2）求出递推关系，构造等比数列，利用累加法求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，，. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式，所以． 4．（2026·四川攀枝花·一模）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题，答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）（i）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明； （ii）根据（i）的结果并结合累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． （3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以. 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． (1)若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见详解； (2)证明见详解； 【分析】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望； （2）根据独立事件概率乘法公式可得，，且，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式. 【详解】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则，，，， 相加可得， 则， 且时，符合上式，所以. 6．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式计算得解； （2）（i）将第3轮答题结束时挑战未终止的事件进行分拆，再利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的乘法公式求出，同理求出；（ii）利用概率的加法公式及乘法公式列出递推公式，再利用构造法求解得证. 【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”， 依题意，，， 因此， 所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为. （2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立， 由（1）知，， 当时，挑战显然不会终止，即， 当时，则第1、2轮至少答对一轮，， 由概率加法公式得 ； 同理. （ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”， 当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第1轮答对，且第2轮到轮结束时挑战未终止； ②第1轮答错，且第2轮答对，第3轮到轮结束时挑战未终止， 因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为， 而各轮答题正确与否相互独立， 因此， 所以时，， 设存在实数，使得数列为等比数列， 当时，，整理得， 而，则，解得或， 当时，， 因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以存在实数或，使得数列为等比数列. 专题03 概率统计与函数的交汇 1．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 2．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，期望；（ⅱ）时利润最大. 【分析】（1）根据直方图先算出平均值，进而得到正态分布，利用正态曲线的对称性求出概率即可； （2）（ⅰ）求出指标值在和的总件数，在的件数，然后根据步骤结合超几何分布的公式计算； （ⅱ）设设每箱产品的利润为，其中有件等品，用表示出的关系式，得到利润表达式，最后利用导数的工具求出关于利润函数时取最大值时的取值. 【详解】（1）根据直方图可得，， 由题知，，则， 等品的质量指标值不小于， 即. （2）（ⅰ）指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . （ⅱ）设每箱产品的利润为，其中有件等品， 由题知，， 由（1）知，等品的概率为， 则，于是， ， 记， 则， 则递增， 递减， 故当时利润最大. 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. 【答案】(1)更适合作为关于的回归方程类型， (2)54千万元 (3)11.36元 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型，对两边取对数，，代入公式，结合表格数据得到回归方程； （2）在（1）基础上，得到，求导，得到函数单调性，从而求出最值； （3）求出，，利用期望公式求出答案. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程类型， 因为呈线性变化，不合要求，故选， 对两边取对数，得，即， 由表中数据得：，， ，所以， 所以关于的回归方程为； （2）因为，所以， ，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以预计下一年投入千万元时， 年利润取得最大值为千万元. （3）因为，， 所以 ， ， （元）. 4．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ），. (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知Y服从超几何分布，根据数学期望计算即可； （ⅱ）根据题意可知，分别求出和再比较它们大小即可； （2）根据题意列出进行计算出，再根据函数的导函数求出a的取值范围. 【详解】（1）（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ， ；；； ；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ； 故， 由（ⅰ）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得 又，， 故，，由题得方程有两个不相等的正实根， 两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得， 令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. 5．（24-25高二下·山东滨州·期末）某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． (1)若，，求P； (2)取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 【答案】(1)； (2)（i）37；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出满足题意的情况数和总情况数，再利用古典概型公式即可得到答案； （2）（i）利用全概率公式得，再构造函数，求导得其单调性即可证明； （ii）转化为证明，设，再利用同构思想转化证明，最后构造函数，求导再利用其单调性即可证明. 【详解】（1）4名候选人的面试顺序从第1个到第4个排序，有种情况， 要选中最优秀的侯选人，有以下两类情形： ①最优秀的候选人是第3个，其他使选人位置随意，有种情况； ②最优秀的候选人是最后1个，第二优秀的候选人是第1个或第2个，其他候选人位置随意，有种情况． 故所求概率． （2）（i）记事件表示选中最优秀的候选人，事件表示最优秀的候选人排在第个位置， 因为最优秀的候选人出现在各个位置上的概率相等， 所以. 以最优秀候选人所在位置作为条件， 当时，最优秀的饮选人在前个人之中，不会被选中，此时． 当时，最优秀的候选人被选中，当且仅当前个候选人中的最优秀的一个在前个人中，此时． 由全概率公式得： ， 因为，所以. 构造函数．所以． 令，得． 当；当． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以． 因为，所以当时，， 即， 所以取最大值时，的取值约为37． （ii）由（i）知，， 要证，即证，即证. 令，即需证，即证， 即证. 构造函数 因为在上恒成立， 所以在单调递增．． 取，则， 则命题得证. 专题04 概率统计中的比赛问题 1．（多选）（25-26高二下·重庆·期中）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队的积分可能为分 B．甲队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队负场的概率为 【答案】BCD 【分析】利用题目分析可判断A；分析可知若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场，利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断B；分析可知每场比赛两队的积分之和为分或分，结合可判断C；对甲乙对战的情况进行分类讨论，结合独立事件和互斥事件的概率公式可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知，甲队需要比赛场，若甲队的积分为分，则甲队至少要赢场， 若甲队赢场，则甲队的积分为分；若甲队赢场平场，则甲队的积分为分； 若甲队赢场负场，则甲队的积分为分.综上所述，甲队的积分不可能为分，A错； 对于B选项，若甲队积分为分，则甲队赢场负场，或甲队平场， 所以，甲队积分为分的概率为，B对； 对于C选项，对于每一场，若一场比赛能决胜负，则两队的积分之和为分， 若一场比赛为平局，则两队的积分之和为分，所以每场比赛两队的积分之和为分或分， 由题意可知，四支队伍比赛的总场数为，由于， 故若场比赛只有场是平局，有场能决胜负，此时四支球队的积分总和为分，C对； 对于D选项，甲队胜场且乙队负场包含以下几种情况： ①甲乙对战时是平局，则甲胜丙、甲胜丁、乙负丙、乙负丁，此时概率为， ②若甲胜乙，则甲与丙、丁的对战中，恰有一场甲胜，乙与丙、丁的对战中，恰有一场乙负， 此时的概率为； ③若乙胜甲，则甲胜丙，甲胜丁且乙负丙，乙负丁， 此时的概率为. 综上所述，甲队胜场且乙队负场的概率为，D对. 2．（多选）（25-26高二下·山东临沂·期中）甲乙两机器人进行某项智能比赛（比赛结果没有平局），甲每局获胜的概率均为，且每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记甲和乙两机器人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜．下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数不可能是3 B．若，则恰好4局结束比赛且甲获胜的概率为 C．若，则在不超过5局比赛结束的条件下，甲以4：1获胜的概率为 D．若，比赛进行一段时间后，则继续比赛甲最终获胜的概率为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据局数为奇数可判断其正误，对于B，根据独立事件的概率公式可求恰好4局结束比赛且甲获胜的概率，从而判断其正误，对于C，根据条件概率公式结合互斥事件、独立事件的概率公式求解后可判断其正误，对于D，利用动态转移结合递推数列可求甲最终获胜的概率，从而可判断其正误. 【详解】设局比赛中甲胜了局，则乙胜了局，故. 对于A，若，若比赛结束时总局数为，则为奇数， 故不可能为，故A正确； 对于B，若，设为“恰好4局结束比赛且甲获胜”， 因为，故或，因甲获胜，故，且前两局一胜一负， 故，故B错误； 对于C，若，此时，故奇数， 设为“不超过5局比赛结束”， 为“甲以4：1获胜”， 因为不超过局，故或. 若局结束比赛，因为，故甲连胜3局或乙连胜局， 故此时比赛结束的概率为； 若局结束比赛，则前局为甲（或乙）3胜负且无3连胜，第局甲（或乙）胜， 故此时比赛结束的概率为， 故，而 故，故C正确； 对于D，若，比赛进行一段时间后， 此后设为甲的得分与乙的得分的差，则， 记时甲最终获胜的概率为，则，， 又， 故， 故， 利用叠乘可得， 故， 同理， 故，而， 故，故. 故D正确. 3．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式即可求解； （2）先确定的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式即可求解； （3）先求出一局比赛中甲获胜的概率，再利用二项分布即可求出. 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分． (1)当时，求的概率； (2)试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）确定对应的事件，再由独立事件概率乘法公式即可求解； （2）分别计算，再代入求解即可. 【详解】（1）的含义是：该题正确选项为3个，且小明选1个选项时选到正确选项， 已知该题恰有2个正确选项的概率，因此恰有3个正确选项的概率为​； 当正确选项为3个时，从4个选项中随机选1个，选到正确选项的概率为​， 因此： （2）计算（随机选1个选项的期望得分） 若题目有2个正确选项（概率）：选对概率（得3分），选错概率（得分）， 此时期望为： 若题目有3个正确选项（概率）：选对概率（得2分），选错概率（得分）， 此时期望为： ， 因此总期望： ​ ② 计算（随机选2个选项的期望得分） 从4个选项选2个共种选法： 若题目有2个正确选项（概率）：全对（1种，得6分）、一对一错（4种，得分）、全错（1种，得分）， 期望为： 若题目有3个正确选项（概率）：全对（3种，得4分）、一对一错（3种，得分）， 期望为： 因此总期望： ， 代入不等式 得：，解得：， 又， 故存在满足条件的，取值范围为. 5．（25-26高二下·广东东莞·期中）甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1)采用5局3胜制对甲更有利 (2)答案见解析 【分析】（1）分别计算采用3局2胜制和采用5局3胜制甲最终获胜的概率，比较概率大小即可求解. （2）由（1）可得采用3局2胜制甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【详解】（1）当采用3局2胜制时：记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即采用3局2胜制甲最终获胜的概率为． 当采用5局3胜制时，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，为互斥事件， 由于，， 则， 即采用5局3胜制甲最终获胜的概率为． 显然， 所以采用5局3胜制对甲更有利 （2）由（1）可知，采用3局2胜制甲最终获胜的概率， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 6．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 7．（25-26高二上·广东佛山·期中）现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 【答案】(1)①答案见解析；②公平，理由见解析；③甲分配奖金元，乙分配奖金元 (2)答案见解析 【分析】（1）①用列举法写出样本空间即可得；②由古典概型概率公式计算两者获胜的概率是否相等即可判断；③按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配，由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，即可确认输赢，由列举法写出样本空间计算概率后可得； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以，构造事件，然后计算概率检验. 【详解】（1）①； ②记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括： ，所以， 又，则甲获胜的概率为， 故乙获胜的概率为， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的； ③由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”， 假设再进行2次“点数游戏”， 则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），（乙胜，乙胜）， 所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 则， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金元； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间， 所以， 构造事件， 则， 则， ，， 所以， ， 即且不满足两两独立，满足题意． 专题05 概率统计中的决策问题 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某奶茶店计划购买2台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换．制冰机中有一个易损部件——制冰格，在购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本150元．在使用期间，若备件不足需临时采购，则每个价格300元．现对过去100台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：以这100台机器更换制冰格的频率代替1台机器更换数量的概率．记表示2台制冰机在三年内共需更换的制冰格总数，表示购买2台制冰机时同时购买的制冰格备件数． (1)求； (2)求随机变量的分布列； (3)以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在和之中选其一，应选用哪一个？ 【答案】(1)0.44 (2)的分布列为： 14 15 16 17 18 (3)应选用 【分析】（1）将拆分为“、、”三种互斥的两台制冰格更换数量组合，分别计算概率后相加，即可求得； （2）先确定两台制冰格更换总数的所有可能取值，再用独立事件概率公式逐一计算概率值即可； （3）分别计算预购和的费用期望，通过比较期望值选择费用最低的即可. 【详解】（1）每台机器更换的制冰格数为7，8，9． 记事件为第一台机器三年内换掉个制冰格，记事件为第二台机器三年内换掉个制冰格， 由题意知，， 所以 . （2）2台机器共需更换的制冰格数的随机变量为，则的取值为. ， ， ， ， 的分布列为： 14 15 16 17 18 （3）购买制冰格所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买制冰格的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用： 当时，仅时需要补购一个， 费用的期望为（元）， 当时，费用的期望为（元）， 因，则应选用． 另解：因为和时至少需购买17个，故可考虑增量部分做出决策， 当时，若临时购买一个需花费的费用期望为：元， 当时，需花费150元，所以时花费费用最少，则应选用． 2．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 【答案】(1) 1 2 3 4 5 6 7 (2)小明同学不能盈利. 【分析】（1）根据题意，确定服从二项分布并求解分布列，利用分布列的期望计算方法求； （2）根据与的对应关系，结合的分布列求出的分布列，再计算的数学期望，再比较大小即可. 【详解】（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7. ， ，   ， 则的概率分布列为： 1 2 3 4 5 6 7 数学期望 ； （2）因为当或7时，；当或6时，；当或5时，；当时，. 利用（1）得的概率分布列为： 1 4 6 10 ， 所以小明同学不能盈利. 4．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)甲应该选择方案B，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率求解； （2）X的可能取值为1，2，3，分别求得其概率，列出分布列； （3）若甲选择方案A，得到获奖金的期望，若甲选择方案B，Y的可能取值为0，1，2，3，分别求得概率，由，比较选择. 【详解】（1）设事件“甲通过三关”，则， 则甲通过三关的概率为. （2）X的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 P （3）若甲选择方案A，则他所获奖金的期望为元. 若甲选择方案B，设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则， 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 因为，所以甲应该选择方案B. 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 【答案】(1) (2)选择甲去参赛更合理 【分析】（1）结合二项分布定义进行求解即可； （2）根据超几何分布求出“甲回答问题的正确个数”的分布列、数学期望和方差，结合二项分布的定义求出“乙回答问题的正确个数”的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可 【详解】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为. （2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则，，， 所以， 由题意，随机变量，所以， 又，， 所以， 可见乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择甲去参赛更合理． 6．（25-26高二上·广东茂名·期中）在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组.    (1)若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 【答案】(1)获得冠军概率为，获得冠军的概率为 (2)传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制下，获得冠军的概率为，双败赛制对强队更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式列式求解. （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，作差并结合强队的条件比较大小即可. 【详解】（1）在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为.     依题意，获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 则获得冠军的概率为.     所以在传统的淘汰赛赛制下获得冠军概率为，获得冠军的概率为. （2）在传统的淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， 在双败赛制下，讨论进入胜者组、败者组两种情况， 当进入胜者组，若在胜者组失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组胜利， 后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为； 当进入败者组，后三局都胜，方可得冠军，此时获得冠军的概率为， 因此获得冠军的概率为， ， 由，得，，若为强队，则，此时， 即，因此，获得冠军的概率更大， 若为强队，即时，双败赛制对强队更有利. 考点06 新定义问题 1．（24-25高二下·广东中山·阶段检测）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】(1)0.8186 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）由条件概率得到，证明出结论； （3）由（2）得，利用对立事件求概率即可. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得， （2）由题设，得 ， . 所以. （3）由（2）得， 所以第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场苏超联赛的人数，用频率估计概率即可； （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； （3）利用全概率公式计算，代入求值即可. 【详解】（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 所以. （3）由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康活力无限”健身打卡活动． (1)公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数，统计结果如下： 月份x 1 2 3 4 5 身体指标明显改善人数y 330 260 200 140 90 若身体指标明显改善人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？ (2)公司将参与健身打卡活动的员工分成了甲、乙、丙三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由甲组先发起竞赛，挑战乙组、丙组的概率均为．若甲组挑战乙组，则下次竞赛发起权在乙组；若甲组挑战丙组，则下次竞赛发起权在丙组．若竞赛发起权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为和；若竞赛发起权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为和． ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在乙组的次数X的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列，为“聚点数列”，A称为数列的聚点．经过n次竞赛后，竞赛发起权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)24人 (2)①分布列见解析，；②证明见解析， 【分析】（1）根据最小二乘法求解回归直线方程，即可代入求解， （2）①利用独立事件的概率乘法公式求解概率，即可求解分布列，由期望公式求解期望， ②根据题意列且，即可求解是以为首项，为公比的等比数列，可得，即可根据聚点数列的定义求证且. 【详解】（1）由已知数据经计算可得：，，，，，，， 所以．所以当时，； 即第6个月身体指标明显改善的大约有24人： （2）①X的所有可能值为0，1，2， ，，， X 0 1 2 P 所以次数X的数学期望． ②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，，时，则且， 得：，由①得， ∴，∴，∴， ∴，∴，其中， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴，∴， 由聚点数列的定义：，由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，所以数列为“聚点数列”；∴． 4．（24-25高二上·山东日照·期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见详解；（ⅱ），随机变量之间具有负相关关系 【分析】（1）设相应事件，结合计数原理求，根据古典概型即可得结果； （2）（i）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，4，求相应概率即可得分布列；（ⅱ）根据题意可得，，设，求其分布列和期望，结合题意分析判断. 【详解】（1）记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件A，样本空间为， 则，， 所以. （2）由题意可知：随机变量的可能取值为0,1,2,4， 则， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 4 由题意可知：，即， 因为，则， 令， 可知随机变量的可能取值为， 则， 可得随机变量的分布列为 0 可得， 因为，所以随机变量之间具有负相关关系. 5．（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目． (1)若，求的分布列； (2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望； (3)当时，求的最小值，使得． （参考公式：若，则） 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）依题意可得的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列； （2）分，两种情况讨论，分别求出分布列与数学期望； （3）结合（2）可得，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】（1）当时的可能取值为、、， ，， ， 所以的分布列为： （2）对于，则，， 所以的分布列为： 所以期望； 对于，则，， 所以的分布列为： 所以期望； （3）依题意可得， 所以， 由，即，解得，又，所以的最小值为. 6．（24-25高二下·广东中山·阶段检测）“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 单位：人 附：. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组､组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和.经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； (3)定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值. 【答案】(1)无关 (2)分布列见解析， (3)证明见解析， 【分析】（1）先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比较，根据独立性检验的理论即可做出判断； （2）先分析竞赛发起权在组的次数的可能情况并求出概率，即可求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； （3）根据题干列出等式进而求出数列的通项公式，由通项公式即可证明结论，即可求出聚点A的值. 【详解】（1）零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关， 根据列联表中的数据，可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关； （2）依题意可知，可取， 则， ， 0 1 2 所以次数的数学期望. （3）第次挑战后挑战权在组的概率分别是时，则，由题意得方程组： ②+③得：，由①得， ， ，其中， 是以为首项，为公比的等比数列， ， 由聚点数列的定义：， 由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，，所以数列为“聚点数列”； . 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 概率统计中的交汇问题 考点01 一阶线性递推关系 考点05概率统计中的决策问题 专题02 二阶线性递推关系 考点06概率统计中的新定义问题 专题03 概率统计与函数的交汇 专题04 概率统计中的比赛问题 考点01 一阶线性递推关系 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）某公司有三个部门：甲部门、乙部门、丙部门．新入职员工小张第1个月在甲部门工作．此后每个月，该员工会等可能地轮岗到另外两个部门中的一个（即从当前部门调往另一个部门，不会留在原部门）．记为经过次调动后（即第个月末）该员工在甲部门的概率，则下列选项中正确的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第5次调动后在甲部门的不同调动方式共有10种 2．（多选）（25-26高二下·河南·期中）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（   ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 3．（25-26高二下·黑龙江绥化·期中）在区块链技术支持的加密资产网络中，设有两个智能合约钱包（甲钱包与乙钱包）.每个钱包初始配置有1枚“黑币”（代表高波动性资产）与2枚“白币”（代表稳定资产）.为平衡资产风险，系统执行如下自动交换协议：每次从两个钱包中各随机抽取一币，并交换存入对方钱包.记该协议重复执行次后，甲钱包中恰好有1枚“黑币”的概率为，则数列的通项公式为_______________. 4．（25-26高二下·江西吉安·期中）一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的3个小球，其中包含1个红球，2个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数． (1)求； (2)求的分布列； (3)证明数列为等比数列，并求． 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 6.（25-26高二下·辽宁大连·期中）在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市，从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案，，的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）在研发的这套智能自适应调度系统的核心算法下，求物流提前送达的概率；（提示：可构造为等比数列（其中，为常数）） （iii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率，并说明理由. 专题02 二阶线性递推关系 1．（24-25高二上·贵州毕节·期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2025项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江西上饶·期中）有一种士兵排列方法：士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并且这些士兵不能站在自己原来的位置上. (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？ (2)假设原来有个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为种，写出和，之间的递推关系，并证明：数列是等比数列； (3)假设让站好的一排个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为，证明：当无穷大时，趋近于．（参考公式：……）． 3．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知小张同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为．为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．小张同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．设最终得分为n的概率为， (1)求，， (2)求数列的通项公式． 4．（2026·四川攀枝花·一模）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． (1)若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； (2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 6．（25-26高三上·湖北荆州·阶段检测）某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立. (1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率； (2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为， （i）求； （ii）是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 专题03 概率统计与函数的交汇 1．（25-26高三上·广西·期末）为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 2．（2026·四川成都·二模）2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值.若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布的角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．） (2)（ⅰ）从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望； （ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件的利润是元，一件B等品部件的利润是元，根据（1）的计算结果，试求x的值，使得每箱产品的利润最大. 3．（24-25高二下·福建漳州·期末）当前，全球贸易格局发生重大变化，随着中美贸易战的不断升级，越来越多的中国科技企业开始意识到自主创新的重要性，大大加强科技研发投入的力度，形成掌控高新尖端核心技术及其市场的能力.某企业为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）和年利润（单位：千万元）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如下： 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立关于的回归方程； (2)已知年利润与，的关系为（其中为自然对数的底数），要使企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过，不予奖励；若超过，但不超过，每件产品奖励10元；若超过，每件产品奖励20元.记为每件产品获得的奖励，求. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 附：若随机变量，则，. 4．（24-25高二下·湖北襄阳·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 5．（24-25高二下·山东滨州·期末）某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． (1)若，，求P； (2)取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 专题04 概率统计中的比赛问题 1．（多选）（25-26高二下·重庆·期中）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”、“乙队”、“丙队”、“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队的积分可能为分 B．甲队积分为分的概率为 C．四支球队的积分总和可能为分 D．甲队胜场且乙队负场的概率为 2．（多选）（25-26高二下·山东临沂·期中）甲乙两机器人进行某项智能比赛（比赛结果没有平局），甲每局获胜的概率均为，且每局比赛胜者获得1个积分，负者获得0个积分，记甲和乙两机器人积分之差的绝对值为，当时，比赛结束且总积分多者获胜．下列说法正确的是（    ） A．若，则比赛结束时总局数不可能是3 B．若，则恰好4局结束比赛且甲获胜的概率为 C．若，则在不超过5局比赛结束的条件下，甲以4：1获胜的概率为 D．若，比赛进行一段时间后，则继续比赛甲最终获胜的概率为 3．（25-26高二下·山东济宁·期中）甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）某校高中三个年级每个年级择优选拔了10名学生，参加全校的“五育数学知识”竞答比赛，比赛设置了多选题环节，每道题都有四个选项，其中正确选项有2个或3个，要求至少选择一个选项，得分规则如下：若正确选项有2个，只选一个且为正确选项得3分，选两个且为正确选项得6分，若选择的选项中有一个错误选项得－1分，选择的选项中有两个错误选项得－2分；若正确选项有3个，只选一个且为正确选项得2分，选两个且为正确选项得4分，选三个且为正确选项得6分，若选项中有一个错误选项得－1分．学生小明对其中的一道多选题完全不会，这道题恰有两个正确选项的概率为，记为小明随机选择1个选项的得分，为小明随机选择2个选项的得分． (1)当时，求的概率； (2)试探究是否存在概率，使得，若存在求出概率的取值范围；若不存在，说明理由. 5．（25-26高二下·广东东莞·期中）甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 6．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 7．（25-26高二上·广东佛山·期中）现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 专题05 概率统计中的决策问题 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某奶茶店计划购买2台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换．制冰机中有一个易损部件——制冰格，在购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本150元．在使用期间，若备件不足需临时采购，则每个价格300元．现对过去100台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：以这100台机器更换制冰格的频率代替1台机器更换数量的概率．记表示2台制冰机在三年内共需更换的制冰格总数，表示购买2台制冰机时同时购买的制冰格备件数． (1)求； (2)求随机变量的分布列； (3)以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在和之中选其一，应选用哪一个？ 2．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码． (1)求的概率分布列，并求出数学期望； (2)小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？ （其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．） 4．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 5．（25-26高二下·吉林长春·期中）某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 6．（25-26高二上·广东茂名·期中）在体育比赛中，传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，现有一种新的赛制，每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局（双败赛制）.假设现有四支队伍，传统的淘汰赛制下，会将他们抽签两两分组进行比赛，胜者进入下一轮，直到决出冠军；双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入决赛；第一轮败者的两个队伍对决的胜者将跟胜者组的第二轮败者对决，其中的胜者进入决赛；最后决赛的胜者即为冠军（赛制流程图如图所示），这里我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为，，，，其中对阵其他三个队伍时获胜的概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为，最初分组时，，同组，，同组.    (1)若，在传统的淘汰赛赛制下，，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并根据获得冠军的概率简单分析一下双败赛制下是否对强队更有利？ 考点06 新定义问题 1．（24-25高二下·广东中山·阶段检测）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 2．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 3．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康活力无限”健身打卡活动． (1)公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数，统计结果如下： 月份x 1 2 3 4 5 身体指标明显改善人数y 330 260 200 140 90 若身体指标明显改善人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5，…）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？ (2)公司将参与健身打卡活动的员工分成了甲、乙、丙三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由甲组先发起竞赛，挑战乙组、丙组的概率均为．若甲组挑战乙组，则下次竞赛发起权在乙组；若甲组挑战丙组，则下次竞赛发起权在丙组．若竞赛发起权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为和；若竞赛发起权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为和． ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在乙组的次数X的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（A是一个确定的实数），则称数列，为“聚点数列”，A称为数列的聚点．经过n次竞赛后，竞赛发起权在甲组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点A的值． 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 4．（24-25高二上·山东日照·期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 5．（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中有只蚂蚁，分别位于点．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，则称这个点为“空点”．设随机变量为一次操作后（且）中的“空点”数目． (1)若，求的分布列； (2)定义随机变量，当时，求的分布列与期望； (3)当时，求的最小值，使得． （参考公式：若，则） 6．（24-25高二下·广东中山·阶段检测）“你好!我是DeepSeek，很高兴见到你!我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据： 学历 使用情况 合计 经常使用 不经常使用 本科及以上 65 35 100 本科以下 50 50 100 合计 115 85 200 单位：人 附：. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？ (2)某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组､组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组､组的概率分别为和.经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望； (3)定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值. 学科网（北京）股份有限公司 $